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新华师大版九年级上册数学
第23章
图形的相似单元提升测试卷
姓名____________
时间:
90分钟
满分:150分
总分____________
一、选择题（每小题3分,共30分）
1.已知,则下列各式一定成立的是
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
2.如图所示,已知,
AB=3,
BC=5,
DF=10,
则DE的长为
【
】
（A）4
（B）
（C）3
（D）2.1
3.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,
DE=1,
AD=2,
DB=3,
则BC的长是
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
4.如图所示,△ABC∽△ACD,且AD=8,
DB=6,则AC等于
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
5.如图所示,在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠C=90°,
∠BDA=90°,AB=,BD
,CD=,BC=,AD=,则下列等式成立的是
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
6.如图所示,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且将这个四边形分成①,②,③,④四个三角形.若,则下列结论中一定正确的是
【
】
（A）①与②相似
（B）①与③相似
（C）①与④相似
（D）②与④相似
7.如图所示,在□ABCD中,E为CD上一点,连结AE、BD,且AE、BD相交于点F,S△DEF
:
S△ABF=4
:
25,则DE
:
EC=
【
】
（A）2
:
5
（B）2
:
3
（C）3
:
5
（D）3
:
2
8.如图所示,已知D、E分别是△ABC的边AB、
AC上的点,且DE∥BC,S△ADE
:
S四边形DBCE
=1
:
8,
那么AE
:
AC等于
【
】
（A）1
:
9
（B）1
:
3
（C）1
:
8
（D）1
:
2
9.如图所示,D是△ABC的边BC上一点,已知AB=4,
AD=2.∠DAC=∠B,若△ABD的面积为,则△ACD的面积为
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
10.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若AC=2,则AD的长是
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题（每小题3分,共30分）
11.若,则________.
12.如图所示,∠C=∠E
=90°,AC=3,
BC=4,
AE=2,则AD=________.
13.如图所示,已知□ABCD中,E是AB边
上一点,DE与AC相交于点F,若,
则________.
14.如图所示,若平行于BC的DE把△ABC分成两个面积相等的部分,则________.
15.如图所示,AC⊥CD,BD⊥CD,AB与CD相交于点O.若AC=1,
BD=2,
CD=4,则AB=________.
16.如图所示,给出下列条件:
①∠B=∠ACD;
②∠ADC=∠ACB;
③;
④.其中能够单独判定△ABC∽△ACD的是_________.（填序号）
17.如图所示,在长为8,宽为6的矩形中,截去一个矩形,使留下的矩形ABCD与原矩形相似,那么矩形ABCD的面积是________.
18.如图所示,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E、F分别为PB、PC的中点,△PEF,
△PDC,
△PAB的面积分别为,若则_______.
19.如图所示,在△ABC中,AB=6
cm,
AC=4
cm,点P是AC的中点,过点P的直线交AB于点Q,若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似,则AQ的长为__________.
20.如图,在正方形ABCD中,M是BC边上的动点,N在CD上,且CN=CD,若AB=1,设BM=x,当x=__________时,以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似.
三、解答题（共90分）
21.（10分）如图所示,E为正方形ABCD的BC边延长线上一点,AE交CD于F,
FN∥AD交DE于N.
求证:.
22.（10分）如图所示,在的正方形网格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
（1）填空:∠ABC=________,BC=________;
（2）判断△ABC和△DEF是否相似,并证明你的结论.
23.（10分）如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.
求证:
△ABD∽△CBE.
24.（10分）如图所示,△ABC为正三角形,D、E分别是AC、BC上的点（不在顶点）,∠BDE=60°.
求证:△DEC∽△BDA.
25.（10分）如图所示,P为△ABC的中线AD上一点,且.
求证:△ADC∽△CDP.
26.（10分）如图所示,△ABD∽△ACE.
求证:△ABC∽△ADE.
27.（10分）如图所示,
△ABC是一块三角形余料,其中BC=12cm,高AD=8cm,现在要把它裁剪成一个正方形材料备用,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,问这个正方形材料的边长应该是多少?
28.（10分）如图所示,四边形ABDC、DCEF、EFHG是三个边长相等的正方形.
（1）求证:△ADF∽△HDA;
（2）求证:∠1+∠2+∠3=90°.
