资源简介 北师大版九年级下册数学第三章 圆测试卷[范围:第三章 时间:120分钟 分值:120分]一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)1.若⊙O的半径为5,点P在⊙O内,则OP的长可能是( )A.4B.5C.6D.72.如图1,AB为⊙O的直径,CD是⊙O的弦,已知∠ACD=20°,则∠BAD的度数为( )图1A.20°B.50°C.60°D.70°3.如图2,AB是⊙O的直径,AC是弦,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A=32°,则∠D的度数为( )图2A.64°B.58°C.32°D.26°4.如图3,已知四边形ABCD内接于⊙O,AD是直径,∠ABC=120°,CD=3,则弦AC的长是( )图3A.3B.2C.D.45.如图4,AB为⊙O的直径,C,D是⊙O上的两点,∠BAC=20°,=,则∠DAC的度数是( )图4A.70°B.45°C.35°D.30°6.如图5,P,Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB,BC上的点,BP=CQ,则∠POQ的度数为( )图5A.75°B.54°C.72°D.60°二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)7.如图6,已知△ABC的外接圆⊙O的半径为4cm,且BC=4cm,则∠A的度数是________.图68.边长为2的等边三角形的内切圆的半径为________.9.如图7,将⊙O沿弦AB折叠,恰好经过圆心O,若⊙O的半径为3,则的长为________.图7图810.如图8,正六边形ABCDEF的边长为1,以点A为圆心,AB的长为半径作扇形ABF,则图中阴影部分的面积为________.(结果保留根号和π).11.如图9,△ABC是⊙O的内接三角形,AB是⊙O的直径,P为⊙O上的动点,且∠BPC=60°,⊙O的半径为6,则点P到AC距离的最大值是________.图912.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,如果以点C为圆心的圆与斜边AB有唯一的公共点,那么⊙C的半径R的取值范围为____________.三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)13.如图10,在⊙O中,弦AB与CD相交于点E,且AB=CD.求证:AE=CE.图1014.如图11,△ABC内接于⊙O,AB=AC,点D在上,连接CD交AB于点E,B是的中点.求证:∠B=∠BEC.图1115.请你用无刻度的直尺分别在下面的图中作出△ABC的边AB上的高CD.(1)如图12①是以锐角三角形ABC的边AB为直径的圆,与另两边AC,BC分别交于点E,F;(2)如图②是以钝角三角形ABC的一短边AB为直径的圆,与最长的边AC相交于点E.图1216.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图13①,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.图②是其示意图,筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,点C为运行轨道的最低点且点C到弦AB的距离为2米(O,C的连线垂直于AB),若筒车盛水桶的运行轨道的最高点为D,求点D到弦AB所在直线的距离.图1317.如图14,在⊙O中,弦AB=8,点C在⊙O上(点C与点A,B不重合),连接CA,CB,过点O分别作OD⊥AC,OE⊥BC,垂足分别是D,E,连接DE.(1)求线段DE的长;(2)若点O到AB的距离为3,求⊙O的半径.图14四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)18.如图15,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,直线MN与⊙O相切于点C,过点B作BD⊥MN于点D.(1)求证:∠ABC=∠CBD;(2)若BC=4,CD=4,求⊙O的半径.图1519.如图16,已知△ABC内接于⊙O,P是圆外一点,PA为⊙O的切线,且PA=PB,连接OP,线段AB与线段OP相交于点D.