资源简介

2.4
线段、角的轴对称性
一．选择题（共10小题）
1．（2019?陕西）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（　　）
A．2+
B．+
C．2+
D．3
2．（2019?梧州）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（　　）
A．12
B．13
C．14
D．15
3．（2019?张家界）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
4．（2019?湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　）
A．24
B．30
C．36
D．42
5．（2019?南充）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（　　）
A．8
B．11
C．16
D．17
6．（2018?梧州）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
7．（2018?大庆）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝（　　）
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
8．（2018?黄冈）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（　　）
A．50°
B．70°
C．75°
D．80°
9．（2019?宜春二模）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（　　）
A．12
B．15
C．16
D．18
10．（2019?苏州模拟）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连结CF和DE，若∠A＝70°．∠DCF＝50°，BC＝8，则DE的长（　　）
A．4
B．
C．
D．
二．填空题（共6小题）
11．（2019?永州）已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝　
　．
12．（2018?毕节市）如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是　
　．
13．（2018?南充）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝　
　度．
14．（2018?德州）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为　
　．
15．（2017?常州）如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是　
　．
16．（2019?滨州二模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为　
　．
三．解答题（共4小题）
17．（2019?滨州一模）如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，求∠C的度数．
18．（2019?淮阴区一模）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．
19．（2018?石景山区二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°，CD＝BC，DE是AB边的垂直平分线，连接CE．
（1）求证：∠DEC＝∠BEC；
（2）若AB＝8，BC＝，求CE的长．
20．（2019春?滨州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．
（1）如图（1），若∠A＝40°，则∠NMB＝　
　度；
（2）如图（2），若∠A＝70°，则∠NMB＝　
　度；
（3）如图（3），若∠A＝120，则∠NMB＝　
　度；
（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．
答案与解析
一．选择题（共10小题）
1．（2019?陕西）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（　　）
A．2+
B．+
C．2+
D．3
【分析】过点D作DF⊥AC于F如图所示，根据角平分线的性质得到DE＝DF＝1，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于F如图所示，
∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF＝1，
在Rt△BED中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
在Rt△CDF中，∠C＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CD＝DF＝，
∴BC＝BD+CD＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．（2019?梧州）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（　　）
A．12
B．13
C．14
D．15
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，进而得出答案．
【解答】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝8，BC＝5，
∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．
故选：B．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
3．（2019?张家界）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
【分析】过点D作DE⊥AB于E，求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AC＝8，DC＝AD，
∴CD＝8×＝2，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD＝2，
即点D到AB的距离为2．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
4．（2019?湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　）
A．24
B．30
C．36
D．42
【分析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，
∴DH＝CD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB?DH+BC?CD＝×6×4+×9×4＝30，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．（2019?南充）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（　　）
A．8
B．11
C．16
D．17
【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，然后利用等线段代换即可得到△ACE的周长＝AC+BC，再把BC＝6，AC＝5代入计算即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝5+6
＝11．
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
6．（2018?梧州）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得．
【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF＝6，
故选：D．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7．（2018?大庆）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝（　　）
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB＝∠DAB，计算即可．
【解答】解：作MN⊥AD于N，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN＝MC，
∵M是BC的中点，
∴MC＝MB，
∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB＝∠DAB＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．（2018?黄冈）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（　　）
A．50°
B．70°
C．75°
D．80°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝25°，
∵∠B＝60°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．（2019?宜春二模）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（　　）
A．12
B．15
C．16
D．18
【分析】由角平分线的性质可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△AOB、△BOC、△AOC面积的比实际为AB，BC，AC三边的比．
【解答】解：∵点O是三条角平分线的交点，
∴点O到AB，AC的距离相等，
∴△AOB、△AOC面积的比＝AB：AC＝8：6＝4：3．
∵△ABO的面积为20，
∴△ACO的面积为15．
故选：B．
【点评】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
10．（2019?苏州模拟）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连结CF和DE，若∠A＝70°．∠DCF＝50°，BC＝8，则DE的长（　　）
A．4
B．
C．
D．
