2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词学案含解析(2份打包)新人教A版必修第一册

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2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词学案含解析(2份打包)新人教A版必修第一册

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1.5 全称量词与存在量词
【素养目标】
1.理解全称量词、存在量词的含义.(数学抽象)
2.掌握全称量词命题与存在量词命题的真假判断.(逻辑推理)
3.能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定.(数学抽象)
4.掌握全称量词命题和存在量词命题与它们的否定在形式上的变化规律.(数学抽象)
5.能够用全称量词命题和存在量词命题解决简单的数学问题.(逻辑推理)
【学法解读】
1.本节的重点是对全称量词和存在量词的理解,难点是对含有一个量词的命题的否定.
2.在本节的学习中,要重点关注全称量词命题与存在量词命题的真假判断和全称量词命题与存在量词命题的否定,熟记一些全称量词命题与存在量词命题的不同表述方法,并能够熟练运用其表示符号.
第1课时 全称量词与存在量词
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 全称量词与全称量词命题
1.全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__全称量词__,并用符号“__?__”表示.
2.全称量词命题:含有__全称量词__的命题,叫做全称量词命题.
3.全称量词命题的表述形式:全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”,可用符号简记为__?x∈M,p(x)__.
4.全称量词命题的真假判断:要判断一个全称量词命题是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个x0∈M,使得p(x0)不成立即可.
思考1:怎样判断一个命题是全称量词命题?
提示:判断一个命题是否为全称量词命题,一是看该命题是否含有全称量词;二是看该命题是否为省去全称量词的命题,如果是,我们可以先把全称量词补充出来再判断.
知识点2 存在量词与存在量词命题
1.存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__存在量词__,并用符号“__?__”表示.
2.存在量词命题:含有存在量词的命题,叫做__存在量词命题__.
3.存在量词命题的表述形式:存在量词命题“存在M中的元素x,使p(x)成立”,可用符号简记为__?x∈M,p(x)__.
4.存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在集合M中,能找到一个元素x,使p(x)成立即可;否则这一命题就是假命题.
思考2:怎样判断一个命题是存在量词命题?
提示:判断一个命题是否为存在量词命题,一是看该命题是否含有存在量词;二是看该命题是否为省去存在量词的命题,如果是,我们可以先把存在量词补充出来再判断.
基础自测
1.下列命题中全称量词命题的个数是( C )
①任意一个自然数都是正整数;
②有的矩形是正方形;
③三角形的内角和是180°.
A.0        
B.1
C.2
D.3
[解析] ①③是全称量词命题.
2.下列命题中,不是全称量词命题的是( D )
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.自然数都是正整数
C.每一个向量都有大小
D.一定存在没有最大值的二次函数
[解析] 选项D是存在量词命题.
3.下列存在量词命题是假命题的是( B )
A.存在x∈Q,使2x-x3=0
B.存在x∈R,使x2+x+1=0
C.有的整数是偶数
D.有的有理数没有倒数
[解析] 对于任意的x∈R,x2+x+1=(x+)2+>0恒成立,所以存在x∈R,使x2+x+1=0是假命题.
4.下列语句中,是全称量词命题的是__①②③__,是存在量词命题的是__④__.
①菱形的四条边相等;
②所有含两个60°角的三角形是等边三角形;
③负数的立方根不等于0;
④至少有一个负整数是奇数;
⑤所有有理数都是实数吗?
[解析] ①②③是全称量词命题;④是存在量词命题;⑤不是命题.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断
例1
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)梯形的对角线相等;
(2)存在一个四边形有外接圆;
(3)二次方程都存在实数根;
(4)过平面内两点有且只有一条直线.
[分析] →
[解析] (1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”,很显然为全称量词命题.
(2)命题为存在量词命题.
(3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”,故为全称量词命题.
(4)命题是命题“过平面内任意两点有且只有一条直线”的简写,故为全称量词命题.