(1)求证:PB为⊙O的切线;(2)若PA=PO,⊙O的半径为10,求线段PD的长.图1620.如图17,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,以AB为直径的半圆O交AC于点D,E是上不与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G.(1)求证:△ADF≌△BDG;(2)若AB=4,且E是的中点,求DF的长;(3)若H是上的一点,当四边形OBEH为菱形时,求∠EAB的度数.图17五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)21.如图18,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为F.(1)求证:直线DF是⊙O的切线;(2)求证:BC2=4CF·AC;(3)若⊙O的半径为4,∠CDF=15°,求阴影部分的面积.图1822.如图19①,四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径,过点A的切线与CD的延长线相交于点P,且∠APC=∠BCP.(1)求证:∠BAC=2∠ACD;(2)过图①中的点D作DE⊥AC,垂足为E(如图②),当BC=6,AE=2时,求⊙O的半径.图19六、(本大题共12分)23.如图20,AB是⊙O的直径,P是BA延长线上一点,过点P作⊙O的切线PC,切点是C,过点C作弦CD⊥AB于点E,连接CO,CB,PD.(1)求证:PD是⊙O的切线;(2)若AB=10,tanB=,求PA的长;(3)试探究线段AB,OE,OP之间的数量关系,并说明理由.图20参考答案1.A 2.D 3.D 4.A 5.C 6.C 7.30° 8.1 9.2π 10.- 11.6+3 12.613.证明:如图,连接AC.∵AB=CD,∴=,∴-=-,即=,∴∠DCA=∠BAC,∴AE=CE.14.证明:∵B是的中点,∴=,∴∠BCD=∠A.∵∠BEC=∠A+∠ACE,∴∠BEC=∠BCD+∠ACE=∠ACB.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠BEC.15.解:(1)如图①,CD即为所求作的高.(2)如图②,CD即为所求作的高.16.解:如图,连接AO,延长CO交⊙O于点D.由题意知CE=2.设⊙O的半径为r,则OE=r-2.∵OC是半径,OC⊥AB,∴AE=BE=AB=3.在Rt△AEO中,OA2=AE2+OE2,∴r2=32+(r-2)2,解得r=,∴DE=2r-2=,∴点D到弦AB所在直线的距离为米.17.解:(1)∵OD经过圆心O,OD⊥AC,∴AD=DC.同理:CE=EB,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=AB=4.(2)如图,连接OA,过点O作OH⊥AB,垂足为H,则OH=3.∵OH经过圆心O,OH⊥AB,∴AH=BH=AB=4.在Rt△AHO中,AH2+OH2=AO2,∴42+32=AO2,∴AO=5,即⊙O的半径为5.18.解:(1)证明:如图,连接OC.∵直线MN与⊙O相切于点C,∴OC⊥MN.又∵BD⊥MN,∴OC∥BD,∴∠CBD=∠BCO.∵OC=OB,∴∠BCO=∠ABC,∴∠ABC=∠CBD.(2)如图,连接AC.在Rt△BCD中,BC=4,CD=4,∴BD==8.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠CDB.又∵∠ABC=∠CBD,∴△ABC∽△CBD,∴=,即=,∴AB=10,∴⊙O的半径是5.19.解:(1)证明:如图,连接OA,OB.在△OAP和△OBP中,∵PA=PB,OA=OB,OP=OP,∴△OAP≌△OBP(SSS),∴∠OAP=∠OBP.∵PA为⊙O的切线,∴∠OAP=90°,∴∠OBP=90°.又∵OB为⊙O的半径,∴PB为⊙O的切线.(2)∵在Rt△AOP中,PO2-PA2=AO2,PA=PO,AO=10,∴PO2-(PO)2=102,解得PO=,∴PA=PO=.∵PA=PB,OA=OB,∴OP垂直平分AB,∴∠ADP=90°.∵cos∠APO==,∴PD=.20.解:(1)证明:∵BA=BC,∠ABC=90°,∴∠BAC=45°.∵AB是半圆O的直径,∴∠BDG=∠ADF=90°,∴∠ABD+∠BAC=90°,∴∠ABD=∠BAC=45°,∴AD=BD.