【分析】利用角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，利用线段垂直平分线的性质得到FB＝FC，BE＝CE，则∠FBC＝∠FCB，设∠FCB＝x，则∠ABC＝2x，利用三角形内角和得到2x+x+50°+70°＝180°，解得x＝20°，接着计算出∠BDC＝90°，然后根据斜边上的中线性质得到DE的长．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴FB＝FC，BE＝CE，
∴∠FBC＝∠FCB，
设∠FCB＝x，则∠ABC＝2x，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝90°，
∴2x+x+50°+70°＝180°，解得x＝20°，
∴∠DCB＝70°，∠DBC＝20°，
∴∠BDC＝90°，
而DE为斜边BC的中线，
∴DE＝BC＝×8＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
二．填空题（共6小题）
11．（2019?永州）已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝　4　．
【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM＝DE＝2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM＝30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解．
【解答】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．
∵OC是∠AOB的平分线，
∴DM＝DE＝2．
在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，
∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．
在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，
∴DF＝2DM＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键．
12．（2018?毕节市）如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是　16　．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，从而得到△BCE的周长＝AC+BC，然后代入数据计算即可求解．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝10，BC＝6，
∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝10+6＝16．
故答案为：16
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，证明出三角形的周长等于AC与BC的和是解题的关键．
13．（2018?南充）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝　24　度．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，得到∠EAC＝∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠FAC＝∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB＝∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，
解得，∠C＝24°，
故答案为：24．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（2018?德州）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为　3　．
【分析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF＝CM，进而可得答案．
【解答】解：过C作CF⊥AO，
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
∴CM＝CF，
∵OC＝5，OM＝4，
∴CM＝3，
∴CF＝3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
15．（2017?常州）如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是　15　．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．（2019?滨州二模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为　48°　．
【分析】先利用角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD＝24°，再根据三角形内角和计算出∠ACB＝72°，接着根据线段垂直平分线的性质得FB＝FC，则∠FCB＝∠FBC＝24°，然后计算∠ACB﹣∠FCB即可．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝24°，
∴∠ABC＝48°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝180°﹣48°﹣60°＝72°，
∵EF垂直平分BC，
∴FB＝FC，
∴∠FCB＝∠FBC＝24°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB＝72°﹣24°＝48°．
故答案为48°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
三．解答题（共4小题）
17．（2019?滨州一模）如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，求∠C的度数．
【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：连接BD，
∵E为AB的中点，DE⊥AB于点E，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A，
∵∠A＝66°，
∴∠DBA＝66°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝24°
∵AD＝BC，
∴BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC，
∴∠C＝＝78°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．（2019?淮阴区一模）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝70°，
∵MN的垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
19．（2018?石景山区二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°，CD＝BC，DE是AB边的垂直平分线，连接CE．
（1）求证：∠DEC＝∠BEC；
（2）若AB＝8，BC＝，求CE的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DE⊥AB，AE＝EB＝4，得到DE＝AE＝EB，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）过点C作CH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质得到CH＝EH，设EH＝x，则BH＝4﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵DE是AB边的垂直平分线，
∴DE⊥AB，AE＝EB＝4，
∵∠A＝45°，
∴DE＝AE＝EB，
又∵DC＝CB，CE＝CE，
∴△EDC≌△EBC（SSS）．
∴∠DEC＝∠BEC＝45°；
（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，
∵∠BEC＝45°，
∴CH＝EH，
设EH＝x，则BH＝4﹣x，
在Rt△CHB中，CH2+BH2＝BC2，
即x2+（4﹣x）2＝10，
解之，x1＝3，x2＝1（不合题意，舍），
即EH＝3．
∴CE＝EH＝3．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．（2019春?滨州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．
（1）如图（1），若∠A＝40°，则∠NMB＝　20　度；
（2）如图（2），若∠A＝70°，则∠NMB＝　35　度；
（3）如图（3），若∠A＝120，则∠NMB＝　60　度；
（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠B，再利用三角形内角和定理解决问题即可．
（2）（3）（4）方法类似．
【解答】解：（1）如图1中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，
∵MN⊥AB，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝20°，
故答案为20．
（2）如图2中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣70°）＝55°，
∵MN⊥AB，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝35°，
故答案为35．
（3）如图3中，
如图1中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣120°）＝30°，
∵MN⊥AB，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝60°，
故答案为60．
（3）结论：∠NMB＝∠A．
理由：如图1中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）
∵MN⊥AB，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝90°﹣（90°﹣∠A）＝∠A．
【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
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