资源简介

2.5
等腰三角形的轴对称性
一．选择题（共15小题）
1．（2019?益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
2．（2019?台湾）如图，△ABC中，AC＝BC＜AB．若∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，则下列角度关系何者正确（　　）
A．∠1＜∠2
B．∠1＝∠2
C．∠A+∠2＜180°
D．∠A+∠1＞180°
3．（2019?宁夏）如图，在△ABC中AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为（　　）
A．40°
B．45°
C．55°
D．70°
4．（2019?山西）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC与点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（　　）
A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
5．（2019?衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　）
A．60°
B．65°
C．75°
D．80°
6．图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成，其中正三角形面积为a，矩形面积为b．若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱，则图2中直角柱的表面积为何？（　　）
A．4a+2b
B．4a+4b
C．8a+6b
D．8a+12b
7．（2018?丹东）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB与点E，已知△BCE的周长为10，且BC＝4，则AB的长为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．（2018?兰州）如图，边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，则△ADE的面积是（　　）
A．
B．
C．
D．2
9．（2018?福建）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
10．（2018?玉林）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（　　）
A．平行
B．相交
C．垂直
D．平行、相交或垂直
11．在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．这样的点一共有（　　）
A．1个
B．4个
C．7个
D．10个
12．如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置若∠α＝25°，则∠β等于（　　）
A．35°
B．30°
C．25°
D．20°
13．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．90°
B．120°
C．270°
D．360°
14．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3﹣h1＝6，那么等边△ABC的面积为（　　）
A．4
B．8
C．9
D．12
15．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β．若α＝10°，则β的度数是（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．不能确定
二．填空题（共9小题）
16．（2019?镇江）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝　
　°．
17．（2019?成都）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为　
　．
18．（2019?广安）等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为　
　cm．
19．（2019?绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝　
　度．
20．（2019?哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为　
　．
21．（2018?黑龙江）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；……．记△B1CB2面积为S1，△B2C1B3面积为S2，△B3C2B4面积为S3，则Sn＝　
　．
22．（2018?葫芦岛）如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3、A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△AnAn+1?n的面积为　
　．（用含正整数n的代数式表示）
23．（2017?本溪）如图，∠AOB＝60°，点O1是∠AOB平分线上一点，OO1＝2，作O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，垂足分别为点A1，B1，以A1B1为边作等边三角形A1B1O2；作O2A2⊥OA，O2B2⊥OB，垂足分别为点A2，B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2O3；作O3A3⊥OA，O3B3⊥OB，垂足分别为点A3，B3，以A3B3为边作等边三角形A3B3O4；…按这样的方法继续下去，则△AnBnOn的面积为　
　（用含正整数n的代数式表示）．
24．（2017?抚顺）如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3＝D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4＝D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An?nCn+1的周长和为　
　．（n≥2，且n为整数）
三．解答题（共16小题）
25．（2019?攀枝花）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：
（1）点D在BE的垂直平分线上；
（2）∠BEC＝3∠ABE．
26．（2019?杭州）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
27．（2019?重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．
28．（2019?重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
29．（2016?常州）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB＝OC；
（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．
30．已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，
（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝　
　°；β＝　
　°．
（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．
（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由．