[归纳提升] 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤
【对点练习】?
判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题.
(1)对任意的n∈Z,2n+1是奇数;
(2)有些三角形不是等腰三角形;
(3)有的实数是无限不循环小数;
(4)所有的正方形都是矩形.
[解析] (1)含有全称量词“任意”,故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题.
(3)含有存在量词“有的”,故为存在量词命题.
(4)含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.
题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2
判断下列命题的真假.
(1)?x∈R,x2+1>;
(2)?α,β∈R,(α-β)2=(α+β)2;
(3)存在一个数既是偶数又是负数;
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示;
(5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.
[分析] 对于全称量词命题,判断为真,需要证明,判断为假,举出反例;对于存在量词命题,判断为真,举出特例,判断为假,必须对给定集合中的每一个元素x,使命题p(x)为假.
[解析] (1)真命题,因为x2+1-=x2+,
因为x2≥0,所以x2+1≥1,x2+1>恒成立.
(2)真命题,例如α=0,β=1,符合题意.
(3)真命题,如数-2,-4等,既是偶数又是负数.
(4)假命题,如:边长为1的正方形的对角线长为,它的长度就不是有理数.
(5)假命题,因为该方程的判别式Δ=-31<0,故无实数解.
[归纳提升] 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法
(1)要判断一个全称量词命题为真,必须给定集合中的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假.
(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对给定集合中的每一个元素x,使命题p(x)为假.
【对点练习】?
指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.
(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点;
(2)存在一个实数,它的绝对值不是正数;
(3)?x,y∈Z,使3x-4y=20;
(4)任何数的0次方都等于1.
[解析] (1)全称量词命题.在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题.
(2)存在量词命题.存在一个实数零,它的绝对值不是正数,所以该命题是真命题.
(3)存在量词命题.取x=0,y=-5时,3×0-4×(-5)=20成立,所以该命题是真命题.
(4)全称量词命题.0的0次方无意义,所以该命题是假命题.
题型三 全称量词命题与存在量词命题的应用
例3
已知命题p:?x∈R,ax2+2x+1≠0,q:?x∈R,ax2+ax+1≤0.若p与q均为假命题,求实数a的取值范围.
[解析] ∵p:?x∈R,ax2+2x+1≠0,q:?x∈R,ax2+ax+1≤0,
∴?p:?x∈R,ax2+2x+1=0,?q:?x∈R,ax2+ax+1>0.
由题意得?p与?q都是真命题.
由?p为真命题得a=0或故a≤1.
由?q为真命题得a=0或
故0≤a<4.
∴解得0≤a≤1.
故实数a的取值范围是[0,1].
[归纳提升] 解决含有量词的命题求参数范围问题的思路
1.全称量词命题求参数范围的问题,常以一次函数、二次函数为载体进行考查,一般在题目中会出现“恒成立”等词语.解决此类问题,可构造函数,利用数形结合求参数范围,也可用分离参数法求参数范围.
2.存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语,对于此类问题,通常是假设存在满足条件的参数,然后利用条件求参数范围,若能求出参数范围,则假设成立;反之,假设不成立.解决有关存在量词命题的参数取值范围问题时,应尽量分离参数.
【对点练习】?
已知命题p:“?x∈R,关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有实数根”是真命题,则实数m的取值范围是( C )
A.m<3    
B.m>3
C.m≤3
D.m≥3
[解析] 依题意,方程x2-2x+m=0有实数解,则Δ=(-2)2-4m≥0,所以m≤3,故选C.
课堂检测·固双基
1.下列命题是全称量词命题的是( B )
A.有的三角形是等边三角形
B.所有2的倍数都是偶数
C.有一个实数,使|x|≤0
D.至少有一个x∈{x|x是无理数},x2是无理数
2.下列命题中是真命题的是( B )
A.?x∈R,x2+1<0
B.?x∈Z,3x+1是整数
C.?x∈R,|x|>3
D.?x∈Q,x2∈Z
3.下列命题中,是全称量词命题的有__②③__,是存在量词命题的有__①④__.(填序号)
①有的集合的真子集个数为0;②所有有两个角是60°的三角形是等边三角形;③任意一个集合与空集的交集都是空集;④至少有一个无理数的平方是有理数;⑤所有正数都是实数吗?
