2020-2021学年河南省商丘市柘城县九年级上学期第一次月考数学试卷 (word解析版)

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2020-2021学年河南省商丘市柘城县九年级上学期第一次月考数学试卷 (word解析版)

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2020-2021学年河南省商丘市柘城县九年级(上)第一次月考数学试卷
一、选择题(共10小题).
1.下列关于x的方程:①ax2+bx+c=0;②x2+=6;③x2=0;④x=3x2⑤(x+1)(x﹣1)=x2+4x中,一元二次方程的个数是(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.对于函数y=(x+2)2﹣9,下列结论错误的是(  )
A.图象顶点是(﹣2,﹣9) B.图象开口向上
C.图象关于直线x=﹣2对称 D.函数最大值为﹣9
3.已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2,则另一实数根及m的值分别为(  )
A.4,﹣2 B.﹣4,﹣2 C.4,2 D.﹣4,2
4.某农机厂四月份生产零件40万个,第二季度共生产零件162万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是(  )
A.40(1+x)2=162
B.40+40(1+x)+40(1+x)2=162
C.40(1+2x)=162
D.40+40(1+x)+40(1+2x)=162
5.关于x的一元二次方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足(  )
A.a≥1 B.a>1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5
6.一个三角形的两边长为3和8,第三边的边长是x(x﹣9)﹣13(x﹣9)=0的根,则这个三角形的周长是(  )
A.20 B.20或24 C.9和13 D.24
7.将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后,再向上平移2个单位,得到新抛物线的解析式为(  )
A.y=(x﹣8)2+5 B.y=(x﹣4)2+5
C.y=(x﹣8)2+3 D.y=(x﹣4)2+3
8.已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=﹣(x+1)2+2上,则下列结论正确的是(  )
A.2≤y1<y2 B.2≤y2<y1 C.y1<y2<2 D.y2<y1<2
9.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(1,0),对称轴是直线x=﹣1,则方程ax2+bx+c=0的解是(  )
A.x1=﹣3,x2=1 B.x1=3,x2=1 C.x=﹣3 D.x=﹣2
10.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,与x轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是x=1.下列结论中:①abc>0; ②2a+b=0; ③方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根; ④4a﹣2b+c=0; ⑤若点A(m,n)在该抛物线上,则am2+bm+c≤a+b+c,其中正确的个数有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
11.一元二次方程x2=5x的根   .
12.若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根,则一次函数y=(m+1)x+m﹣1的图象不经过第   象限.
13.已知二次函数y=﹣3x2+(m﹣1)x+1,当x>时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是   .
14.如图,抛物线y=a(x+2)2+3(a<0)与y轴正半轴交于点A,过点A作AB∥x轴交抛物线于点B,抛物线的对称轴交抛物线于点M、交x轴于点M,连结MA、MB、MA、NB,则四边形ANBM的面积为   .
15.设A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=﹣x2﹣2x+2上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为   .
三、解答题
16.解方程:
(1)x2+3x+1=0
(2)(x﹣3)2+4x(x﹣3)=0.
17.已知二次函数y=﹣2x2﹣4x+1,先用配方法转化成y=a(x﹣h)2+k,再写出函数的顶点坐标、对称轴以及描述该函数的增减性.
18.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+k﹣1=0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若此方程的两实数根x1,x2满足x12+x22=11,求k的值.
19.要修一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
20.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,函数值y与自变量x的部分对应值如表:
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …
(1)求该二次函数的表达式;
(2)当y≥4时,求自变量x的取值范围.
21.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,同时点Q从点B开始沿BC这向点C以2cm/s的速度移动.当一个点到达终点时另一点也随之停止运动,运动时间为x秒(x>0)
(1)求几秒后,PQ的长度等于5cm;
(2)运动过程中,△PQB的面积能否等于8cm2?说明理由.
22.某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时,三月份销售128件,四、五月份该商品的销售量持续走高,在售价不变的前提下,五月份的销量达到200件.假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变
(1)求四、五两个月销售量的月平均增长率;
(2)从六月起,商场采用降价促销方式回馈顾客,经调查发现,该商品每降1元,销售量增加5件,当商品降价多少元时,商场可获利2250元?
