浙教新版 八年级数学上册 第1章 三角形的初步认识 单元测试卷 (Word版解析版)

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浙教新版 八年级数学上册 第1章 三角形的初步认识 单元测试卷 (Word版解析版)

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第1章 三角形的初步认识 单元测试卷
一、选择题(共10小题).
1.在下列长度的四根木棒中,能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是(  )
A.4cm B.5cm C.9cm D.13cm
2.如图,△ABC的一角被墨水污了,但小明很快就画出跟原来一样的图形,他所用定理是(  )
A.SAS B.SSS C.ASA D.HL
3.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC中点,下列结论中不正确的是(  )
A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BD
4.下列说法:①满足a+b>c的a、b、c三条线段一定能组成三角形;②三角形的三条高交于三角形内一点;③三角形的外角大于它的任何一个内角,其中错误的有(  )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5.如图,小军任意剪了一张钝角三角形纸片(∠A是钝角),他打算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线,他能成功折出的是(  )
A.∠C的角平分线和AB边上的中线
B.∠C的角平分线和AB边上的高线
C.AB边上的中线和高线
D.∠C的角平分线、AB边上的中线和高线
6.如图,已知△ABC的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是(  )
A.甲乙 B.甲丙 C.乙丙 D.乙
7.如图,AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA,点O到AB的距离OD=2cm.若△ABC的周长为14cm,则△ABC的面积是(  )
A.7cm2 B.14cm2 C.21cm2 D.28cm2
8.如图所示,在矩形ABCD中,E为CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,则图中全等的直角三角形共有(  )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
9.如图,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE与CF交于点D,则①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上,以上结论正确的是(  )
A.①②③ B.②③ C.①③ D.①
10.如图,在△ABC中,已知点P、Q分别在边AC、BC上,BP与AQ相交于点O,若△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3,则△PQC的面积为(  )
A.22 B.22.5 C.23 D.23.5
二、填空题(每题3分,共24分)
11.在△ABC中,若∠A比∠B大20°,∠C的外角为96°,则∠A=   ,∠B=   .
12.如图所示,在△ABC中,AH垂直BC于H,则以AH为高线的三角形有   .若E、F是BC的三等分点,则S△ABE   S△AEF   S△AFC(填“<”“>”或“=”)
13.如图,已知CB⊥AD,AE⊥CD,垂足分别为B,E,AE,BC相交于点F,AB=BC.若AB=8,CF=2,则BD=   .
14.如图所示,在△ABC中,已知AD=ED,AB=EB,∠A=80°,则∠1+∠C的度数是   .
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=24°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于P,连接AP并延长交BC于点D,则∠ADB=   .
16.已知等边△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在点B′处,DB′,EB′分别交边AC于点F,G.若∠ADF=76°,则∠EGC的度数为   .
17.两组邻边相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AB=CB,AD=CD,詹姆斯在探究筝形的性质时,得到如下结论:①AC⊥BD;②△ABD≌△CBD;③AO=CO=AC;④四边形ABCD的面积=AC×BD,其中,正确的结论有   .
18.如图,已知∠3=∠4,要说明△ABC≌△DCB,
(1)若以“SAS”为依据,则需添加一个条件是   ;
(2)若以“AAS”为依据,则需添加一个条件是   ;
(3)若以“ASA”为依据,则需添加一个条件是   .
三、解答题(共66分)
19.如图所示,已知△ABC≌△DCB,是其中AB=DC,试说明∠ABD=∠ACD.
20.如图所示,在△ABC中,∠ACB为直角,∠CAD的角平分线交BC的延长线于点E,若∠B=35°,求∠BAE和∠E的度数.
21.如图所示,AB与CD相交于点O,且AO=BO,CO=DO,过点O作直线EF交AC于E,交BD于F,试说明OE=OF.
22.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC.延长AD到E点,使DE=AB.
(1)求证:∠ABC=∠EDC;
(2)求证:△ABC≌△EDC.
23.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=9,AB=15,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒3个单位,设运动的时间为t秒.
(1)当t=   时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分;
(2)当t=5时,CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC:S△BPC=   
(3)当t=   时,△BPC的面积为18.
24.小明遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,AB=7,AC=5,点D为BC的中点,求AD的取值范围.