4.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是__存在量词命题__(填全称量词命题或存在量词命题),用符号表示为__?x,y∈R,x+y>1__.
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-第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 全称量词命题的否定
全称量词命题p
?p
结论
?x∈M,p(x)
__?x∈M,?p(x)__
全称量词命题的否定是存在量词命题
思考1:用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗?
提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“存在一个菱形不是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.
知识点2 存在量词命题的否定
存在量词命题p
?p
结论
?x∈M,p(x)
__?x∈M,?p(x)__
存在量词命题的否定是全称量词命题
思考2:一般命题的否定与含有一个量词的命题的否定相同吗?
提示:(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即将全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.
(2)与一般命题的否定相同,含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.因此,对含有一个量词的命题的否定,应根据命题所叙述对象的特征,挖掘其中的量词并按要求改变量词.
基础自测
1.写出下列命题的否定:
(1)?n∈Z,n∈Q;
(2)任意奇数的平方还是奇数;
(3)每个平行四边形都是中心对称图形.
[解析] (1)?n∈Z,n?Q;
(2)存在一个奇数的平方不是奇数;
(3)存在一个平行四边形不是中心对称图形.
2.写出下列命题的否定:
(1)有些三角形是直角三角形;
(2)有些梯形是等腰梯形;
(3)存在一个实数,它的绝对值不是正数.
[解析] (1)任意三角形都不是直角三角形;
(2)所有的梯形都不是等腰梯形;
(3)任意一个实数,它的绝对值都是正数.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 全称量词命题的否定
例1
写出下列全称量词命题的否定:
(1)任何一个平行四边形的对边都平行;
(2)?a∈R,方程x2+ax+2=0有实数根;
(3)?a,b∈R,方程ax=b都有唯一解;
(4)可以被5整除的整数,末位是0.
[分析] 把全称量词改为存在量词,然后否定结论.
[解析] (1)存在一个平行四边形,它的对边不都平行.
(2)?a∈R,方程x2+ax+2=0没有实数根.
(3)?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.
(4)存在被5整除的整数,末位不是0.
[归纳提升] 1.全称量词命题的否定的两个关注点
(1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.
(2)有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定写成“是”或“不是”.
2.常见词语的否定
词语
词语的否定
等于
不等于
大于
不大于(即小于或等于)
小于
不小于(即大于或等于)

不是
都是
不都是
【对点练习】?
写出下列全称量词的否定:
(1)?x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|≥2;
(2)任何一个实数除以1,仍等于这个数;
(3)所有分数都是有理数;
(4)任意两个等边三角形都相似.
[解析] (1)该命题的否定:
?x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2.
(2)该命题的否定:存在一个实数除以1,不等于这个数.
(3)该命题的否定:存在一个分数不是有理数.
(4)该命题的否定:存在两个等边三角形,它们不相似.
题型二 存在量词命题的否定
例2
写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.
(1)p:存在x∈R,2x+1≥0;
(2)q:存在x∈R,x2-x+<0;
(3)r:有些分数不是有理数.
[分析] 把存在量词改为全称量词,然后否定结论.
[解析] (1)任意x∈R,2x+1<0,为假命题.
(2)任意x∈R,x2-x+≥0.
因为x2-x+=(x-)2≥0,所以是真命题.
(3)一切分数都是有理数,是真命题.
[归纳提升] 1.存在量词命题否定的方法及关注点
(1)方法:与全称量词命题的否定的写法类似,要写出存在量词命题的否定,先确定它的存在量词,再确定结论,然后把存在量词改写为全称量词,对结论作出否定就得到存在量词命题的否定.
