资源简介 第1章 三角形的初步认识 单元测试卷 一、选择题(共10小题). 1.在下列长度的四根木棒中,能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( ) A.4cm B.5cm C.9cm D.13cm 2.如图,△ABC的一角被墨水污了,但小明很快就画出跟原来一样的图形,他所用定理是( ) A.SAS B.SSS C.ASA D.HL 3.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC中点,下列结论中不正确的是( ) A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BD 4.下列说法:①满足a+b>c的a、b、c三条线段一定能组成三角形;②三角形的三条高交于三角形内一点;③三角形的外角大于它的任何一个内角,其中错误的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.如图,小军任意剪了一张钝角三角形纸片(∠A是钝角),他打算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线,他能成功折出的是( ) A.∠C的角平分线和AB边上的中线 B.∠C的角平分线和AB边上的高线 C.AB边上的中线和高线 D.∠C的角平分线、AB边上的中线和高线 6.如图,已知△ABC的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( ) A.甲乙 B.甲丙 C.乙丙 D.乙 7.如图,AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA,点O到AB的距离OD=2cm.若△ABC的周长为14cm,则△ABC的面积是( ) A.7cm2 B.14cm2 C.21cm2 D.28cm2 8.如图所示,在矩形ABCD中,E为CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,则图中全等的直角三角形共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 9.如图,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE与CF交于点D,则①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上,以上结论正确的是( ) A.①②③ B.②③ C.①③ D.① 10.如图,在△ABC中,已知点P、Q分别在边AC、BC上,BP与AQ相交于点O,若△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3,则△PQC的面积为( ) A.22 B.22.5 C.23 D.23.5 二、填空题(每题3分,共24分) 11.在△ABC中,若∠A比∠B大20°,∠C的外角为96°,则∠A= ,∠B= . 12.如图所示,在△ABC中,AH垂直BC于H,则以AH为高线的三角形有 .若E、F是BC的三等分点,则S△ABE S△AEF S△AFC(填“<”“>”或“=”) 13.如图,已知CB⊥AD,AE⊥CD,垂足分别为B,E,AE,BC相交于点F,AB=BC.若AB=8,CF=2,则BD= . 14.如图所示,在△ABC中,已知AD=ED,AB=EB,∠A=80°,则∠1+∠C的度数是 . 15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=24°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于P,连接AP并延长交BC于点D,则∠ADB= . 16.已知等边△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在点B′处,DB′,EB′分别交边AC于点F,G.若∠ADF=76°,则∠EGC的度数为 . 17.两组邻边相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AB=CB,AD=CD,詹姆斯在探究筝形的性质时,得到如下结论:①AC⊥BD;②△ABD≌△CBD;③AO=CO=AC;④四边形ABCD的面积=AC×BD,其中,正确的结论有 . 18.如图,已知∠3=∠4,要说明△ABC≌△DCB, (1)若以“SAS”为依据,则需添加一个条件是 ; (2)若以“AAS”为依据,则需添加一个条件是 ; (3)若以“ASA”为依据,则需添加一个条件是 . 三、解答题(共66分) 19.如图所示,已知△ABC≌△DCB,是其中AB=DC,试说明∠ABD=∠ACD. 20.如图所示,在△ABC中,∠ACB为直角,∠CAD的角平分线交BC的延长线于点E,若∠B=35°,求∠BAE和∠E的度数. 21.如图所示,AB与CD相交于点O,且AO=BO,CO=DO,过点O作直线EF交AC于E,交BD于F,试说明OE=OF. 22.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC.延长AD到E点,使DE=AB. (1)求证:∠ABC=∠EDC; (2)求证:△ABC≌△EDC. 23.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=9,AB=15,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒3个单位,设运动的时间为t秒. (1)当t= 时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分; (2)当t=5时,CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC:S△BPC= (3)当t= 时,△BPC的面积为18. 24.