31．如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠C．
求证：AB＝BC．
32．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，
33．用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数为a，内部的格点个数为b，则S＝a+（b﹣1）．
对于正三角形网格中的类似问题也有对应结论：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，如图是该正三角形格点中的两个多边形（设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数为m，内部的格点个数为n）：
（1）根据图中提供的信息填表：
m
n﹣1
s
多边形1
11
　
　
15
多边形2
8
1
　
　
…
…
…
…
（2）则S与m、m﹣1之间的关系为　
　（用含m、n的代数式表示）．
34．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE．
（2）若∠CDE＝35°，求∠A的度数．
35．（2019?宜兴市二模）已知，如图，等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE＝DC，求证：AD＝BE．
36．（2018?东城区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．
37．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3＝12．第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4＝20，…，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an（n?3）
（1）由题意可得a5＝　
　；
（2）求+++…+．
38．已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD平分∠BAC，点M是AC的中点，在AD上取点E，使得DE＝AM，EM与DC的延长线交于点F．
（1）当∠BAC＝90°时，①求AE的长；②求∠F的大小．
（2）当∠BAC≠90°时，探究∠F与∠BAC的数量关系．
39．在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．
（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：
①求证：BE＝AD；
②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；
（2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．
40．已知，在△ABC中，点D在BC上，点E在BC的延长线上，且BD＝BA，CE＝CA．
（1）如图1，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，试求∠DAE的度数；
（2）若∠BAC＝90°，∠B＝60°，则∠DAE的度数为　
　（直接写出结果）；
（3）如图2，若∠BAC＞90°，其余条件不变，探究∠DAE与∠BAC之间有怎样的数量关系？
答案与解析
一．选择题（共15小题）
1．（2019?益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
【解答】解：如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
2．（2019?台湾）如图，△ABC中，AC＝BC＜AB．若∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，则下列角度关系何者正确（　　）
A．∠1＜∠2
B．∠1＝∠2
C．∠A+∠2＜180°
D．∠A+∠1＞180°
【分析】由AC＝BC＜AB，得∠A＝∠ABC＜∠ACB，再由三角形的外角性质定理和三角形的内角和可得正确答案．
【解答】解：∵AC＝BC＜AB，
∴∠A＝∠ABC＜∠ACB，
∵∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠2＝∠A+∠ABC，
∴∠A+∠2＝∠A+∠A+∠ABC＜∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质定理，三角形的外角性质定理及三角形的内角和，这些都是一些基础知识点，难度不大．
3．（2019?宁夏）如图，在△ABC中AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为（　　）
A．40°
B．45°
C．55°
D．70°
【分析】根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AC＝CB，∠C＝40°，
∴∠BAC＝∠B＝（180°﹣40°）＝70°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣70°）＝55°，
∵GH∥DE，
∴∠GAD＝∠ADE＝55°，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（2019?山西）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC与点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（　　）
A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB＝75°，由三角形外角的性质可得∠AED的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．
【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，
∴∠ACB＝75°，
在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°，
∴∠AED＝145°﹣30°＝115°，
∵a∥b，
∴∠AED＝∠2+∠ACB，
∴∠2＝115°﹣75°＝40°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．
5．（2019?衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　）
A．60°
B．65°
C．75°
D．80°
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，“进一步根”据三角形的外角性质”可知∠BDE＝3∠ODC＝75°”，即可求出∠ODC“的度”数，进而求出∠CDE的度数．
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
6．图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成，其中正三角形面积为a，矩形面积为b．若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱，则图2中直角柱的表面积为何？（　　）
A．4a+2b
B．4a+4b
C．8a+6b
D．8a+12b
【分析】根据已知条件即可得到结论．
【解答】解：∵正三角形面积为a，矩形面积为b，
∴图2中直角柱的表面积＝2×4a+6b＝8a+6b，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，列代数式，正确的识别图形是解题的关键．