(2)关注点:注意对不同的存在量词的否定的写法,例如,“存在”的否定是“任意的”,“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等.
2.对省略量词的命题的否定
对于一个含有量词的命题,容易知道它是全称量词命题或存在量词命题,可以直接写出其否定,而对省略量词的命题在写命题的否定时,应首先根据命题中所叙述的对象的特征,挖掘其隐含的量词,确定是全称量词命题还是存在量词命题,先写成全称量词命题或存在量词命题的形式,再对其进行否定.
【对点练习】?
判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
(1)某些梯形的对角线互相平分;
(2)?x∈{x|x是无理数},x2是无理数;
(3)在同圆中,同弧所对的圆周角相等;
(4)存在k∈R,函数y=kx+b随x值的增大而减小.
[解析] (1)假命题.任意一个梯形的对角线都不互相平分.
(2)真命题.?x∈{x|x是无理数},x2是有理数.
(3)真命题.在同圆中,同弧所对的圆周角不相等.
(4)真命题.任意k∈R,函数y=kx+b不随x值的增大而减小.
误区警示
写命题的否定时忽略隐含的量词
例3
写出下列命题的否定:
(1)可以被5整除的数,末位是5;
(2)能被3整除的数,也能被4整除.
[错解] (1)可以被5整除的数,末位不是5;(2)能被3整除的数,不能被4整除.
[错因分析] 对于(1),原命题为假命题,错解中命题的否定也是假命题,故此命题的否定不正确,(2)的错误与(1)相仿.实际上,(1)(2)均为省略了全称量词的全称量词命题,因此写其否定时,要补全量词,不能只否定结论,不改变量词.
[正解] (1)省略了全称量词“任何一个”,命题的否定为:有些可以被5整除的数,末位不是5.
(2)省略了全称量词“所有”,命题的否定为:存在一个能被3整除的数,不能被4整除.
[方法点拨] 由于全称量词往往省略不写,因此在写这类命题的否定时,必须找出其中省略的全称量词,写成“?x∈M,p(x)”的形式,再把它的否定写成“?x∈M,?p(x)”的形式.要学会挖掘命题中隐含的量词,注意把握每一个命题的实质,写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证.
课堂检测·固双基
1.命题“对于任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( D )
A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0
B.存在x∈R,x3-x2+1≥0
C.对任意的x∈R,x3-x2+1>0
D.存在x∈R,x3-x2+1>0
[解析] 全称量词命题的否定是存在量词命题,故排除C;由命题的否定只否定结论,不否定条件,可排除A,B.
2.命题“?x∈R,x3-2x+1=0”的否定是( D )
A.?x∈R,x3-2x+1≠0
B.不存在x∈R,x3-2x+1≠0
C.?x∈R,x3-2x+1=0
D.?x∈R,x3-2x+1≠0
[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题,故排除A;由命题的否定要否定结论,可排除C;由存在量词“?”应改为全称量词“?”,可排除B.
3.写出下列命题的否定:
(1)?x∈R,|x|+1-x≠0;
(2)?a∈R,一次函数y=x+a的图象经过原点.
[解析] (1)命题的否定:?x∈R,|x|+1-x=0.
(2)命题的否定:?a∈R,一次函数y=x+a的图象不经过原点.
4.写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p:每一个素数都是奇数;
(2)p:与同一条直线垂直的两条直线平行;
(3)p:有些实数的绝对值是正数;
(4)p:某些平行四边形是菱形.
[解析] (1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”,因此?p:存在一个素数不是奇数,是真命题.
(2)是全称量词命题,省略了全称量词“任意”,即“任意两条与同一条直线垂直的直线平行”,因此?p:存在两条与同一条直线垂直的直线不平行,是假命题.
(3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”,因此?p:所有实数的绝对值都不是正数,是假命题.
(4)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”,因此?p:每一个平行四边形都不是菱形,是假命题.
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