小明遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,AB=7,AC=5,点D为BC的中点,求AD的取值范围. 小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题,所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法,他的做法是:如图2,延长AD到点E,使DE=AD,连结BE,构造△BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决请回答: (1)小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是: ;(用字母表示) (2)请你帮助小明完成AD取值范围的计算; 小明还发现:倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍,完成全等三角形模型的构造.参考小明思考问题的方法,解决问题; (3)如图3,在△ABC中,AD为BC边上的中线,且AD平分∠BAC,求证:AB=AC. 25.CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α. (1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题: ①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE CF;EF |BE﹣AF|(填“>”,“<”或“=”); ②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立. (2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明). 参考答案 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.在下列长度的四根木棒中,能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( ) A.4cm B.5cm C.9cm D.13cm 【分析】易得第三边的取值范围,看选项中哪个在范围内即可. 解:设第三边为c,则9+4>c>9﹣4,即13>c>5.只有9符合要求. 故选:C. 2.如图,△ABC的一角被墨水污了,但小明很快就画出跟原来一样的图形,他所用定理是( ) A.SAS B.SSS C.ASA D.HL 【分析】根据全等三角形的判定定理判断即可. 解:作△DEF,使DE=AB,∠A=∠D,∠E=∠B, 根据ASA定理可知,△DEF与原来的图形一样, 他所用定理是ASA, 故选:C. 3.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC中点,下列结论中不正确的是( ) A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BD 【分析】此题需对每一个选项进行验证从而求解. 解:∵△ABC中,AB=AC,D是BC中点 ∴∠B=∠C,(故A正确) AD⊥BC,(故B正确) ∠BAD=∠CAD(故C正确) 无法得到AB=2BD,(故D不正确). 故选:D. 4.下列说法:①满足a+b>c的a、b、c三条线段一定能组成三角形;②三角形的三条高交于三角形内一点;③三角形的外角大于它的任何一个内角,其中错误的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【分析】利用三角形的三边关系、三角形的三线的定义及三角形的外角的性质,分别判断后即可确定正确的选项. 解:(1)满足a+b>c且a<c,b<c的a、b、c三条线段一定能组成三角形,故错误; (2)只有锐角三角形的三条高交于三角形内一点,故错误; (3)三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角,故错误; 故选:D. 5.如图,小军任意剪了一张钝角三角形纸片(∠A是钝角),他打算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线,他能成功折出的是( ) A.∠C的角平分线和AB边上的中线 B.∠C的角平分线和AB边上的高线 C.AB边上的中线和高线 D.∠C的角平分线、AB边上的中线和高线 【分析】由折叠的性质可求解. 解:当AC与BC重合时,折痕是∠C的角平分线; 当点A与点B重合时,折叠是AB的中垂线, 故选:A. 6.如图,已知△ABC的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( ) A.甲乙 B.甲丙 C.乙丙 D.乙 【分析】甲不符合三角形全等的判断方法,乙可运用SAS判定全等,丙可运用AAS证明两个三角形全等. 解:由图形可知,甲有一边一角,不能判断两三角形全等, 乙有两边及其夹角,能判断两三角形全等, 丙得出两角及其一角对边,能判断两三角形全等, 根据全等三角形的判定得,乙丙正确. 故选:C. 7.如图,AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA,点O到AB的距离OD=2cm.若△ABC的周长为14cm,则△ABC的面积是( ) A.7cm2 B.14cm2 C.21cm2 D.28cm2 【分析】连接OC,过点O作OD⊥AC于D,OF⊥BC于F,根据角平分线的性质得到OE=OF=OD=2,根据三角形的面积公式计算,得到答案. 解:连接OC,过点O作OD⊥AC于D,OF⊥BC于F, ∵AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA,OD⊥AB,OD⊥AC,OF⊥BC, ∴OE=OF=OD=2, ∴△ABC的面积=△AOC的面积+△AOB的面积+△BOC的面积 =×AC×OE+×AB×OD+×BC×OF =×(AB+AC+BC)×2 =14(cm2), 故选:B. 8.