北师大版九年级下册数学第三章 圆测试卷(Word版 含答案)

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北师大版九年级下册数学第三章 圆测试卷(Word版 含答案)

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北师大版九年级下册数学第三章 圆测试卷
[范围:第三章 时间:120分钟 分值:120分]
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)
1.若⊙O的半径为5,点P在⊙O内,则OP的长可能是(  )
A.4
B.5
C.6
D.7
2.如图1,AB为⊙O的直径,CD是⊙O的弦,已知∠ACD=20°,则∠BAD的度数为(  )
图1
A.20°
B.50°
C.60°
D.70°
3.如图2,AB是⊙O的直径,AC是弦,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A=32°,则∠D的度数为(  )
图2
A.64°
B.58°
C.32°
D.26°
4.如图3,已知四边形ABCD内接于⊙O,AD是直径,∠ABC=120°,CD=3,则弦AC的长是(  )
图3
A.3
B.2
C.
D.4
5.如图4,AB为⊙O的直径,C,D是⊙O上的两点,∠BAC=20°,=,则∠DAC的度数是(  )
图4
A.70°
B.45°
C.35°
D.30°
6.如图5,P,Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB,BC上的点,BP=CQ,则∠POQ的度数为(  )
图5
A.75°
B.54°
C.72°
D.60°
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.如图6,已知△ABC的外接圆⊙O的半径为4
cm,且BC=4
cm,则∠A的度数是________.
图6
8.边长为2
的等边三角形的内切圆的半径为________.
9.如图7,将⊙O沿弦AB折叠,恰好经过圆心O,若⊙O的半径为3,则的长为________.
图7
图8
10.如图8,正六边形ABCDEF的边长为1,以点A为圆心,AB的长为半径作扇形ABF,则图中阴影部分的面积为________.(结果保留根号和π).
11.如图9,△ABC是⊙O的内接三角形,AB是⊙O的直径,P为⊙O上的动点,且∠BPC=60°,⊙O的半径为6,则点P到AC距离的最大值是________.
图9
12.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,如果以点C为圆心的圆与斜边AB有唯一的公共点,那么⊙C的半径R的取值范围为____________.
三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.如图10,在⊙O中,弦AB与CD相交于点E,且AB=CD.求证:AE=CE.
图10
14.如图11,△ABC内接于⊙O,AB=AC,点D在上,连接CD交AB于点E,B是的中点.
求证:∠B=∠BEC.
图11
15.请你用无刻度的直尺分别在下面的图中作出△ABC的边AB上的高CD.
(1)如图12①是以锐角三角形ABC的边AB为直径的圆,与另两边AC,BC分别交于点E,F;
(2)如图②是以钝角三角形ABC的一短边AB为直径的圆,与最长的边AC相交于点E.
图12
16.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图13①,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.图②是其示意图,筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,点C为运行轨道的最低点且点C到弦AB的距离为2米(O,C的连线垂直于AB),若筒车盛水桶的运行轨道的最高点为D,求点D到弦AB所在直线的距离.
图13
17.如图14,在⊙O中,弦AB=8,点C在⊙O上(点C与点A,B不重合),连接CA,CB,过点O分别作OD⊥AC,OE⊥BC,垂足分别是D,E,连接DE.
(1)求线段DE的长;
(2)若点O到AB的距离为3,求⊙O的半径.
图14
四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.如图15,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,直线MN与⊙O相切于点C,过点B作BD⊥MN于点D.
(1)求证:∠ABC=∠CBD;
(2)若BC=4
,CD=4,求⊙O的半径.
图15
19.如图16,已知△ABC内接于⊙O,P是圆外一点,PA为⊙O的切线,且PA=PB,连接OP,线段AB与线段OP相交于点D.
(1)求证:PB为⊙O的切线;
(2)若PA=PO,⊙O的半径为10,求线段PD的长.
图16
20.如图17,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,以AB为直径的半圆O交AC于点D,E是上不与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G.
(1)求证:△ADF≌△BDG;
(2)若AB=4,且E是的中点,求DF的长;
(3)若H是上的一点,当四边形OBEH为菱形时,求∠EAB的度数.
图17
五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.如图18,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为F.
(1)求证:直线DF是⊙O的切线;
(2)求证:BC2=4CF·AC;
(3)若⊙O的半径为4,∠CDF=15°,求阴影部分的面积.
图18
22.如图19①,四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径,过点A的切线与CD的延长线相交于点P,且∠APC=∠BCP.
(1)求证:∠BAC=2∠ACD;
(2)过图①中的点D作DE⊥AC,垂足为E(如图②),当BC=6,AE=2时,求⊙O的半径.
图19
六、(本大题共12分)
