北师大版九年级下册数学 2.3确定二次函数的表达式 同步习题(Word版 含解析)

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北师大版九年级下册数学 2.3确定二次函数的表达式 同步习题(Word版 含解析)

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2.3确定二次函数的表达式
同步习题
一.选择题
1.已知某二次函数,当x>1时,y随x的增大而减小;当x<1时,y随x的增大而增大,则该二次函数的解析式可以是(  )
A.y=3(x+1)2
B.y=3(x﹣1)2
C.y=﹣3(x+1)2
D.y=﹣3(x﹣1)2
2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与直线y=k(x﹣1)﹣,无论k取任何实数,此抛物线与直线都只有一个公共点.那么,抛物线的解析式是(  )
A.y=x2
B.y=x2﹣2x
C.y=x2﹣2x+1
D.y=2x2﹣4x+2
3.将二次函数y=x2+4x﹣1用配方法化成y=(x﹣h)2+k的形式,下列所配方的结果中正确的是(  )
A.y=(x﹣2)2+5
B.y=(x+2)2﹣5
C.y=(x﹣4)2﹣1
D.y=(x+4)2﹣5
4.抛物线y=2x2+c的顶点坐标为(0,1),则抛物线的解析式为(  )
A.y=2x2+1
B.y=2x2﹣1
C.y=2x2+2
D.y=2x2﹣2
5.抛物线的顶点为(1,﹣4),与y轴交于点(0,﹣3),则该抛物线的解析式为(  )
A.y=x2﹣2x﹣3
B.y=x2+2x﹣3
C.y=x2﹣2x+3
D.y=2x2﹣3x﹣3
6.如果抛物线经过点A(2,0)和B(﹣1,0),且与y轴交于点C,若OC=2.则这条抛物线的解析式是(  )
A.y=x2﹣x﹣2
B.y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2
C.y=﹣x2+x+2
D.y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2
7.在二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表
x
……
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
……
y
……
21
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
m
……
其中m的值(  )
A.21
B.12
C.5
D.﹣4
8.一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(﹣1,3),则该抛物线的解析式为(  )
A.y=﹣2(x﹣1)2+3
B.y=﹣2(x+1)2+3
C.y=﹣(2x+1)2+3
D.y=﹣(2x﹣1)2+3
二.填空题
9.若某二次函数图象的形状与抛物线y=3x2相同,且顶点坐标为(0,﹣2),则它的表达式为 
 .
10.已知二次函数图象的顶点坐标为(1,﹣3),且过点(2,0),则这个二次函数的解析式 
 .
11.若某抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c,已知a,b为正整数,c为整数,b>2a,且当﹣1≤x≤1时,有﹣4≤y≤2成立,则抛物线的函数解析式为 
 .
12.若二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则此函数的解析式为 
 .
13.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是A(2,2),B(5,5),若二次函数y=ax2+bx+c的图象过A,B两点,且该函数图象的顶点为M(x,y),其中x,y是整数,且0<x<7,0<y<7,则a的值为 
 .
14.已知一抛物线的形状与抛物线y=﹣x2相同,顶点在(1,﹣2),则抛物线的解析式为 
 .
15.已知二次函数图象的顶点坐标是(2,﹣1),形状与抛物线y=2x2相同且开口方向向下,则这个二次函数的解析式是 
 .
三.解答题
16.已知y1与x2+1成正比例,y2与x﹣1成正比例,y=y1+y2,当x=1时,y=4;当x=﹣2时,y=7.求y关于x的函数解析式.
17.抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=﹣2x+m相交于A(﹣2,n)、B(2,﹣3)两点.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)若﹣4≤x≤1,求y2﹣2y1的取值范围.
18.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
x