小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题,所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法,他的做法是:如图2,延长AD到点E,使DE=AD,连结BE,构造△BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决请回答:
(1)小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是:   ;(用字母表示)
(2)请你帮助小明完成AD取值范围的计算;
小明还发现:倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍,完成全等三角形模型的构造.参考小明思考问题的方法,解决问题;
(3)如图3,在△ABC中,AD为BC边上的中线,且AD平分∠BAC,求证:AB=AC.
25.CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE   CF;EF   |BE﹣AF|(填“>”,“<”或“=”);
②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件   ,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.在下列长度的四根木棒中,能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是(  )
A.4cm B.5cm C.9cm D.13cm
【分析】易得第三边的取值范围,看选项中哪个在范围内即可.
解:设第三边为c,则9+4>c>9﹣4,即13>c>5.只有9符合要求.
故选:C.
2.如图,△ABC的一角被墨水污了,但小明很快就画出跟原来一样的图形,他所用定理是(  )
A.SAS B.SSS C.ASA D.HL
【分析】根据全等三角形的判定定理判断即可.
解:作△DEF,使DE=AB,∠A=∠D,∠E=∠B,
根据ASA定理可知,△DEF与原来的图形一样,
他所用定理是ASA,
故选:C.
3.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC中点,下列结论中不正确的是(  )
A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BD
【分析】此题需对每一个选项进行验证从而求解.
解:∵△ABC中,AB=AC,D是BC中点
∴∠B=∠C,(故A正确)
AD⊥BC,(故B正确)
∠BAD=∠CAD(故C正确)
无法得到AB=2BD,(故D不正确).
故选:D.
4.下列说法:①满足a+b>c的a、b、c三条线段一定能组成三角形;②三角形的三条高交于三角形内一点;③三角形的外角大于它的任何一个内角,其中错误的有(  )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【分析】利用三角形的三边关系、三角形的三线的定义及三角形的外角的性质,分别判断后即可确定正确的选项.
解:(1)满足a+b>c且a<c,b<c的a、b、c三条线段一定能组成三角形,故错误;
(2)只有锐角三角形的三条高交于三角形内一点,故错误;
(3)三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角,故错误;
故选:D.
5.如图,小军任意剪了一张钝角三角形纸片(∠A是钝角),他打算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线,他能成功折出的是(  )
A.∠C的角平分线和AB边上的中线
B.∠C的角平分线和AB边上的高线
C.AB边上的中线和高线
D.∠C的角平分线、AB边上的中线和高线
【分析】由折叠的性质可求解.
解:当AC与BC重合时,折痕是∠C的角平分线;
当点A与点B重合时,折叠是AB的中垂线,
故选:A.
6.如图,已知△ABC的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是(  )
A.甲乙 B.甲丙 C.乙丙 D.乙
【分析】甲不符合三角形全等的判断方法,乙可运用SAS判定全等,丙可运用AAS证明两个三角形全等.
解:由图形可知,甲有一边一角,不能判断两三角形全等,
乙有两边及其夹角,能判断两三角形全等,
丙得出两角及其一角对边,能判断两三角形全等,
根据全等三角形的判定得,乙丙正确.
故选:C.
7.如图,AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA,点O到AB的距离OD=2cm.若△ABC的周长为14cm,则△ABC的面积是(  )
A.7cm2 B.14cm2 C.21cm2 D.28cm2
【分析】连接OC,过点O作OD⊥AC于D,OF⊥BC于F,根据角平分线的性质得到OE=OF=OD=2,根据三角形的面积公式计算,得到答案.
解:连接OC,过点O作OD⊥AC于D,OF⊥BC于F,
∵AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA,OD⊥AB,OD⊥AC,OF⊥BC,
∴OE=OF=OD=2,
∴△ABC的面积=△AOC的面积+△AOB的面积+△BOC的面积
=×AC×OE+×AB×OD+×BC×OF
=×(AB+AC+BC)×2
=14(cm2),
故选:B.
8.如图所示,在矩形ABCD中,E为CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,则图中全等的直角三角形共有(  )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【分析】先找出图中的直角三角形,再分析三角形全等的方法,然后判断它们之间是否全等.
解:图中的全等直角三角形有:△ABD≌△CDB,△ADE≌△FCE,
∵四边形ABCD是矩形,
在△ABD和△CDB中,

∴△ABD≌△CDB(SSS).
∵E为CD中点,
∴CE=DE,
在△ADE和△FCE中,

∴△ADE≌△FCE(ASA).
故全等的直角三角形有2对.
故选:B.