7．（2018?丹东）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB与点E，已知△BCE的周长为10，且BC＝4，则AB的长为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB的垂直平分线DE，
∴AE＝CE，
∵△BCE的周长为10，BC＝4，
∴4+BE+CE＝10，
∵AE＝BE，
∴AE+BE＝10﹣4＝6，
∴AB＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
8．（2018?兰州）如图，边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，则△ADE的面积是（　　）
A．
B．
C．
D．2
【分析】由于D、E是AB、AC的中点，因此DE是△ABC的中位线，由此可得△ADE和△ABC相似，且相似比为1：2；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC的面积．
【解答】解：∵等边△ABC的边长为4，
∴S△ABC＝×42＝4，
∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，AD＝AB，AE＝AC，
即＝＝＝，
∴△ADE∽△ABC，相似比为，
故S△ADE：S△ABC＝1：4，
即S△ADE＝S△ABC＝×＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质、相似三角形性质及三角形的中位线定理，解题的关键是掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．
9．（2018?福建）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB＝45°，即可得出结论．
【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC＝45°，
∴∠ECB＝45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．
10．（2018?玉林）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（　　）
A．平行
B．相交
C．垂直
D．平行、相交或垂直
【分析】先判断出OA＝OB，∠OAB＝∠ABO，分两种情况判断出∠ABD＝∠AOB＝60°，进而判断出△AOC≌△ABD，即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB，∠OAB＝∠ABO＝60°
①当点C在线段OB上时，如图1，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
∴∠OAC＝∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD＝∠AOC＝60°，
∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，
∴BD∥OA，
②当点C在OB的延长线上时，如图2，
同①的方法得出OA∥BD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
∴∠OAC＝∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD＝∠AOC＝60°，
∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，
∴BD∥OA，
故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD＝60°是解本题的关键．
11．在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．这样的点一共有（　　）
A．1个
B．4个
C．7个
D．10个
【分析】本题利用了等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线．
【解答】解：在等边△ABC中，三条边上的高交于点O，
由于等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线，点O到三个顶点的距离相等，△ADB，△BOC，△AOC是等腰三角形，则点O是满足题中要求的点，
高与顶角的两条边成的锐角为30°，以点A为圆心，AB为半径，做圆，延长AO交圆于点E，
由于点E在对称轴AE上，有EC＝EB，AE＝AC＝AB，△ECB，△AEC，△ABE都是等腰三角形，点E也是满足题中要求的点，
作AD⊥AE交圆于点D，则有AC＝AD，AD＝AB，即△DAB，△ADC是等腰三角形，点D也是满足题中要求的点，同理，作AF⊥AE交圆于点F，则点F也是满足题中要求的点；
同理，以点B为圆心，AB为半径，做圆，
以点C为圆心，AB为半径，做圆，都可以分别得到同样性质的三个点满足题中要求，
于是共有10个点能使点与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．
故选：D．
【点评】本题容易找出三条边上的高交于点O，是满足题中要求的点，其它点容易漏掉，这样的点不一定是等腰三角形的顶角所在的点，也可以是底角所在的点，明白这点后，就要做圆来找到所要求的点．
12．如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置若∠α＝25°，则∠β等于（　　）
A．35°
B．30°
C．25°
D．20°
【分析】过点B作BD∥l1，如图，根据平行线的性质可得∠ABD＝∠β．根据平行线的传递性可得BD∥l2，从而得到∠DBC＝∠α＝35°．再根据等边△ABC可得到∠ABC＝60°，就可求出∠DBC，从而解决问题．
【解答】解：过点B作BD∥l1，如图，
则∠ABD＝∠β．
∵l1∥l2，
∴BD∥l2，
∵∠DBC＝∠α＝35°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠β＝∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝60°﹣25°＝35°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质、平行线的传递性、等边三角形的性质等知识，当然也可延长BA与l2交于点E，运用平行线的性质及三角形外角的性质解决问题．
13．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．90°
B．120°
C．270°
D．360°
【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵图中是三个等边三角形，∠3＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，
∠BAC＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴60°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）＝180°，
∴∠1+∠2＝120°．
故选：B．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．
14．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3﹣h1＝6，那么等边△ABC的面积为（　　）
A．4
B．8
C．9
D．12
【分析】先设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，根据S△PAB+S△PAC﹣S△PCB＝S△CAB，得出ah1+ah2﹣ah3＝，再根据h2+h3﹣h1＝6，求得a＝4即可得到等边△ABC的面积．
【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则
