资源简介

4.3 非数值计算
第4单元 计算与问题解决
学 习 目 标
3.体验递归算法，并结合具体问题开展编程实践。
2.了解算法设计中的分治思想，并运用二分查找解决实际问题。
1.运用合适的算法形成解决问题的方案。
二分查找法的理解和运用二分法解决实际问题。 （重点）
递归算法的实际应用，并针对具体问题开展编程实践。 （难点）
运行Python编写的“猜数字”游戏，计算机在0～1000中随机产生一个数，试试看你要多少次才能猜中。
假设一本书大约300页，目标信息在第132页。请在下表记录
你的翻页过程，和同学们比一比，看谁翻的次数最少。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}次数
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第3次
第4次
……

分治策略
分治的设计思想，是将一个难以直接解决的大问题，分割成一些较小的同类问题，各个击破，最终达到解决问题的目的。二分查找实际上就是分治策略的一种典型运用。
二分查找
二分查找又叫折半查找，该方法主要将数列有序排列，采用跳跃式的方式查找数据。二分查找是一种高效的查找方法。它可以明显减少比较次数，提高查找效率。
以递增数列为例，先以中点位置的元素作为比较对象，如果要找的元素值小于该中点元素，则将待查序列缩小为左半部分，否则为右半部分。每一次比较后都可以将查找区间缩小-半。
二分法查找的前提条件是被查找的数据必须是有序的。
查找的基本算法有: 顺序查找、二分查找、 分块查找、哈希查找等
有了翻书的经验，我们尝试完善下面的二分查找程序。
x=int(input("请输入要查找的1000以内的整数:"))
step=0 #记录查找次数
flag1=1 #目标区域左边界
flag2=1000 #目标区域左边界
while（ ）: #区间数据范围小于1则结束循环
mid=（ ） #中间值
（ ） #查找次数加1
if mid>x:
（ ） #右边界前移
elif mid （ ） #左边界后移
else:
break
print("查找次数为：",step) #找到目标数据，退出循环
input("运行完毕，请按回车键退出...") #输出次数
(flag1<=flag2)
(flag1+flag2)//2
step=step+1
flag2=mid-1
flag1=mid+1
二分查找
“汉诺塔”游戏源于一个古老的印度传说。如图所示，在木板上有A、B、C三根杆，A杆上有若干木盘，规定每次移动一个木盘。且小的木盘只能叠在大的木盘上面。请设计算法，用尽可能少的次数把所有的木盘从A杆全部移到C杆上。完成课本P102图4.3.2汉诺塔的移动过程。
递归
直接或间接地调用自身的方法称为递归。
递归是计算科学领域中一种重要的计算思维模式。它既是一种抽象表达的手段，也是一种问题求解的重要方法。
递归
以下是一个四叶草的代码及运行结果
图4.3.3 递归图像
递归
在数学与计算机领域中，递归函数是指用函数自身定义该函数的方法。
递归的要素：
1.递推关系的递归的重要组成
2.边界条件。它保证递归能在有限次的计算后得出结果，而不会产生无限循环的情况。
递归
递归的基本思想：把规模较大的问题层层转化为规模较小的同类问题求解。对递归而言，递推与回归，二者缺一不可。
结合分治策略，递归也可以用“分”“治”“合”三个字概况
递归
分：将原有问题分解成K个子问题。
治：对这K个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则将其再分解为K个子问题，如此进行下去，直到问题足够小时，就很容易求出子问题的解。
合：将求出的小规模问题的解合并为一个更大规模问题的解，自下而上逐步求出原问题的解。
递归
汉诺塔的递归过程：
将N个木盘从A杆移动到C杆，需要借助中间的B杆，只要超过一个木盘，在移动过程中，总会存在起始杆、过渡杆及目标杆的问题。因此，定义函数时，用到了4个参数：haooi(n,s,m,t),n表示需要移动的盘子数量，S表示盘子的起始杆，m表示中间过渡杆，t表示目标杆。可用下图表示：
递归
汉诺塔递归程序如下：
def hanno(n,s,m,t):
#定义一个函数,n层塔，将盘子从s借助m移动到t
if n==1:
print(s,'-->',t) #将一个盘子从s移动到t
else:
hanno(n-1,s,t,m) #将前n-1个盘子从s移动到m上
print(s,'-->',t) #将最底下的最后一个盘子从s移动到t上
hanno(n-1,m,s,t) #将m上的n-1个盘子移动到t上
#主程序
n=int(input('请输入汉诺塔的层数：'))#调用函数，将n个木盘从A借助B移动到C
hanno(n,'A','B','C')
input("运行完毕，请按回车键退出...")
递归
输入不同的层数，查看运行结果
递归
计算“汉诺塔”游戏移动的次数。
参考答案：
def f(n):
if n==0:
return 0
else:
return 2*f(n-1)+1
x=int(input("请输入塔的个数："))
print("需要移动",f(x),"次")
input("运行完毕，请按回车键退出...")
递归
根据提示输入不同的塔数，查看移动的次数
递归
迭代算法与递归算法都需要重复执行某些代码，两者既有区别又有密切的联系。
迭代
重复方式：是重复反馈过程的活动，其目的通常是逼迫所需目标或结果。
结束方式：通常使用计数器结束循环。
递归
重复方式是重复调用函数自身。
结束方式：遇到满足终止条件的情况时逐层返回。
递归与迭代的关系
利用Python调试运行课本P106表4.3.2递归与迭代，查看比较结果。
巩固练习

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