又∵∠DAF=∠DBG,∴△ADF≌△BDG(ASA).(2)由(1)可知,△BAD是等腰直角三角形.∵AB=4,∴AD=BD=2.∵E是的中点,∴=,∴∠DAE=∠BAE.∵AB是⊙O的直径,∴∠AEG=∠AEB=90°.在△AEG和△AEB中,∵∠GAE=∠BAE,AE=AE,∠AEG=∠AEB,∴△AEG≌△AEB,∴AG=AB=4,∴DG=AG-AD=4-2.由(1)可知△ADF≌△BDG,∴DF=DG=4-2.(3)如图,连接OH,EH.∵AB是半圆O的直径,∴∠AEB=90°.∵四边形OBEH为菱形,∴BE=OB=AB,∴sin∠EAB==,∴∠EAB=30°.21.解:(1)证明:如图,连接OD.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵OB=OD,∴∠ODB=∠B,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC.∵DF⊥AC,∴DF⊥OD.又∵OD是⊙O的半径,∴直线DF是⊙O的切线.(2)如图,连接AD,则AD⊥BC.∵AB=AC,∴BD=CD=BC.∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°=∠ADC.又∵∠C=∠C,∴△CFD∽△CDA,∴=,∴CD2=CF·AC,∴(BC)2=CF·AC,即BC2=4CF·AC.(3)如图,过点O作OG⊥AE,垂足为G,连接OE.由(2)知△CFD∽△CDA,∴∠CDF=∠CAD.∵∠CDF=15°,∴∠CAD=15°.∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠OAE=2∠CAD=30°.又∵OA=OE,∴∠OEA=∠OAE=30°,∴∠AOE=120°.∵OG⊥AE,∠OAE=30°,OA=4,∴OG=2,AG=OA·cos∠OAE=2,∴AE=2AG=4,∴S△OAE=AE·OG=×4×2=4,∴S阴影=S扇形OAE-S△OAE=-4=-4.22.解:(1)证明:如图①,过点D作DF⊥BC于点F,连接DB.∵AP是⊙O的切线,∴∠PAC=90°,∴∠APC+∠ACP=90°.∵AC是⊙O的直径,∴∠ADC=90°,∴∠ACP+∠DAC=90°,∴∠APC=∠DAC=∠DBC.∵∠APC=∠BCP,∴∠DBC=∠DCB,∴DB=DC.∵DF⊥BC,∴DF是BC的垂直平分线,∴DF经过点O.∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.∵DB=DC,DF⊥BC,∴∠BDC=2∠ODC,∴∠BAC=∠BDC=2∠ODC=2∠OCD,即∠BAC=2∠ACD.(2)如图②,过点D作DF⊥BC于点F.由(1)知DF经过点O,∴CF=BC=3.在△DEC和△CFD中,∵∠DCE=∠CDF,∠DEC=∠CFD=90°,DC=CD,∴△DEC≌△CFD(AAS),∴DE=CF=3.∵∠ADC=90°,DE⊥AC,∴∠ADE+∠CDE=90°,∠DCE+∠CDE=90°,∴∠ADE=∠DCE.又∵∠AED=∠DEC=90°,∴△ADE∽△DCE,∴=,∴CE==,∴AC=AE+CE=2+=,∴⊙O的半径为.23.解:(1)证明:如图①,连接OD.∵PC是⊙O的切线,∴∠PCO=90°,即∠PCD+∠OCD=90°.∵OA⊥CD,∴CE=DE,∴PC=PD,∴∠PDC=∠PCD.∵OC=OD,∴∠ODC=∠OCD,∴∠PDC+∠ODC=∠PCD+∠OCD=90°.又∵点D在⊙O上,∴PD是⊙O的切线.(2)如图②,连接AC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴tanB==.设AC=m,BC=2m,由勾股定理得m2+(2m)2=102,解得m=2(负值已舍去),∴AC=2,BC=4.由等积法可知CE·AB=AC·BC,∴10CE=2×4,∴CE=4,∴BE==8,∴AE=2,OE=3.∵cos∠COP==,∴OP==,∴PA=OP-OA=-5=.(3)AB2=4OE·OP.理由:∵PC切⊙O于点C,CD⊥AB,∴∠OCP=90°=∠OEC.又∵∠COE=∠POC,∴△OCE∽△OPC,∴=,即OC2=OE·OP.∵OC=AB,∴(AB)2=OE·OP,即AB2=4OE·OP. 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