如图所示,在矩形ABCD中,E为CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,则图中全等的直角三角形共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【分析】先找出图中的直角三角形,再分析三角形全等的方法,然后判断它们之间是否全等. 解:图中的全等直角三角形有:△ABD≌△CDB,△ADE≌△FCE, ∵四边形ABCD是矩形, 在△ABD和△CDB中, , ∴△ABD≌△CDB(SSS). ∵E为CD中点, ∴CE=DE, 在△ADE和△FCE中, , ∴△ADE≌△FCE(ASA). 故全等的直角三角形有2对. 故选:B. 9.如图,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE与CF交于点D,则①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上,以上结论正确的是( ) A.①②③ B.②③ C.①③ D.① 【分析】从已知条件进行分析,首先可得△ABE≌△ACF得到角相等和边相等,运用这些结论,进而得到更多的结论,最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案. 解:∵BE⊥AC于E,CF⊥AB于F ∴∠AEB=∠AFC=90°, ∵AB=AC,∠A=∠A, ∴△ABE≌△ACF(①正确), ∴AE=AF, ∴BF=CE, ∵BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,∠BDF=∠CDE, ∴△BDF≌△CDE(②正确), ∴DF=DE, 连接AD, ∵AE=AF,DE=DF,AD=AD, ∴△AED≌△AFD, ∴∠FAD=∠EAD, 即点D在∠BAC的平分线上(③正确), 故选:A. 10.如图,在△ABC中,已知点P、Q分别在边AC、BC上,BP与AQ相交于点O,若△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3,则△PQC的面积为( ) A.22 B.22.5 C.23 D.23.5 【分析】连接CO,根据△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3,求出S△POQ=1.5,设S△OPC=x,S△COQ=y,仍然利用△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3,列出关于x、y的方程组,解得x、y的值,然后利用S△QPC=S△OPC+S△COQ﹣S△POQ即可求出答案. 【解答】解;连接CO,∵△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3, ∴=.=, ∴S△POQ=1.5, 设S△OPC=x,S△COQ=y, 则,, 解得, S△QPC=S△OPC+S△COQ﹣S△POQ=15+9﹣1.5=22.5. 故选:B. 二、填空题(每题3分,共24分) 11.在△ABC中,若∠A比∠B大20°,∠C的外角为96°,则∠A= 58° ,∠B= 38° . 【分析】首先求得∠C的度数,然后设设∠A=x°,利用三角形的内角和定理即可求解. 解:∠C=180°﹣96°=84°, 设∠A=x°,则∠B=x﹣20°, 根据题意得:x+x﹣20+84=180, 解得:x=58, 则x﹣20=38. 故∠A=58°,∠B=38°. 故答案是:58°,38°. 12.如图所示,在△ABC中,AH垂直BC于H,则以AH为高线的三角形有 △ABE、△ABF、△ABH、△ABC、△AEF、△AEH、△AEC、△AFH、△AHC、△AFC .若E、F是BC的三等分点,则S△ABE = S△AEF = S△AFC(填“<”“>”或“=”) 【分析】凡是底边在直线BC上的三角形的高线都是AH;△ABE、△AEF、△AFC是三个等底同高的三角形,它们的面积相等. 解:如图,∵在△ABC中,AH垂直BC于H, ∴以AH为高线的三角形有:△ABE、△ABF、△ABH、△ABC、△AEF、△AEH、△AEC、△AFH、△AHC、△AFC. ∵E、F是BC的三等分点, ∴BE=EF=FC, ∴S△ABE=S△AEF=S△AFC. 故答案是:△ABE、△ABF、△ABH、△ABC、△AEF、△AEH、△AEC、△AFH、△AHC、△AFC;=;=. 13.如图,已知CB⊥AD,AE⊥CD,垂足分别为B,E,AE,BC相交于点F,AB=BC.若AB=8,CF=2,则BD= 6 . 【分析】根据“ASA”证明△ABF≌△CBD,BF=BD,求出BF=6,即可得出答案. 【解答】证明:∵CB⊥AD,AE⊥CD, ∴∠ABF=∠CBD=∠AED=90°, ∴∠A+∠D=∠C+∠D=90°, ∴∠A=∠C, 在△ABF和△CBD中,, ∴△ABF≌△CBD(ASA), ∴BF=BD, ∵BC=AB=8,BF=BC﹣CF=8﹣2=6, ∴BD=BF=6; 故答案为:6. 14.如图所示,在△ABC中,已知AD=ED,AB=EB,∠A=80°,则∠1+∠C的度数是 80° . 【分析】根据全等三角形的判定定理SSS推知△ABD≌△EDB,则对应角∠A=∠BED=80°,所以根据三角形外角定理求得∠1+∠C=80°. 解:如图,∵在△ABD与△EBD中,, ∴△ABD≌△EDB(SSS), ∴∠A=∠BED=80°, ∴∠1+∠C=∠BED=80°. 故填:80°. 15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=24°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于P,连接AP并延长交BC于点D,则∠ADB= 123° . 【分析】根据∠ADB=∠C+∠CAD,想办法求出∠CAD即可. 