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2.4二次函数的应用
同步习题
一．选择题
1．某工厂2017年产品的产量为a吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2019年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（　　）
A．y＝a（1﹣x）2
B．y＝
C．y＝a（1+x）2
D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2
2．用40cm的绳子围成一个的矩形，则矩形面积ycm2与一边长为xcm之间的函数关系式为（　　）
A．y＝x2
B．y＝﹣x2+40x
C．y＝﹣x2+20x
D．y＝﹣x2+20
3．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（　　）
A．y＝﹣x2+20x
B．y＝x2﹣20x
C．y＝﹣x2+10x
D．y＝x2﹣10x
4．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（　　）
A．23.5m
B．22.5m
C．21.5m
D．20.5m
5．如图1，是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线，在如图2所示的平面直角坐标系中，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点C）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣x+
B．y＝﹣x2+x+
C．y＝x2﹣x+
D．y＝x2+x+
6．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝﹣x2+50x
B．y＝﹣x2+24x
C．y＝﹣x2+25x
D．y＝﹣x2+26x
7．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝7.9（1+2x）
B．y＝7.9（1﹣x）2
C．y＝7.9（1+x）2
D．y＝7.9+7.9（1+x）+7.9（1+x）2
8．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0），则水流喷出的最大高度为（　　）
A．1米
B．米
C．2米
D．米
9．为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t（单位：h），温度为y（单位：℃）．当4≤t≤8时，y与t的函数关系是y＝﹣t2+10t+11，则4≤t≤8时该地区的最高温度是（　　）
A．11℃
B．27℃
C．35℃
D．36℃
10．学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a＝﹣．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（　　）cm．
A．12
B．12
C．6
D．6
二．填空题
11．一台机器原价为60万元，如果每年价格的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y关于x的函数关系式为　
　．
12．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则他将铅球推出的距离是　
　m．
13．学习过二次函数以后，李华同学以y＝2x2+6的图象为灵感，为合肥大圩葡萄节设计了一款葡萄酒杯，如图为杯子的设计稿，若AB＝4，DE＝2，则杯子的高CE长为　
　．
14．某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是　
　m．
15．为运用数据处理道路拥堵问题，现用流量q（辆/小时）、速度v（千米/小时）、密度k（辆/千米）来描述车流的基本特征．现测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如表：
速度v（千米/小时）
…
15
20
32
40
45
…
流量q（辆/小时）
…
1050
1200
1152
800
450
…
若已知q、v满足形如q＝mv2+nv（m、n为常数）的二次函数关系式，且q、v、k满足q＝vk．根据监控平台显示，当5≤v≤10时，道路出现轻度拥堵，试求此时密度k的取值范围是　
　．
三．解答题
16．某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．
（1）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价增加为多少元？应进货多少个？
（2）商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？
17．某河上有抛物线形拱桥，当水面离拱顶5m时，水面宽8m．一木船宽4m，高2m，载货后，木船露出水面的部分为m．以拱顶O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，A、B为抛物线与水面的交点．
（1）B点的坐标为　
　；
（2）求抛物线解析式；
（3）当水面离拱顶1.8米时，木船能否通过拱桥？
18．某零食铺子销售某种的精品坚果，每斤进价为50元，市场调研表明：当售价为66元/斤时，每月能售300斤，而当售价每涨价1元时，每月能少售10斤．设每斤坚果涨价x元（x≥0），每月的利润为W元．
（1）求W与x之间的函数关系式以及自变量x的取值范围；
（2）每斤坚果的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）由于运输费用降低，坚果进价每斤降低了m元（m＞0），现规定售价不得低于每斤75元，该商铺在今后的销售中，若可获得的月最大利润为5460元，求m的值．
参考答案
1．解：根据题意，得：y关于x的函数关系式为y＝a（1+x）2，
故选：C．
2．解：∵矩形一边长为xcm，周长为40cm，
∴另一边长为＝20﹣x（cm），
∴矩形的面积y＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x，
故选：C．
3．解：∵长方形一边的长度为x米，周长为20米，
