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2020学年浙教版第二章《特殊三角形》
专题提升：直角三角形的判定与性质
专题一：直角三角形的性质
例1：如图，在△ABC中，∠ACB
=
90°，D是AB上的一点，过点D作DE⊥AB，交BC于点F，交AC的延长线于点E，连结CD，∠DCA
=
∠DAC.有下列结论:①∠DCB
=
∠B；②CD
=
AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E
=
30°，则DE
=
EF
+
CF.其中正确的是
_________
（填序号）.
变式1
-
1
如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1
=
6，S3
=
15，则S2
=
_________
.
变式1
-
2
在△ABC中，AB
=，BC
=
1，∠ABC
=
45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD
=
90°，连结CD，则线段CD的长为
_________
.
专题二：直角三角形的判定
例2：如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD相交于点E，∠1
=
∠2.求证:△ABC是直角三角形.
变式2
-
1
有下列结论:①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2
+
AC2
=
AB2，则∠A
=
90°；③在△ABC中，若∠A:∠B:∠C
=
1:5:6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边之比为3:4:5，则该三角形是直角三角形.其中错误的有
（
）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
变式2
-
2
在△ABC中，∠A:∠B:∠C
=
2:1:1，则△ABC是
_________
三角形.
巩固练习
1.（大连中考）如图，在△ABC中，∠ACB
=
90°，CD⊥AB，垂足为D.若E是AB的中点，CD
=
DE
=
a，则AB的长为
A.2a
B.2a
C.3a
D.a
2.如图，在四边形ABCD中，∠B
=
90°，AB
=
4，BC
=
3，CD
=
13，AD
=
12，则四边形ABCD的面积为
（　　　）
A.12
B.24
C.36
D.48
3.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3
m处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵树在折断前的高度为
_________
m.
4.在△ABC中，∠A
=
50°，∠B
=
30°，点D在AB边上，连结CD.若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为
_________
.
5.如图，以正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，且四边形EFGH为正方形，这样的图形我们称为弦图.将正方形ABCD放入右边每个小正方形的边长为1的网格中，若正方形的四个顶点A，B，C，D和四个直角顶点E，F，G，H都在格点上，我们把这样的图形称为格点弦图，问:当格点弦图中的正方形ABCD的边长为5时，正方形EFGH的面积的所有可能值是
_________
.
6.如图，P是等边三角形ABC内一点，PA
=
6，PB
=
8，PC
=
10，则∠APB
=
_________
.
7.（温州中考）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数.
（2）若CD
=
2，求DF的长.
8.（1）如图①，这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论:在直角三角形中两直角边a，b与斜边c满足关系式a2
+
b2
=
c2.该结论也称为勾股定理.
证明:∵大正方形的面积可表示为S
=
c2，又可表示为S
=
4
×
ab
+
（b-a）2，∴4
×
ab
+
（b-a）2
=
c2，∴a2
+
b2
=
c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形，如图②，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程.
（3）如图③，∠ABC
=
∠ACE
=
90°，请你添加适当的辅助线证明结论:a2
+
b2
=
c2.

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