解:∵∠C=90°,∠B=24°, ∴∠CAB=90°﹣24°=66°, 由作图可知:AD平分∠CAB, ∴∠CAD=∠CAB=33°, ∴∠ADB=∠C+∠CAD=90°+33°=123°, 故答案为123° 16.已知等边△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在点B′处,DB′,EB′分别交边AC于点F,G.若∠ADF=76°,则∠EGC的度数为 76° . 【分析】如图,由翻折变换的性质得到∠BDE=∠B′DE(设为α),∠BED=∠B′ED(设为β);求出2α=105°,2β=135°,借助三角形外角的性质,即可解决问题. 解:如图,由题意得: ∠BDE=∠B′DE(设为α),∠BED=∠B′ED(设为β); ∵∠ADF=76°, ∴2α=180°﹣76°=104°; ∵△ABC为等边三角形, ∴∠B=∠C=60°,α+β=180°﹣60°=120°; ∴2β=240°﹣2α=136°; ∴∠EGC=2β﹣∠C=136°﹣60°=76°, 故答案为76°. 17.两组邻边相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AB=CB,AD=CD,詹姆斯在探究筝形的性质时,得到如下结论:①AC⊥BD;②△ABD≌△CBD;③AO=CO=AC;④四边形ABCD的面积=AC×BD,其中,正确的结论有 ①②③④ . 【分析】由题意可得BD是AC的垂直平分线,可得AO=CO=AC,AC⊥BC,根据“SSS”可证△ABD≌△CBD,由三角形的面积公式可得S四边形ABCD=2××AO×BD=×AC×BD. 解:∵AB=CB,AD=CD, ∴BD是AC的垂直平分线, ∴AO=CO=AC,AC⊥BC, 故①③正确, ∵AB=BC,AD=CD,BD=BD ∴△ABD≌△CBD(SAS) 故②正确 ∵S四边形ABCD=2S△ABD, ∴S四边形ABCD=2××AO×BD=×AC×BD 故④正确 故答案为:①②③④ 18.如图,已知∠3=∠4,要说明△ABC≌△DCB, (1)若以“SAS”为依据,则需添加一个条件是 AC=DB ; (2)若以“AAS”为依据,则需添加一个条件是 ∠5=∠6 ; (3)若以“ASA”为依据,则需添加一个条件是 ∠1=∠2 . 【分析】本题要判定△ABC≌△DCB,已知∠3=∠4,和一个公共边,根据SAS,AAS,ASA可添加一对边,一组角. 解:已知一组角相等,和一个公共边,则以SAS为依据,则需要再加一对边,即AC=DB 以“AAS”为依据,则需添加一组角,即∠5=∠6 以“ASA”为依据,则需添加一组角,即∠1=∠2. 故分别填AC=DB,∠5=∠6,∠1=∠2. 三、解答题(共66分) 19.如图所示,已知△ABC≌△DCB,是其中AB=DC,试说明∠ABD=∠ACD. 【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,然后相减即可得解. 解:∵△ABC≌△DCB, ∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC, ∴∠ABC﹣∠DBC=∠DCB﹣∠ACB, 即∠ABD=∠ACD. 20.如图所示,在△ABC中,∠ACB为直角,∠CAD的角平分线交BC的延长线于点E,若∠B=35°,求∠BAE和∠E的度数. 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数,再根据角平分线的定义求出∠CAE的度数,故可得出结论. 解:∵△ABC中,∠ACB为直角,∠B=35°, ∴∠BAC=180°﹣90°﹣35°=55°, ∴∠CAD=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°, ∵AE是∠CAD的平分线, ∴∠CAE=∠CAD=×125°=62.5°, ∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=55°+62.5°=117.5°,∠E=90°﹣∠CAE=90°﹣62.5°=27.5°. 21.如图所示,AB与CD相交于点O,且AO=BO,CO=DO,过点O作直线EF交AC于E,交BD于F,试说明OE=OF. 【分析】首先利用SAS证明△AOC≌△BOD证得∠A=∠B,然后在△AOE和△OBF中.利用ASA证明全等,根据全等三角形的对应边相等即可证得. 【解答】证明:在△AOC和△BOD中, , ∴△AOC≌△BOD, ∴∠A=∠B, 在△AOE和△OBF中,, ∴△AOE≌△OBF. ∴OE=OF. 22.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC.延长AD到E点,使DE=AB. (1)求证:∠ABC=∠EDC; (2)求证:△ABC≌△EDC. 【分析】(1)根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°,再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°,从而求出∠B=∠CDE; (2)根据“边角边”证明即可. 【解答】(1)证明:在四边形ABCD中,∵∠BAD=∠BCD=90°, ∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°, ∴∠B+∠ADC=180°, 又∵∠CDE+∠ADC=180°, ∴∠ABC=∠CDE, (2)连接AC,由(1)证得∠ABC=∠CDE, 在△ABC和△EDC中, , ∴△ABC≌△EDC(SAS). 23.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=9,AB=15,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒3个单位,设运动的时间为t秒. (1)当t= 6.5 时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分; (2)当t=5时,CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC:S△BPC= 1:4 (3)当t= 或 时,△BPC的面积为18. 