∴长方形的另外一边的长度为（10﹣x）米，
则长方形的面积y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x，
故选：C．
4．解：由题意可得，
h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，
因为a＝﹣5＜0，
故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，
故选：C．
5．解：方法一：
0.26+2.24＝2.5＝（米）
根据题意和所建立的坐标系可知，A（﹣5，），B（0，），C（，0），
设排球运动路线的函数关系式为y＝ax2+bx+c，将A、B、C的坐标代入得：
，
解得，a＝﹣，b＝﹣，c＝，
∴排球运动路线的函数关系式为y＝﹣x2﹣x+，
故选：A．
方法二：排球运动路线的函数关系式为y＝ax2+bx+c，由图象可知，a＜0，a、b同号，即b＜0，c＝，故选：A．
6．解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，
则y关于x的函数表达式是：y＝x?（50+2﹣x）＝﹣x2+26x．
故选：D．
7．解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是：y＝7.9（1+x）2．
故选：C．
8．解：由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：，
∴函数表达式为：y＝﹣x2+x+，
＝﹣（x﹣1）2+2，
∵a＜0，故函数有最大值，
∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝2，
答：水流喷出的最大高度为2米．
故选：C．
9．解：∵y＝﹣t2+10t+11＝﹣（t﹣5）2+36，
∴当t＝5时有最大值36℃，
∴4≤t≤8时该地区的最高温度是36℃，
故选：D．
10．解：根据题意：
GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，
根据题意，Q（9，15.5），B（6，16），OH＝6，
设抛物线解析式为y＝﹣a（x﹣6）2+16，
将点Q代入解得a＝﹣，
符号题意：洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a＝﹣．
所以抛物线解析式为：
y＝﹣（x﹣6）2+16
＝﹣x2+x+14．
当y＝0时，即0＝﹣x2+x+14，
解得：x＝6+12（负值舍去），
所以洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是12cm．
故选：B．
11．解：由题意知：两年后的价格是为：y＝60×（1﹣x）×（1﹣x）＝60（1﹣x）2，
则函数解析式是：y＝60（1﹣x）2，
故答案为：y＝60（1﹣x）2．
12．解：当y＝0时，﹣x2+x+＝0，
解得：x1＝﹣1（舍），x2＝9，
∴他将铅球推出的距离是9m．
故答案为：9．
13．解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可得：D点坐标为：（0，6），
∵AB＝4，
∴B点的横坐标为：2，
故x＝2时，y＝2×4+6＝14，
即B（2，14），
则DC＝14﹣6＝8，
故CE＝DC+DE＝8+2＝10，
故答案为：10．
14．解：地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+，
把点A（0，5）代入抛物线解析式得：
a＝﹣，
∴抛物线解析式：
y＝﹣（x﹣1）2+．
当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3．
∴OB＝3（m）．
故答案为3．
15．解：把（15，1050）和（20，1200）代入q＝mv2+nv得，，
解得：，
∴q＝﹣2v2+100v，
∵q＝vk，
∴vk＝﹣2v2+100v，
把v＝5和v＝10分别代入上式得，5k＝﹣2×52+100×5或10k＝﹣2×102+100×10，
解得：k＝90或k＝80，
∴此时密度k的取值范围是80≤k≤90，
故答案为：80≤k≤90．
16．解：（1）设每个定价增加x元．
由题意得：（x+10）（400﹣10x）＝6000，
解得：x1＝10，x2＝20，
要使进货量较少，则每个定价为50+20＝70元，应进货400﹣10x＝400﹣10×20＝200个．
答：每个定价为70元，应进货200个．
（2）设每个定价增加x元，获得利润为y元．
y＝（x+10）（400﹣10x）＝﹣10x2+300x+4000＝﹣10（x﹣15）2+6250，
当x＝15时，y有最大值为6250．
所以每个定价为65元时可获得最大利润，可获得的最大利润是6250元．
17．解：（1）当水面距拱顶5m时，水面宽8m，
则点B（4，﹣5），
故答案为（4，﹣5）；
（2）设抛物线的解析式为y＝ax2，
将点B的坐标代入上式得﹣5＝a×42，解得a＝﹣，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2；
（3）将x＝2代入上式，得y＝﹣x2＝﹣，
∵＝2，
而1.8＜2，
当水面离拱顶1.8米时，木船不能通过拱桥．
18．解：（1）根据题意知，W＝（66+x﹣50）（300﹣10x）＝﹣10x2+140x+4800；
∵﹣10x+300≥0，
∴x≤30，
∴0≤x≤30；
故W＝﹣10x2+140x+4800（0≤x≤30）；
（2）∵W＝﹣10x2+140x+4800＝﹣10（x﹣7）2+5290，
∴当x＝7时，W取得最大值，最大值为5290，
答：每斤坚果的售价定为73元时，每个月可获得最大利润，最大利润是5290元；
（3）售价不得低于每斤75元，即x≥75﹣66＝9，
根据题意知，W＝（66+x﹣50+m）（300﹣10x）＝﹣10x2+（140﹣10m）x+（300m+4800），
函数的对称轴为x＝＝7﹣m＜7，
∴﹣10＜0，
故当x＞7﹣m时，W随x的增大而减小，
故当x＝9时，W取得最大值，
即x＝9时，W＝（66+x﹣50+m）（300﹣10x）＝（66+9﹣50+m）（300﹣10×9）＝5460，
解得m＝1．

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