S△PAB+S△PAC﹣S△PCB＝S△CAB，
即ah1+ah2﹣ah3＝，
∴a（h2+h3﹣h1）＝，
∵h2+h3﹣h1＝6，
∴a＝4，
∴S△CAB＝＝12，
故选：D．
【点评】本题主要考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长之间的关系．根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解决问题的关键．
15．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β．若α＝10°，则β的度数是（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．不能确定
【分析】根据AB＝AD，可得出∠B＝∠ADB，再由∠ADB＝α+∠C，可得出∠C＝β﹣10°，再根据三角形的内角和定理得出β即可．
【解答】解：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵α＝10°，∠ADB＝α+∠C，
∴∠C＝β﹣10°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
即β+β﹣10°＝90°，
解得β＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，是基础知识要熟练掌握．
二．填空题（共9小题）
16．（2019?镇江）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝　40　°．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠BDC＝60°，根据平行线的性质求出∠2，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠BDC＝60°，
由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2﹣∠A＝40°，
故答案为：40．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质、平行线的性质，掌握三角形的三个内角都是60°是解题的关键．
17．（2019?成都）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为　9　．
【分析】利用等腰三角形的性质和题目的已知条件证得△BAD≌△CAE后即可求得CE的长．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用已知和隐含条件证得三角形全等．
18．（2019?广安）等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为　32　cm．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和13cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：由题意知，应分两种情况：
（1）当腰长为6cm时，三角形三边长为6，6，13，6+6＜13，不能构成三角形；
（2）当腰长为13cm时，三角形三边长为6，13，13，周长＝2×13+6＝32cm．
故答案为32．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
19．（2019?绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝　36　度．
【分析】已知有许多线段相等，根据等边对等角及三角形外角的性质得到许多角相等，再利用三角形内角和列式求解即可．
【解答】解：设∠A＝x
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x，∠BDC＝2x
∵BD＝BC
∴∠C＝∠BDC＝2x，∠DBC＝x
∵在BDC中x+2x+2x＝180°
∴x＝36°
∴∠A＝36°．
故填36．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；根据三角形的边的关系，转化为角之间的关系，从而利用方程求解是正确解答本题的关键．
20．（2019?哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为　2　．
【分析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，通过证明△EDF是等边三角形
，可得DE＝EF＝DF＝2，由勾股定理可求OC，BC的长．
【解答】解：如图，连接AC交BD于点O
∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，
BO＝OD＝4
∵CE∥AB
∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°
∴∠DAO＝∠ACE＝30°
∴AE＝CE＝6
∴DE＝AD﹣AE＝2
∵∠CED＝∠ADB＝60°
∴△EDF是等边三角形
∴DE＝EF＝DF＝2
∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2
∴OC＝＝2
∴BC＝＝2
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
21．（2018?黑龙江）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；……．记△B1CB2面积为S1，△B2C1B3面积为S2，△B3C2B4面积为S3，则Sn＝　?（）n﹣1　．
【分析】先计算出S1＝，再根据阴影三角形都相似，后面的三角形面积是前面面积的．
【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，
∴BB1＝B1C＝1，∠ACB＝60°，
∴B1B2＝B1C＝，B2C＝，
∴S1＝××＝
依题意得，图中阴影部分的三角形都是相似图形，且相似比为，
故Sn＝?（）n﹣1．
故答案为：?（）n﹣1．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
22．（2018?葫芦岛）如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3、A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△AnAn+1?n的面积为　（）2n﹣2×　．（用含正整数n的代数式表示）
【分析】由题意△A1A2C1是等边三角形，边长为，△A2A3C2是等边三角形，边长为×，△A3A4C3是等边三角形，边长为××＝（）2×，△A4A5C4是等边三角形，边长为×××＝（）3×，…，一次看到△AnBn+1?n的边长为（）n﹣1×即可解决问题；
【解答】解：由题意△A1A2C1是等边三角形，边长为，
△A2A3C2是等边三角形，边长为×，
△A3A4C3是等边三角形，边长为××＝（）2×，
△A4A5C4是等边三角形，边长为×××＝（）3×，
…，
△AnAn+1?n的边长为（）n﹣1×，
∴△AnAn+1?n的面积为×[（）n﹣1×]2＝（）2n﹣2×．
【点评】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
23．（2017?本溪）如图，∠AOB＝60°，点O1是∠AOB平分线上一点，OO1＝2，作O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，垂足分别为点A1，B1，以A1B1为边作等边三角形A1B1O2；作O2A2⊥OA，O2B2⊥OB，垂足分别为点A2，B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2O3；作O3A3⊥OA，O3B3⊥OB，垂足分别为点A3，B3，以A3B3为边作等边三角形A3B3O4；…按这样的方法继续下去，则△AnBnOn的面积为　或　（用含正整数n的代数式表示）．