9.如图,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE与CF交于点D,则①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上,以上结论正确的是(  )
A.①②③ B.②③ C.①③ D.①
【分析】从已知条件进行分析,首先可得△ABE≌△ACF得到角相等和边相等,运用这些结论,进而得到更多的结论,最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案.
解:∵BE⊥AC于E,CF⊥AB于F
∴∠AEB=∠AFC=90°,
∵AB=AC,∠A=∠A,
∴△ABE≌△ACF(①正确),
∴AE=AF,
∴BF=CE,
∵BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,∠BDF=∠CDE,
∴△BDF≌△CDE(②正确),
∴DF=DE,
连接AD,
∵AE=AF,DE=DF,AD=AD,
∴△AED≌△AFD,
∴∠FAD=∠EAD,
即点D在∠BAC的平分线上(③正确),
故选:A.
10.如图,在△ABC中,已知点P、Q分别在边AC、BC上,BP与AQ相交于点O,若△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3,则△PQC的面积为(  )
A.22 B.22.5 C.23 D.23.5
【分析】连接CO,根据△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3,求出S△POQ=1.5,设S△OPC=x,S△COQ=y,仍然利用△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3,列出关于x、y的方程组,解得x、y的值,然后利用S△QPC=S△OPC+S△COQ﹣S△POQ即可求出答案.
【解答】解;连接CO,∵△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3,
∴=.=,
∴S△POQ=1.5,
设S△OPC=x,S△COQ=y,
则,,
解得,
S△QPC=S△OPC+S△COQ﹣S△POQ=15+9﹣1.5=22.5.
故选:B.
二、填空题(每题3分,共24分)
11.在△ABC中,若∠A比∠B大20°,∠C的外角为96°,则∠A= 58° ,∠B= 38° .
【分析】首先求得∠C的度数,然后设设∠A=x°,利用三角形的内角和定理即可求解.
解:∠C=180°﹣96°=84°,
设∠A=x°,则∠B=x﹣20°,
根据题意得:x+x﹣20+84=180,
解得:x=58,
则x﹣20=38.
故∠A=58°,∠B=38°.
故答案是:58°,38°.
12.如图所示,在△ABC中,AH垂直BC于H,则以AH为高线的三角形有 △ABE、△ABF、△ABH、△ABC、△AEF、△AEH、△AEC、△AFH、△AHC、△AFC .若E、F是BC的三等分点,则S△ABE = S△AEF = S△AFC(填“<”“>”或“=”)
【分析】凡是底边在直线BC上的三角形的高线都是AH;△ABE、△AEF、△AFC是三个等底同高的三角形,它们的面积相等.
解:如图,∵在△ABC中,AH垂直BC于H,
∴以AH为高线的三角形有:△ABE、△ABF、△ABH、△ABC、△AEF、△AEH、△AEC、△AFH、△AHC、△AFC.
∵E、F是BC的三等分点,
∴BE=EF=FC,
∴S△ABE=S△AEF=S△AFC.
故答案是:△ABE、△ABF、△ABH、△ABC、△AEF、△AEH、△AEC、△AFH、△AHC、△AFC;=;=.
13.如图,已知CB⊥AD,AE⊥CD,垂足分别为B,E,AE,BC相交于点F,AB=BC.若AB=8,CF=2,则BD= 6 .
【分析】根据“ASA”证明△ABF≌△CBD,BF=BD,求出BF=6,即可得出答案.
【解答】证明:∵CB⊥AD,AE⊥CD,
∴∠ABF=∠CBD=∠AED=90°,
∴∠A+∠D=∠C+∠D=90°,
∴∠A=∠C,
在△ABF和△CBD中,,
∴△ABF≌△CBD(ASA),
∴BF=BD,
∵BC=AB=8,BF=BC﹣CF=8﹣2=6,
∴BD=BF=6;
故答案为:6.
14.如图所示,在△ABC中,已知AD=ED,AB=EB,∠A=80°,则∠1+∠C的度数是 80° .
【分析】根据全等三角形的判定定理SSS推知△ABD≌△EDB,则对应角∠A=∠BED=80°,所以根据三角形外角定理求得∠1+∠C=80°.
解:如图,∵在△ABD与△EBD中,,
∴△ABD≌△EDB(SSS),
∴∠A=∠BED=80°,
∴∠1+∠C=∠BED=80°.
故填:80°.
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=24°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于P,连接AP并延长交BC于点D,则∠ADB= 123° .
【分析】根据∠ADB=∠C+∠CAD,想办法求出∠CAD即可.