﹣2
﹣1
0
1
2

y

m
0
﹣3
﹣4
﹣3

(Ⅰ)求这个二次函数的解析式;
(Ⅱ)求m的值;
(Ⅲ)当﹣1≤x≤5时,求y的最值(最大值和最小值)及此时x的值.
参考答案
1.解:∵当x>1时,y随x的增大而减小;当x<1时,y随x的增大而增大,
∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,
∴抛物线y=﹣3(x﹣1)2满足条件.
故选:D.
2.解:联立方程组,
∴ax2+bx+c=k(x﹣1)﹣k2,
整理得,ax2+(b﹣k)x+c+k+k2=0,
∵无论k为何实数,直线与抛物线都只有一个交点,
∴△=(b﹣k)2﹣4a(c+k+k2)=(1﹣a)k2﹣2k(2a+b)+b2﹣4ac=0,
可得1﹣a=0,2a+b=0,b2﹣4ac=0,
解得a=1,b=﹣2,c=1,
∴抛物线的解析式是y=x2﹣2x+1,
故选:C.
3.解:y=x2+4x﹣1=y=x2+4x+4﹣4﹣1=(x+2)2﹣5,
故选:B.
4.解:∵抛物线y=2x2+c的顶点坐标为(0,1),
∴c=1,
∴抛物线的解析式为y=2x2+1,
故选:A.
5.解:设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2﹣4,
将(0,﹣3)代入y=a(x﹣1)2﹣4,得:﹣3=a(0﹣1)2﹣4,
解得:a=1,
∴抛物线的解析式为y=(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3.
故选:A.
6.解:设抛物线解析式为y=a(x﹣2)(x+1),
∵OC=2,
∴C点坐标为(0,2)或(0,﹣2),
把C(0,2)代入y=a(x﹣2)(x+1)得a?(﹣2)?1=2,解得a=﹣1,此时抛物线解析式为y=﹣(x﹣2)(x+1),即y=﹣x2+x+2;
把C(0,﹣2)代入y=a(x﹣2)(x+1)得a?(﹣2)?1=﹣2,解得a=1,此时抛物线解析式为y=(x﹣2)(x+1),即y=x2﹣x﹣2.
即抛物线解析式为y=﹣x2+x+2或y=x2﹣x﹣2.
故选:D.
7.解:从表格看:函数的对称轴为:x=2,
x=5与x=﹣1是关于对称轴的对称点,
其y值相同,故m=5,
故选:C.
8.解:抛物线解析式为y=﹣2(x+1)2+3.
故选:B.
9.解:图象顶点坐标为(0,﹣2),
可以设函数解析式是y=ax2﹣2,
又∵形状与抛物线y=﹣3x2相同,即二次项系数绝对值相同,
∴|a|=3,
∴这个函数解析式是:y=3x2﹣2或y=﹣3x2﹣2,
故答案为:y=3x2﹣2或y=﹣3x2﹣2.
10.解:设此二次函数的解析式为y=a(x﹣1)2﹣3.
∵其图象经过点(2,0),
∴a(2﹣1)2﹣3=0,
∴a=3,
∴y=3(x﹣1)2﹣3,即y=3x2﹣6x,
故答案为y=3x2﹣6x.
11.解:抛物线y=ax2+bx+c中,a,b为正整数,c为整数,b>2a,
∴抛物线开口向上,对称轴直线x<﹣1,
∵当﹣1≤x≤1时,有﹣4≤y≤2成立,
∴当x=﹣1时y=﹣4,x=1时y=2,
∴,
②﹣①得2b=6,
∴b=3,
∵a,b为正整数,b>2a,
∴a=1,
∴1+3+c=2,解得c=﹣2,
∴抛物线的函数解析式为y=x2+3x﹣2,
故答案为y=x2+3x﹣2.
12.解:设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+1,
将B(1,0)代入y=a(x﹣2)2+1得,0=a+1
∴a=﹣1,
∴函数解析式为y=﹣(x﹣2)2+1,
所以该抛物线的函数解析式为y=﹣x2+4x﹣3,
故答案为y=﹣x2+4x﹣3.
13.解:∵顶点为M(x,y),其中x,y是整数,且0<x<7,0<y<7,
∴y=1或y=2或y=5或y=6,
根据抛物线的对称性,抛物线的顶点只能为(3,1)或(2,2)或(4,6)或(5,5)
当顶点坐标为(3,1)时,设抛物线解析式为y=a(x﹣3)2+1,把A(2,2)代入得a(2﹣3)2+1=2,解得a=1;
当顶点坐标为(2,2)时,设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+2,把B(5,5)代入得a(5﹣2)2+2=5,解得a=;
当顶点坐标为(4,6)时,设抛物线解析式为y=a(x﹣4)2+6,把B(5,5)代入得a(5﹣4)2+6=5,解得a=﹣1;
当顶点坐标为(5,5)时,设抛物线解析式为y=a(x﹣5)2+5,把A(2,2)代入得a(2﹣5)2+5=2,解得a=﹣;
综上所述,a的值为±1,±.
故答案为±1,±.
14.解:∵抛物线的形状与抛物线y=﹣x2相同,
∴a=±,
∵顶点为(1,﹣2),
∴抛物线解析式为y=(x﹣1)2﹣2或y=﹣(x﹣1)2﹣2.
故答案为y=(x﹣1)2﹣2或y=﹣(x﹣1)2﹣2.
15.解:设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2﹣1,且该抛物线的形状形状与抛物线y=2x2相同且开口方向向下,
∴a=﹣2,
∴y=﹣2(x﹣2)2﹣1,
故答案为:y=﹣2(x﹣2)2﹣1.
16.解:根据题意,设y1=k1(x2+1),y2=k2(x﹣1),
又∵y=y1+y2,
∴y=k1(x2+1)+k2(x﹣1)=k1x2+k2x+k1﹣k2;
又∵当x=1时,y=4,当x=﹣2时,y=7,
∴,
解得,
∴y关于x的函数解析式为y=2x2+x+1.
17.解:(1)将B(2,﹣3)代入直线y2=﹣2x+m得,﹣3=﹣4+m,
解得m=1,
∴直线y2=﹣2x+1,
∵直线y2=﹣2x+1经过点A(﹣2,n),
∴n=4+1=5;
∵抛物线y1=x2+bx+c过点A和点B,
∴,解得,
∴y1=x2﹣2x﹣3.
(2)y2﹣2y1=﹣2x+1﹣2(x2﹣2x﹣3)=﹣2x2+2x+7,
∴对称轴为直线x=﹣=,
∴y2﹣2y1的最大值是:﹣2×+2×+7=,
当x=﹣4时,y2﹣2y1=﹣2x2+2x+7=﹣33,
∴若﹣4≤x≤1,y2﹣2y1的取值范围是﹣33≤y2﹣2y1≤.
18.解:(Ⅰ)设y=a(x﹣1)2﹣4,
将(0,﹣3)代入y=a(x﹣1)2﹣4得,
a﹣4=﹣3,
解得a=1,
∴这个二次函数的解析式为y=(x﹣1)2﹣4.
(Ⅱ)当x=﹣2时,m=(﹣2﹣1)2﹣4=5.
(Ⅲ)当x=1时,y有最小值为﹣4,
当x=5时,y有最大值为(5﹣1)2﹣4=16﹣4=12.

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