【分析】先根据勾股定理和直角三角形30度角的性质求A1O1＝B1O1＝OO1＝1，OA1＝OB1＝，证明△A1OB1是等边三角形，则A1B1＝，求△A1B1O1的面积＝，易证得△A1B1O1∽△A2B2O2，可得＝＝，根据面积比等于相似比的平方得：＝＝，计算＝＝，
同理可得：＝＝×，…，可得结论．
【解答】解：如图，由题意得：∠A1OC1＝∠B1OO1＝30°，OO1＝2，
∠OA1O1＝∠OB1O1＝90°，
∴A1O1＝B1O1＝OO1＝1，
∴OA1＝OB1＝，
∵∠AOB＝60°，
∴△A1OB1是等边三角形，
∴A1B1＝，
设OO4分别与A1B1，A2B2，A3B3的交点为C1，C2，C3，
∴高OC1＝，O1C1＝2﹣＝，
∴△A1B1O1的面积为A1B1×O1C1＝，
易证得△A1B1O1∽△A2B2O2，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴＝＝，
同理可得：＝＝×，…，
＝＝×＝（或）．
故答案为：或．
【点评】本题是图形变化类的规律题，考查了找规律，解决此类问题的关键是依据所给出的若干个具体数据、图形或式子，归纳出具有普遍性的规律，再依据规律求解．
24．（2017?抚顺）如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3＝D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4＝D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An?nCn+1的周长和为　　．（n≥2，且n为整数）
【分析】根据等边三角形的性质分别求出△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An?nCn+1的周长即可解决问题．
【解答】解：∵等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，
∴A1D1＝D1C2，
∴△A2C2C3的周长＝△A1C1C2的周长＝，
∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An?nCn+1的周长分别为1，，，…，，
∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An?nCn+1的周长和为1+++…+＝．
故答案为．
【点评】本题考查等边三角形的性质、解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
三．解答题（共16小题）
25．（2019?攀枝花）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：
（1）点D在BE的垂直平分线上；
（2）∠BEC＝3∠ABE．
【分析】（1）连接DE，根据垂直的定义得到∠ADC＝∠BDC＝90°，根据直角三角形的性质得到DE＝CE，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）连接DE，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵BE是AC边上的中线，
∴AE＝CE，
∴DE＝CE，
∵BD＝CE，
∴BD＝DE，
∴点D在BE的垂直平分线上；
（2）∵DE＝AE，
∴∠A＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，
∵BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，
∵∠BEC＝∠A+∠ABE，
∴∠BEC＝3∠ABE．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
26．（2019?杭州）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA＝PB，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC＝2∠B；
（2）根据题意可知BA＝BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ＝∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．
【解答】解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠BAP，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠APC＝2∠B；
（2）根据题意可知BA＝BQ，
∴∠BAQ＝∠BQA，
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，
∴∠BQA＝2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中．
27．（2019?重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据三角形的内角和即可得到∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD根据平行线的性质得到∠F＝∠CAD，等量代换得到∠BAD＝∠F，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，
又∠C＝42°，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠F＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠F，
∴AE＝FE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
28．（2019?重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
29．（2016?常州）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB＝OC；
（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．
【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB＝∠DBC，从而得证；
（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°
∴△BEC≌△CDB
∴∠DBC＝∠ECB，BE＝CD
在△BOE和△COD中
∵∠BOE＝∠COD，BE＝CD，∠BEC＝∠BDE＝90°
∴△BOE≌△COD，
∴OB＝OC；
（2）∵∠ABC＝50°，AB＝AC，
∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°，
∴∠DOE+∠A＝180°
∴∠BOC＝∠DOE＝180°﹣80°＝100°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；关键是掌握等腰三角形等角对等边．
30．已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，
（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝　20　°；β＝　10　°．
（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．