29.（10分）如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向B点以每秒2cm的速度运动,点Q沿DA边从点D开始向点A以每秒1cm的速度运动,如果P、Q同时出发,用表示运动的时间≤≤
（1）求四边形QAPC的面积,提出一个与计算结果相关的结论;
（2）当为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.
新华师大版九年级上册数学
第23章
图形的相似单元提升测试卷参考答案
一、选择题（每小题3分,共30分）
题号
1
2
3
4
5
答案
D
B
C
D
A
题号
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
C
C
二、填空题
题号
11
12
13
14
答案
题号
15
16
17
答案
5
①②④
27
题号
18
19
答案
8
3cm或cm
题号
20
答案
或
21.证明:∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD
∴AB∥FC
∴△ECF∽△EBA
∴
∵FN∥AD
∴△EFN∽△EAD
∴
∵
∴.
●注意:在书写三角形相似时,对应的字母一定要写在对应的位置上,这一点与三角形全等的要求是一样的.
在解决本章的问题时,常常需要借助于相似三角形的性质,如对应边成比例等.
22.解:（1）135°
,
;
（2）△ABC∽△DEF
理由如下:∵
∴
∴
∵∠ABC=∠DEF=135°
∴△ABC∽△DEF.
●注意:正方形网格能很好地提供线段的长度和某些角的度数,是证明三角形相似或全等的很好载体.
本题在证明三角形相似时,有些学生采用的是相似三角形的判定定理3:三边对应成比例的两个三角形相似.你会证明吗?
23.证明:
∵AB=AC,BD=CD
∴AD⊥BC
（等腰三角形“三线合一”）
∴∠ADB=90°
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠ADB=90°
∵∠B=∠B
∴△ABD∽△CBE.
●注意:（1）在证明本题时,有些学生忘记了等腰三角形“三线合一”的性质,导致证明繁琐!
（2）在证明三角形相似时,也要利用图形中的公共角、公共边等条件.
24.证明:∵△ABC是正三角形
∴∠A=∠C=60°
∴∠1+∠ADB=120°
∵∠BDE=60°
∴∠2+∠ADB=120°
∴∠1=∠2
∵∠A=∠C
∴△BDA∽△DEC.
25.证明:∵AD为△ABC的中线
∴BD=CD
∵
∴
∴
∵
∴△ADC∽△CDP.
注意:（1）我们反复强调,在书写三角形全等和相似时,都要将对应的字母写在对应的位置上,有些图形不容易确定对应边和对应角,但是题目要证明的问题却已经把字母的顺序给安排好了,如本题要证明的△ADC∽△CDP;
（2）本题证明三角形相似时,用到的判定定理是:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.有些学生在证明时也使用了该定理,但是两边成比例的两边却不是夹角的两边.（包括下一题）
证明:∵△ABD∽△ACE
∴,
∴
（比例的性质,必须这样写,因为AB、AD是△ABC∽△ADE的对应边,AC、AE也是△ABC∽△ADE的对应边,且这两组对应边是的夹边）
∴
∴
∴△ABC∽△ADE.
27.解:∵四边形PQMN是正方形
∴PN∥BC
∴△APN∽△ABC
设,则
∴（想想这是为什么?）
∴
解之得:
即PN=4.8
cm
答:这个正方形材料的边长是4.8
cm.
28.证明:（1）由图可知:
∠ADF=∠HDA=135°
（从现在就已经开始对应了）
设小正方形的边长为,则有:
∴
∴
∵∠ADF=∠HAD
∴△ADF∽△HDA;
（2）由（1）知:
△ADF∽△HAD
∴∠DAF=∠DHA=∠3
∵∠1是△ADF的一个外角
∴∠1=∠DAF+∠2=∠3+∠2
∵∠1=45°
∴∠1+∠2+∠3=2∠1=90°.
29.解:（1）△DCQ、△PCB的面积分别为:
∴
因此,在点P、Q运动的过程中,四边形QAPC的面积是一个定值,保持36
cm2不变;
（2）分为两种情况:
①当△QAP∽△ABC时,有
解之得:;
②当△QAP∽△CBA时,有
解之得:.
综上所述,当s或s时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.
第10页

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