【分析】(1)根据中线的性质可知,点P在AB中点时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分,进而求解即可; (2)求出当t=5时,AP与BP的长,再根据等高的三角形面积比等于底边的比求解即可; (3)分两种情况:①P在AC上;②P在AB上. 解:(1)当点P在AB中点时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分,此时CA+AP=12+7.5=19.5(cm), ∴3t=19.5, 解得t=6.5. 故当t=6.5时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分; (2)5×3=15, AP=15﹣12=3, BP=15﹣3=12, 则S△APC:S△BPC=3:12=1:4; (3)分两种情况: ①当P在AC上时, ∵△BCP的面积=18, ∴×9×CP=18, ∴CP=4, ∴3t=4,t=; ②当P在AB上时, ∵△BCP的面积=18=△ABC面积的=, ∴3t=12+15×=22,t=. 故t=或秒时,△BCP的面积为18. 故答案为:6.5;1:4;或. 24.小明遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,AB=7,AC=5,点D为BC的中点,求AD的取值范围. 小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题,所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法,他的做法是:如图2,延长AD到点E,使DE=AD,连结BE,构造△BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决请回答: (1)小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是: SAS ;(用字母表示) (2)请你帮助小明完成AD取值范围的计算; 小明还发现:倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍,完成全等三角形模型的构造.参考小明思考问题的方法,解决问题; (3)如图3,在△ABC中,AD为BC边上的中线,且AD平分∠BAC,求证:AB=AC. 【分析】(1)根据SAS定理解答; (2)根据全等三角形的性质得到BE=AC,根据三角形的三边关系计算,得到答案; (3)仿照(1)的作法,根据等腰三角形的判定定理证明结论. 【解答】(1)解:∵BD=DC,∠BDE=∠CDA,DE=AD, ∴△BED≌△CAD(SAS), ∴小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是SAS, 故答案为:SAS; (2)解:∵△BED≌△CAD, ∴BE=AC, 在△ABE中,AB﹣BE<AE<AB+BE, ∴AB﹣AC<2AD<AB+AC, ∴1<AD<6; (3)证明:延长AD到点E,使DE=AD,连结BE, 在△BED和△CAD中, , ∴△BED≌△CAD(SAS), ∴∠DAC=∠DEB,AC=BE, ∵AD平分∠BAC, ∴∠DAC=∠DAB, ∴∠DAB=∠DEB, ∴AB=BE, ∴AB=AC. 25.CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α. (1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题: ①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE = CF;EF = |BE﹣AF|(填“>”,“<”或“=”); ②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ∠α+∠BCA=180° ,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立. (2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明). 【分析】由题意推出∠CBE=∠ACF,再由AAS定理证△BCE≌△CAF,继而得答案. 解:(1)①∵∠BCA=90°,∠α=90°, ∴∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠ACF=90°, ∴∠CBE=∠ACF, ∵CA=CB,∠BEC=∠CFA; ∴△BCE≌△CAF, ∴BE=CF;EF=|CF﹣CE|=|BE﹣AF|. ②所填的条件是:∠α+∠BCA=180°. 证明:在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α. ∵∠BCA=180°﹣∠α, ∴∠CBE+∠BCE=∠BCA. 又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA, ∴∠CBE=∠ACF, 又∵BC=CA,∠BEC=∠CFA, ∴△BCE≌△CAF(AAS) ∴BE=CF,CE=AF, 又∵EF=CF﹣CE, ∴EF=|BE﹣AF|. (2)猜想:EF=BE+AF. 证明过程: ∵∠BEC=∠CFA=∠α,∠α=∠BCA,∠BCA+∠BCE+∠ACF=180°,∠CFA+∠CAF+∠ACF=180°, ∴∠BCE=∠CAF, 又∵BC=CA, ∴△BCE≌△CAF(AAS). ∴BE=CF,EC=FA, ∴EF=EC+CF=BE+AF. 展开更多...... 收起↑ 资源预览