23.如图所示,一元二次方程x2+2x﹣3=0的两根x1,x2(x1<x2)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点C,B的横坐标,且此抛物线过点A(3,6)
(1)求此抛物线的函数解析式;
(2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与线段AC交于点Q,求点P,Q的坐标.
(3)在x轴上是否存在以动点M,使MQ+MA有最小值,若存在求出点M的坐标和最小值,若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题
1.下列关于x的方程:①ax2+bx+c=0;②x2+=6;③x2=0;④x=3x2⑤(x+1)(x﹣1)=x2+4x中,一元二次方程的个数是(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】依据一元二次方程的定义求解即可.
解:①当a=0时,ax2+bx+c=0不是一元二次方程;②x2+=6是分式方程;③x2=0是一元二次方程;④x=3x2是一元二次方程⑤(x+1)(x﹣1)=x2+4x,整理后不含x的二次项,不是一元二次方程.
故选:B.
2.对于函数y=(x+2)2﹣9,下列结论错误的是(  )
A.图象顶点是(﹣2,﹣9) B.图象开口向上
C.图象关于直线x=﹣2对称 D.函数最大值为﹣9
【分析】根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确,本题得以解决.
解:∵函数y=(x+2)2﹣9=x2+4x﹣5,
∴该函数图象的顶点坐标是(﹣2,﹣9),故选项A正确;
a=1>0,该函数图象开口向上,故选项B正确;
该函数图象关于直线x=﹣2对称,故选项C正确;
当x=﹣2时,该函数取得最小值y=﹣9,故选项D错误;
故选:D.
3.已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2,则另一实数根及m的值分别为(  )
A.4,﹣2 B.﹣4,﹣2 C.4,2 D.﹣4,2
【分析】根据题意,利用根与系数的关系式列出关系式,确定出另一根及m的值即可.
解:由根与系数的关系式得:2x2=﹣8,2+x2=﹣m=﹣2,
解得:x2=﹣4,m=2,
则另一实数根及m的值分别为﹣4,2,
故选:D.
4.某农机厂四月份生产零件40万个,第二季度共生产零件162万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是(  )
A.40(1+x)2=162
B.40+40(1+x)+40(1+x)2=162
C.40(1+2x)=162
D.40+40(1+x)+40(1+2x)=162
【分析】主要考查增长率问题,一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么可以用x分别表示五、六月份的产量,然后根据题意可得出方程.
解:依题意得五、六月份的产量为40(1+x)、40(1+x)2,
∴40+40(1+x)+40(1+x)2=162.
故选:B.
5.关于x的一元二次方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足(  )
A.a≥1 B.a>1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5
【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0,结合二次项的系数非零,可得出关于a一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论.
解:由已知得:,
解得:a≥1且a≠5.
故选:C.
6.一个三角形的两边长为3和8,第三边的边长是x(x﹣9)﹣13(x﹣9)=0的根,则这个三角形的周长是(  )
A.20 B.20或24 C.9和13 D.24
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解,确定出三角形第三边,求出周长即可.
解:方程x(x﹣9)﹣13(x﹣9)=0,
分解因式得:(x﹣13)(x﹣9)=0,
解得:x1=13,x2=9,
当第三边为13时,3+8=11<13,不能构成三角形,舍去;
则三角形周长为3+8+9=20.
故选:A.
7.将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后,再向上平移2个单位,得到新抛物线的解析式为(  )
A.y=(x﹣8)2+5 B.y=(x﹣4)2+5
C.y=(x﹣8)2+3 D.y=(x﹣4)2+3
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标,根据该顶点坐标写出新抛物线解析式即可.
解:抛物线y=x2﹣6x+21=(x﹣6)2+3,它的顶点坐标是(6,3).
将其向左平移2个单位,再向上平移2个单位后,得到新抛物线的顶点坐标是(4,5),
所以新抛物线的解析式是:y=(x﹣4)2+5.
故选:B.