（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用等腰三角形的性质求出∠DAE，进而求出∠BAD，即可得出结论；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；
（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，同（1）的方法即可得出结论；
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，同（1）的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD＝AE，∠ADE＝70°，
∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，
∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，
∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，
故答案为：20，10；
（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，
∴∠ACB＝x，∠AED＝y，
在△DEC中，y＝β+x，
在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，
∴α＝2β；
（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，
如图1
设∠ABC＝x，∠ADE＝y，
∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，
在△ABD中，x+α＝β﹣y，
在△DEC中，x+y+β＝180°，
∴α＝2β﹣180°，
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，
如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解本题的关键是利用三角形的内角和定理得出等式．
31．如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠C．
求证：AB＝BC．
【分析】连接AC，利用等腰三角形的性质及角的和差证明∠BAC＝∠BCA即可．
【解答】解：连接AC，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA．
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAC＝∠BCA．
∴BA＝BC．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是利用角相等证明线段相等．
32．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，
【分析】（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90，然后余角的性质可推出∠F＝∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F＝∠FDA，于是得到结论；
（2）根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
而∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝60°，BD＝4，
∴BE＝BD＝2，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AD+BD＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝4．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点，关键根据相关的性质定理，通过等量代换推出∠F＝∠FDA，即可推出结论．
33．用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数为a，内部的格点个数为b，则S＝a+（b﹣1）．
对于正三角形网格中的类似问题也有对应结论：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，如图是该正三角形格点中的两个多边形（设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数为m，内部的格点个数为n）：
（1）根据图中提供的信息填表：
m
n﹣1
s
多边形1
11
　3　
15
多边形2
8
1
　10　
…
…
…
…
（2）则S与m、m﹣1之间的关系为　S＝m+2（n﹣1）　（用含m、n的代数式表示）．
【分析】（1）根据题意和图形即可得出结果；
（2）由题意可知15＝11+2×2，10＝8+2×1，得出规律即可．
【解答】解：（1）填表如下：
故答案为：2，10；
（2）由题意可知15＝11+2×2，10＝8+2×1，
∴S＝m+2（n﹣1）；
故答案为：S＝m+2（n﹣1）．
【点评】此题考查了等边三角形的性质、图形的变化规律．根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律是关键．
34．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE．
（2）若∠CDE＝35°，求∠A的度数．
【分析】（1）根据角平分线的性质可得出∠BCD＝∠ECD，由DE∥BC可得出∠EDC＝∠BCD，进而可得出∠EDC＝∠ECD，再利用等角对等边即可证出DE＝CE；
（2）由（1）可得出∠ECD＝∠EDC＝35°，进而可得出∠ACB＝2∠ECD＝70°，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数．
【解答】（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝∠ECD．
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝CE．
（2）解：∵∠ECD＝∠EDC＝35°，
∴∠ACB＝2∠ECD＝70°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线，解题的关键是：（1）根据平行线的性质结合角平分线的性质找出∠EDC＝∠ECD；（2）利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质求出∠ACB＝∠ABC＝70°．
35．（2019?宜兴市二模）已知，如图，等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE＝DC，求证：AD＝BE．
【分析】先根据等边△ABC中，AB＝CA，∠BAC＝∠ACB＝60°，得出∠EAB＝∠DCA＝120°，再根据SAS即可判定△EAB≌△DCA，进而得出结论．
【解答】证明：在等边△ABC中，AB＝CA，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠EAB＝∠DCA＝120°．
在△EAB和△DCA中，
，
∴△EAB≌△DCA（SAS），
∴AD＝BE．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
36．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．
【分析】根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ABF+∠AFB＝∠CBF+∠BED＝90°，
∴∠AFB＝∠BED，
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