解:∵∠C=90°,∠B=24°,
∴∠CAB=90°﹣24°=66°,
由作图可知:AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠CAB=33°,
∴∠ADB=∠C+∠CAD=90°+33°=123°,
故答案为123°
16.已知等边△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在点B′处,DB′,EB′分别交边AC于点F,G.若∠ADF=76°,则∠EGC的度数为 76° .
【分析】如图,由翻折变换的性质得到∠BDE=∠B′DE(设为α),∠BED=∠B′ED(设为β);求出2α=105°,2β=135°,借助三角形外角的性质,即可解决问题.
解:如图,由题意得:
∠BDE=∠B′DE(设为α),∠BED=∠B′ED(设为β);
∵∠ADF=76°,
∴2α=180°﹣76°=104°;
∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,α+β=180°﹣60°=120°;
∴2β=240°﹣2α=136°;
∴∠EGC=2β﹣∠C=136°﹣60°=76°,
故答案为76°.
17.两组邻边相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AB=CB,AD=CD,詹姆斯在探究筝形的性质时,得到如下结论:①AC⊥BD;②△ABD≌△CBD;③AO=CO=AC;④四边形ABCD的面积=AC×BD,其中,正确的结论有 ①②③④ .
【分析】由题意可得BD是AC的垂直平分线,可得AO=CO=AC,AC⊥BC,根据“SSS”可证△ABD≌△CBD,由三角形的面积公式可得S四边形ABCD=2××AO×BD=×AC×BD.
解:∵AB=CB,AD=CD,
∴BD是AC的垂直平分线,
∴AO=CO=AC,AC⊥BC,
故①③正确,
∵AB=BC,AD=CD,BD=BD
∴△ABD≌△CBD(SAS)
故②正确
∵S四边形ABCD=2S△ABD,
∴S四边形ABCD=2××AO×BD=×AC×BD
故④正确
故答案为:①②③④
18.如图,已知∠3=∠4,要说明△ABC≌△DCB,
(1)若以“SAS”为依据,则需添加一个条件是 AC=DB ;
(2)若以“AAS”为依据,则需添加一个条件是 ∠5=∠6 ;
(3)若以“ASA”为依据,则需添加一个条件是 ∠1=∠2 .
【分析】本题要判定△ABC≌△DCB,已知∠3=∠4,和一个公共边,根据SAS,AAS,ASA可添加一对边,一组角.
解:已知一组角相等,和一个公共边,则以SAS为依据,则需要再加一对边,即AC=DB
以“AAS”为依据,则需添加一组角,即∠5=∠6
以“ASA”为依据,则需添加一组角,即∠1=∠2.
故分别填AC=DB,∠5=∠6,∠1=∠2.
三、解答题(共66分)
19.如图所示,已知△ABC≌△DCB,是其中AB=DC,试说明∠ABD=∠ACD.
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,然后相减即可得解.
解:∵△ABC≌△DCB,
∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,
∴∠ABC﹣∠DBC=∠DCB﹣∠ACB,
即∠ABD=∠ACD.
20.如图所示,在△ABC中,∠ACB为直角,∠CAD的角平分线交BC的延长线于点E,若∠B=35°,求∠BAE和∠E的度数.
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数,再根据角平分线的定义求出∠CAE的度数,故可得出结论.
解:∵△ABC中,∠ACB为直角,∠B=35°,
∴∠BAC=180°﹣90°﹣35°=55°,
∴∠CAD=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°,
∵AE是∠CAD的平分线,
∴∠CAE=∠CAD=×125°=62.5°,
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=55°+62.5°=117.5°,∠E=90°﹣∠CAE=90°﹣62.5°=27.5°.
21.如图所示,AB与CD相交于点O,且AO=BO,CO=DO,过点O作直线EF交AC于E,交BD于F,试说明OE=OF.
【分析】首先利用SAS证明△AOC≌△BOD证得∠A=∠B,然后在△AOE和△OBF中.利用ASA证明全等,根据全等三角形的对应边相等即可证得.
【解答】证明:在△AOC和△BOD中,

∴△AOC≌△BOD,
∴∠A=∠B,
在△AOE和△OBF中,,
∴△AOE≌△OBF.
∴OE=OF.
22.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC.延长AD到E点,使DE=AB.
(1)求证:∠ABC=∠EDC;
(2)求证:△ABC≌△EDC.
【分析】(1)根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°,再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°,从而求出∠B=∠CDE;
(2)根据“边角边”证明即可.