8.已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=﹣(x+1)2+2上,则下列结论正确的是(  )
A.2≤y1<y2 B.2≤y2<y1 C.y1<y2<2 D.y2<y1<2
【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值,然后对各选项进行判断.
解:当x=1时,y1=﹣(x+1)2+2=﹣(1+1)2+2=﹣2;
当x=2时,y2=﹣(x+1)2+2=﹣(2+1)2+2=﹣7;
所以y2<y1<2.
故选:D.
9.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(1,0),对称轴是直线x=﹣1,则方程ax2+bx+c=0的解是(  )
A.x1=﹣3,x2=1 B.x1=3,x2=1 C.x=﹣3 D.x=﹣2
【分析】直接利用抛物线的对称性以及结合对称轴以及抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A(1,0),得出另一个与x轴的交点,进而得出答案.
解:∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A(1,0),对称轴为直线x=﹣1,
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点是(﹣3,0),
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是:x1=﹣3,x2=1.
故选:A.
10.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,与x轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是x=1.下列结论中:①abc>0; ②2a+b=0; ③方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根; ④4a﹣2b+c=0; ⑤若点A(m,n)在该抛物线上,则am2+bm+c≤a+b+c,其中正确的个数有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】根据函数图象和图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确,从而可以解答本题.
解:由图象可得,
a<0,b>0,c>0,
∴abc<0,故①错误,
﹣=1,则b=﹣2a,故2a+b=0,故②正确;
抛物线与x轴有两个交点,故方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根,故③正确;
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是x=1,
∴该抛物线与x轴的另一个交点为(﹣2,0),
∴当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c=0,故④正确;
∵当x=1时,该函数取得最大值,此时y=a+b+c,
∴点A(m,n)在该抛物线上,则am2+bm+c≤a+b+c,故⑤正确;
故选:D.
二、填空题
11.一元二次方程x2=5x的根 x1=0,x2=5 .
【分析】先移项,然后通过提取公因式x对等式的左边进行因式分解.
解:由原方程,得
x2﹣5x=0,
则x(x﹣5)=0,
解得x1=0,x2=5.
故答案是:x1=0,x2=5.
12.若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根,则一次函数y=(m+1)x+m﹣1的图象不经过第 一 象限.
【分析】先根据一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根判断出m的取值范围,再判断出m+1与m﹣1的符号进而可得出结论.
解:∵一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根,
∴△=4+4m<0,解得m<﹣1,
∴m+1<0,m﹣1<0,
∴一次函数y=(m+1)x+m﹣1的图象经过二三四象限,不经过第一象限.
故答案为:一.
13.已知二次函数y=﹣3x2+(m﹣1)x+1,当x>时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是 m≥﹣2 .
【分析】根据函数解析式可知,开口方向向下,在对称轴的右侧y随x的增大而减小,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大.
解:∵函数的对称轴为x=﹣=,
又∵二次函数开口向下,
∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小,
∵当x>时,y随x的增大而减小,
∴≤.
解得m≥﹣2,
故答案为:m≥﹣2.
14.如图,抛物线y=a(x+2)2+3(a<0)与y轴正半轴交于点A,过点A作AB∥x轴交抛物线于点B,抛物线的对称轴交抛物线于点M、交x轴于点M,连结MA、MB、MA、NB,则四边形ANBM的面积为 6 .
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=a(x+2)2+3的顶点坐标为(﹣2,3),抛物线的对称轴为直线x=﹣2,利用抛物线的对称性得到AB=4,然后根据三角形面积公式计算即可.
解:抛物线y=a(x+2)2+3的顶点坐标为(﹣2,3),抛物线的对称轴为直线x=﹣2,
∵AB∥x轴,
∴AB=2×2=4,
∴四边形ANBM的面积=×AB×MN=×4×3=6.
故答案为6.
15.设A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=﹣x2﹣2x+2上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为 y1>y2>y3 .
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=﹣x2﹣2x+2=﹣(x+1)2+3,开口向下,对称轴为直线x=1,然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小.