37．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3＝12．第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4＝20，…，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an（n?3）
（1）由题意可得a5＝　30　；
（2）求+++…+．
【分析】（1）结合图形观察数字，发现：a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，进一步得到a5＝5×6；
（2）在计算的时候，根据＝﹣，…进行简便计算．
【解答】解：（1）∵a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，
∴a5＝5×6＝30．
（2）+++…+＝﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝．
故答案为30．
【点评】此题考查了图形的变化规律题，注意从特殊推广到一般，能够利用分数的加减法进行简便计算．
38．已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD平分∠BAC，点M是AC的中点，在AD上取点E，使得DE＝AM，EM与DC的延长线交于点F．
（1）当∠BAC＝90°时，①求AE的长；②求∠F的大小．
（2）当∠BAC≠90°时，探究∠F与∠BAC的数量关系．
【分析】（1）①先根据等腰直角三角形的性质求出AD＝AB＝，根据线段中点的定义得出DE＝AM＝，再代入AE＝AD﹣DE即可；
②连接DM，根据等腰直角三角形的性质以及已知条件得出AD⊥BC，AD＝DC，DM＝MC＝AM＝DE，DM⊥AC，∠MDC＝∠MDE＝45°，利用三角形内角和定理以及等边对等角求出∠DEM＝（180°﹣45°）＝67.5°，那么∠F＝90°﹣67.5°＝22.5°；
（2）当∠BAC≠90°时，先根据等腰三角形的性质得出∠ADC＝90°．设∠BAC＝4x，则∠DAC＝2x．根据直角三角形斜边中线的性质得出DM＝MC＝AM＝DE，利用三角形内角和定理以及等边对等角求出∠ADM＝∠DAC＝2x，∠DEM＝（180°﹣2x）＝90°﹣x，那么∠F＝90°﹣DEM＝90°﹣（90°﹣x）＝x，从而得出∠BAC＝4∠F．
【解答】解：（1）当∠BAC＝90°时，
①AE＝AD﹣DE＝AB﹣DE＝﹣；
②连接DM．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，AD＝DC．
∵点M是AC的中点，
∴DM＝MC＝AM＝DE，DM⊥AC，
∴∠MDC＝∠MDE＝45°，
∴∠DEM＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠F＝90°﹣67.5°＝22.5°；
（2）当∠BAC≠90°时，∠BAC＝4∠F．理由如下：
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴∠ADC＝90°．
设∠BAC＝4x，则∠DAC＝2x．
∵点M是AC的中点，
∴DM＝MC＝AM＝DE，
∴∠ADM＝∠DAC＝2x，
∴∠DEM＝（180°﹣2x）＝90°﹣x，
∴∠F＝90°﹣DEM＝90°﹣（90°﹣x）＝x，
∴∠BAC＝4∠F．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，线段中点的定义等知识，作出辅助线得到直角三角形是解题的关键．
39．在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．
（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：
①求证：BE＝AD；
②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；
（2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ACB＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，根据全等三角形的性质得到MC＝BP，同理，CM＝DQ，等量代换得到DQ＝BP，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α，
∴∠ACB＝180°﹣2α，∠DCE＝180°﹣2α，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，
∵∠ABE＝∠BOA+∠BAO，
∴∠CBE+α＝∠BOA+∠BAO，
∴∠BAO+α+α＝∠BOA+∠BAO，
∴∠BOA＝2α；
（2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，
∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC，
∵∠BCA＝∠AMC，
∴∠BCP＝∠CAM，
在△CBP与△ACM中，，
∴△CBP≌△ACM（AAS），
∴MC＝BP，
同理，CM＝DQ，
∴DQ＝BP，
在△BPN与△DQN中，，
∴△BPN≌△DQN（AAS），
∴BN＝ND，
∴N是BD的中点．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
40．已知，在△ABC中，点D在BC上，点E在BC的延长线上，且BD＝BA，CE＝CA．
（1）如图1，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，试求∠DAE的度数；
（2）若∠BAC＝90°，∠B＝60°，则∠DAE的度数为　45°　（直接写出结果）；
（3）如图2，若∠BAC＞90°，其余条件不变，探究∠DAE与∠BAC之间有怎样的数量关系？
【分析】根据三角形的内角和得到∠ACB的度数，根据等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠E，根据三角形的外角的性质得到∠E，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ADB，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴∠ACB＝45°，
∵CE＝AC，
∴∠CAE＝∠E，
∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝45°，
∴∠E＝22.5°，
∵AB＝DB，
∴∠ADB＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠DAE＝∠ADB﹣∠E＝45°；
（2）∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∵CE＝AC，
∴∠CAE＝∠E，
∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝30°，
∴∠E＝15°，
∵AB＝DB，
∴∠ADB＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠DAE＝∠ADB﹣∠E＝45°；
故答案为：45°；
（3）设∠BAC＝α，∠B＝β°，
∴∠ACB＝180°﹣α﹣β，
∵CE＝AC，
∴∠CAE＝∠E，
∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝180°﹣α﹣β，
∴∠E＝90°﹣α﹣β，
∵AB＝DB，
∴∠ADB＝（180°﹣β）＝90°﹣β，
∴∠DAE＝∠ADB﹣∠E＝90°﹣β﹣（90°﹣α﹣β）＝α；
∴∠BAC＝2∠DAE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
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