【解答】(1)证明:在四边形ABCD中,∵∠BAD=∠BCD=90°,
∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°,
∴∠B+∠ADC=180°,
又∵∠CDE+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠CDE,
(2)连接AC,由(1)证得∠ABC=∠CDE,
在△ABC和△EDC中,

∴△ABC≌△EDC(SAS).
23.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=9,AB=15,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒3个单位,设运动的时间为t秒.
(1)当t= 6.5 时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分;
(2)当t=5时,CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC:S△BPC= 1:4 
(3)当t= 或 时,△BPC的面积为18.
【分析】(1)根据中线的性质可知,点P在AB中点时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分,进而求解即可;
(2)求出当t=5时,AP与BP的长,再根据等高的三角形面积比等于底边的比求解即可;
(3)分两种情况:①P在AC上;②P在AB上.
解:(1)当点P在AB中点时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分,此时CA+AP=12+7.5=19.5(cm),
∴3t=19.5,
解得t=6.5.
故当t=6.5时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分;
(2)5×3=15,
AP=15﹣12=3,
BP=15﹣3=12,
则S△APC:S△BPC=3:12=1:4;
(3)分两种情况:
①当P在AC上时,
∵△BCP的面积=18,
∴×9×CP=18,
∴CP=4,
∴3t=4,t=;
②当P在AB上时,
∵△BCP的面积=18=△ABC面积的=,
∴3t=12+15×=22,t=.
故t=或秒时,△BCP的面积为18.
故答案为:6.5;1:4;或.
24.小明遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,AB=7,AC=5,点D为BC的中点,求AD的取值范围.
小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题,所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法,他的做法是:如图2,延长AD到点E,使DE=AD,连结BE,构造△BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决请回答:
(1)小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是: SAS ;(用字母表示)
(2)请你帮助小明完成AD取值范围的计算;
小明还发现:倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍,完成全等三角形模型的构造.参考小明思考问题的方法,解决问题;
(3)如图3,在△ABC中,AD为BC边上的中线,且AD平分∠BAC,求证:AB=AC.
【分析】(1)根据SAS定理解答;
(2)根据全等三角形的性质得到BE=AC,根据三角形的三边关系计算,得到答案;
(3)仿照(1)的作法,根据等腰三角形的判定定理证明结论.
【解答】(1)解:∵BD=DC,∠BDE=∠CDA,DE=AD,
∴△BED≌△CAD(SAS),
∴小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是SAS,
故答案为:SAS;
(2)解:∵△BED≌△CAD,
∴BE=AC,
在△ABE中,AB﹣BE<AE<AB+BE,
∴AB﹣AC<2AD<AB+AC,
∴1<AD<6;
(3)证明:延长AD到点E,使DE=AD,连结BE,
在△BED和△CAD中,

∴△BED≌△CAD(SAS),
∴∠DAC=∠DEB,AC=BE,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAC=∠DAB,
∴∠DAB=∠DEB,
∴AB=BE,
∴AB=AC.
25.CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE = CF;EF = |BE﹣AF|(填“>”,“<”或“=”);
②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ∠α+∠BCA=180° ,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).
【分析】由题意推出∠CBE=∠ACF,再由AAS定理证△BCE≌△CAF,继而得答案.
解:(1)①∵∠BCA=90°,∠α=90°,
∴∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠ACF=90°,
∴∠CBE=∠ACF,
∵CA=CB,∠BEC=∠CFA;
∴△BCE≌△CAF,
∴BE=CF;EF=|CF﹣CE|=|BE﹣AF|.
②所填的条件是:∠α+∠BCA=180°.
证明:在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α.
∵∠BCA=180°﹣∠α,
∴∠CBE+∠BCE=∠BCA.
又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA,
∴∠CBE=∠ACF,
又∵BC=CA,∠BEC=∠CFA,
∴△BCE≌△CAF(AAS)
∴BE=CF,CE=AF,
又∵EF=CF﹣CE,
∴EF=|BE﹣AF|.
(2)猜想:EF=BE+AF.
证明过程:
∵∠BEC=∠CFA=∠α,∠α=∠BCA,∠BCA+∠BCE+∠ACF=180°,∠CFA+∠CAF+∠ACF=180°,
∴∠BCE=∠CAF,
又∵BC=CA,
∴△BCE≌△CAF(AAS).
∴BE=CF,EC=FA,
∴EF=EC+CF=BE+AF.

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