解:∵抛物线y=﹣x2﹣2x+2=﹣(x+1)2+3,开口向下,对称轴为直线x=﹣1,
而C(2,y3)离直线x=﹣1的距离最远,A(﹣2,y1)点离直线x=﹣1最近,
∴y1>y2>y3.
故答案为y1>y2>y3.
三、解答题
16.解方程:
(1)x2+3x+1=0
(2)(x﹣3)2+4x(x﹣3)=0.
【分析】(1)求出b2﹣4ac的值,代入公式求出即可.
(2)先分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出即可.
解:(1)x2+3x+1=0
∵b2﹣4ac=32﹣4×1×1=5,
∴;
(2)分解因式得:(x﹣3)(x﹣3+4x)=0,
x﹣3+4x=0,x﹣3=0,

17.已知二次函数y=﹣2x2﹣4x+1,先用配方法转化成y=a(x﹣h)2+k,再写出函数的顶点坐标、对称轴以及描述该函数的增减性.
【分析】利用配方法整理成顶点式,然后写出顶点坐标和对称轴,由对称轴和抛物线开口方向写出函数的单调性.
解:∵y=﹣2x2﹣4x+1=﹣2(x+1)2+3.
∴该函数的图象的顶点坐标是(﹣1,3),对称轴为x=﹣1,抛物线开口方向向下,
∴当x<﹣1时,y随x的增大而增大,当x>﹣1时,y随x的增大而减小.
18.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+k﹣1=0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若此方程的两实数根x1,x2满足x12+x22=11,求k的值.
【分析】(1)根据方程有实数根得出△=[﹣(2k﹣1)]2﹣4×1×(k2+k﹣1)=﹣8k+5≥0,解之可得.
(2)利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值,根据条件可得到关于k的方程,可求得k的值,注意利用根的判别式进行取舍.
解:(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+k﹣1=0有实数根,
∴△≥0,即[﹣(2k﹣1)]2﹣4×1×(k2+k﹣1)=﹣8k+5≥0,
解得k≤.
(2)由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1,x1x2=k2+k﹣1,
∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=(2k﹣1)2﹣2(k2+k﹣1)=2k2﹣6k+3,
∵x12+x22=11,
∴2k2﹣6k+3=11,解得k=4,或k=﹣1,
∵k≤,
∴k=4(舍去),
∴k=﹣1.
19.要修一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
【分析】以池中心为原点,竖直安装的水管为y轴,与水管垂直的为x轴建立直角坐标系,设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2+3(0≤x≤3),将(3,0)代入求得a值,则x=0时得的y值即为水管的长.
解:以池中心为原点,竖直安装的水管为y轴,与水管垂直的为x轴建立直角坐标系.
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高,高度为3m,
则设抛物线的解析式为:
y=a(x﹣1)2+3(0≤x≤3),
代入(3,0)求得:a=.
将a值代入得到抛物线的解析式为:
y=(x﹣1)2+3(0≤x≤3),
令x=0,则y==2.25.
故水管长为2.25m.
20.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,函数值y与自变量x的部分对应值如表:
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …
(1)求该二次函数的表达式;
(2)当y≥4时,求自变量x的取值范围.
【分析】(1)根据表中点的坐标得出函数的对称轴,设二次函数的表达式是y=a(x+)2+k,把点的坐标代入求出即可;
(2)求出y=4时对应的x的值,再根据二次函数的性质得出即可.
解:(1)根据表中可知:点(﹣1,﹣2)和点(0,﹣2)关于对称轴对称,
即对称轴是直线x=﹣,
设二次函数的表达式是y=a(x+)2+k,
把点(﹣2,0)和点(0,﹣2)代入得:,
解得:a=1,k=﹣,
y=(x+)2﹣=x2+x﹣2,
所以该二次函数的表达式是y=x2+x﹣2;
(2)当y=4时,y=x2+x﹣2=4,
解得:x=﹣3或2,
所以当y≥4时,自变量x的取值范围是x≤﹣3或x≥2.
21.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,同时点Q从点B开始沿BC这向点C以2cm/s的速度移动.当一个点到达终点时另一点也随之停止运动,运动时间为x秒(x>0)
(1)求几秒后,PQ的长度等于5cm;
(2)运动过程中,△PQB的面积能否等于8cm2?说明理由.
【分析】(1)根据PQ=5,利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2,求出即可;
(2)通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2.
解:(1)当PQ=5时,在Rt△PBQ中,∵BP2+BQ2=PQ2,
∴(5﹣x)2+(2x)2=52,
5x2﹣10x=0,
x(5x﹣10)=0,
x1=0(舍去),x2=2,
∴当x=2时,PQ的长度等于5cm.
(2)设经过x秒以后△PBQ面积为8,
×(5﹣x)×2x=8
整理得:x2﹣5x+8=0
△=25﹣32=﹣7<0
∴△PQB的面积不能等于8cm2.
22.某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时,三月份销售128件,四、五月份该商品的销售量持续走高,在售价不变的前提下,五月份的销量达到200件.假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变
(1)求四、五两个月销售量的月平均增长率;
(2)从六月起,商场采用降价促销方式回馈顾客,经调查发现,该商品每降1元,销售量增加5件,当商品降价多少元时,商场可获利2250元?
【分析】(1)由题意可得,3月份的销售量为:128件;设四、五月份销售量平均增长率为x,则4月份的销售量为:128(1+x);5月份的销售量为:128(1+x)(1+x),又知5月份的销售量为:200件,由此等量关系列出方程求出x的值,即求出了平均增长率;
(2)利用销量×每件商品的利润=2250求出即可.
解:(1)设四、五月份销售量平均增长率为x,则128(1+x)2=200
解得x1=0.25=25%,x=﹣2.25(舍去)
所以四、五月份销售量平均增长率为25%;
(2)设商品降价m元,则(40﹣m﹣25)(200+5m)=2250
解得m1=5,m2=﹣30(舍去)
所以商品降价5元时,商场获利2250元.
23.如图所示,一元二次方程x2+2x﹣3=0的两根x1,x2(x1<x2)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点C,B的横坐标,且此抛物线过点A(3,6)
(1)求此抛物线的函数解析式;
(2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与线段AC交于点Q,求点P,Q的坐标.
(3)在x轴上是否存在以动点M,使MQ+MA有最小值,若存在求出点M的坐标和最小值,若不存在,请说明理由.
【分析】(1)求出一元二次方程x2+2x﹣3=0的两个根就可以求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点C,B的坐标,再有待定系数法就可以直接求出抛物线的解析式.
(2)由(1)的解析式化为顶点式就可以求出抛物线的顶点坐标和对称轴,再根据A、C的坐标就可以求出直线的解析式,再将顶点坐标的横坐标代入解析式就可以求出交点坐标.
(3)根据(2)求得的P、Q的坐标得知P、Q关于x轴对称,由轴对称的性质连接AP,与x轴的交点即为所求点M,求出P、Q的解析式就可以求出M的坐标,由勾股定理就可以求出MQ+MA的最小值.
【解答】解(1)解方程x2+2x﹣3=0,得x1=﹣3,x2=1,
∴交点C(﹣3,0),B(1,0),
设解析式为y=a(x+3)(x﹣1),
∵点A(3,6)在抛物线上,所以解得,
∴;
(2)由,
可知顶点P的坐标(﹣1,﹣2),对称轴为x=﹣1.
设AC线段的解析式为y=kx+b,
∵A(3,6),C(﹣3,0)在直线上,
∴,
解得k=1,b=3,
∴y=x+3.
将x=﹣1代入得y=2,所以Q点的坐标为(﹣1,2);
(3)存在.理由如下:
∵点P、Q关于x轴对称,
∴连接AP,与x轴的交点即为所求点M,连接QM,
∴QM=PM,
∴QM+AM=PM+AM.
设直线AP的解析式为y=ax+k.
同上理可得a=2,k=0,∴y=2x;
令y=0,则x=0,所以点M的坐标为(0,0).
过点A向PQ做垂线,垂足为H,则AH=4,PH=8,
在RT△AHP中,PA=,
∴MQ+MA=.

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