23.如图20,AB是⊙O的直径,P是BA延长线上一点,过点P作⊙O的切线PC,切点是C,过点C作弦CD⊥AB于点E,连接CO,CB,PD.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)若AB=10,tanB=,求PA的长;
(3)试探究线段AB,OE,OP之间的数量关系,并说明理由.
图20
参考答案
1.A 2.D 3.D 4.A 5.C 6.C 7.30° 
8.1 9.2π 10.- 11.6+3
 12.613.证明:如图,连接AC.
∵AB=CD,∴=,
∴-=-,即=,
∴∠DCA=∠BAC,
∴AE=CE.
14.证明:∵B是的中点,
∴=,
∴∠BCD=∠A.
∵∠BEC=∠A+∠ACE,
∴∠BEC=∠BCD+∠ACE=∠ACB.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠BEC.
15.解:(1)如图①,CD即为所求作的高.
(2)如图②,CD即为所求作的高.
16.解:如图,连接AO,延长CO交⊙O于点D.由题意知CE=2.
设⊙O的半径为r,则OE=r-2.
∵OC是半径,OC⊥AB,
∴AE=BE=AB=3.
在Rt△AEO中,OA2=AE2+OE2,
∴r2=32+(r-2)2,解得r=,
∴DE=2r-2=,
∴点D到弦AB所在直线的距离为米.
17.解:(1)∵OD经过圆心O,OD⊥AC,
∴AD=DC.
同理:CE=EB,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=AB=4.
(2)如图,连接OA,过点O作OH⊥AB,垂足为H,则OH=3.
∵OH经过圆心O,OH⊥AB,
∴AH=BH=AB=4.
在Rt△AHO中,AH2+OH2=AO2,
∴42+32=AO2,
∴AO=5,即⊙O的半径为5.
18.解:(1)证明:如图,连接OC.
∵直线MN与⊙O相切于点C,
∴OC⊥MN.
又∵BD⊥MN,
∴OC∥BD,
∴∠CBD=∠BCO.
∵OC=OB,
∴∠BCO=∠ABC,
∴∠ABC=∠CBD.
(2)如图,连接AC.
在Rt△BCD中,BC=4
,CD=4,
∴BD==8.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠CDB.
又∵∠ABC=∠CBD,
∴△ABC∽△CBD,
∴=,即=,
∴AB=10,
∴⊙O的半径是5.
19.解:(1)证明:如图,连接OA,OB.
在△OAP和△OBP中,∵PA=PB,OA=OB,OP=OP,
∴△OAP≌△OBP(SSS),
∴∠OAP=∠OBP.
∵PA为⊙O的切线,
∴∠OAP=90°,
∴∠OBP=90°.
又∵OB为⊙O的半径,
∴PB为⊙O的切线.
(2)∵在Rt△AOP中,PO2-PA2=AO2,PA=PO,AO=10,
∴PO2-(PO)2=102,
解得PO=,
∴PA=PO=.
∵PA=PB,OA=OB,∴OP垂直平分AB,
∴∠ADP=90°.
∵cos∠APO==,
∴PD=.
20.解:(1)证明:∵BA=BC,∠ABC=90°,
∴∠BAC=45°.
∵AB是半圆O的直径,
∴∠BDG=∠ADF=90°,
∴∠ABD+∠BAC=90°,
∴∠ABD=∠BAC=45°,
∴AD=BD.
又∵∠DAF=∠DBG,
∴△ADF≌△BDG(ASA).
(2)由(1)可知,△BAD是等腰直角三角形.
∵AB=4,∴AD=BD=2
.
∵E是的中点,∴=,
∴∠DAE=∠BAE.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEG=∠AEB=90°.
在△AEG和△AEB中,
∵∠GAE=∠BAE,AE=AE,∠AEG=∠AEB,
∴△AEG≌△AEB,
∴AG=AB=4,
∴DG=AG-AD=4-2
.
由(1)可知△ADF≌△BDG,∴DF=DG=4-2
.
(3)如图,连接OH,EH.
∵AB是半圆O的直径,
∴∠AEB=90°.
∵四边形OBEH为菱形,
∴BE=OB=AB,
∴sin∠EAB==,
∴∠EAB=30°.
21.解:(1)证明:如图,连接OD.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OD,∴∠ODB=∠B,
∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC.
∵DF⊥AC,∴DF⊥OD.
又∵OD是⊙O的半径,
∴直线DF是⊙O的切线.
(2)如图,连接AD,则AD⊥BC.
∵AB=AC,∴BD=CD=BC.
∵DF⊥AC,
∴∠DFC=90°=∠ADC.
又∵∠C=∠C,
∴△CFD∽△CDA,
∴=,
∴CD2=CF·AC,∴(BC)2=CF·AC,即BC2=4CF·AC.
(3)如图,过点O作OG⊥AE,垂足为G,连接OE.
由(2)知△CFD∽△CDA,
∴∠CDF=∠CAD.
∵∠CDF=15°,∴∠CAD=15°.
∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠OAE=2∠CAD=30°.
又∵OA=OE,∴∠OEA=∠OAE=30°,
∴∠AOE=120°.
∵OG⊥AE,∠OAE=30°,OA=4,
∴OG=2,AG=OA·cos∠OAE=2

∴AE=2AG=4

∴S△OAE=AE·OG=×4
×2=4

∴S阴影=S扇形OAE-S△OAE=-4
=-4
.
22.解:(1)证明:如图①,过点D作DF⊥BC于点F,连接DB.
∵AP是⊙O的切线,
∴∠PAC=90°,∴∠APC+∠ACP=90°.
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,∴∠ACP+∠DAC=90°,
∴∠APC=∠DAC=∠DBC.
∵∠APC=∠BCP,
∴∠DBC=∠DCB,
∴DB=DC.
∵DF⊥BC,
∴DF是BC的垂直平分线,
∴DF经过点O.
∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.
∵DB=DC,DF⊥BC,∴∠BDC=2∠ODC,
∴∠BAC=∠BDC=2∠ODC=2∠OCD,即∠BAC=2∠ACD.
(2)如图②,过点D作DF⊥BC于点F.由(1)知DF经过点O,
∴CF=BC=3.
在△DEC和△CFD中,
∵∠DCE=∠CDF,∠DEC=∠CFD=90°,DC=CD,
∴△DEC≌△CFD(AAS),
∴DE=CF=3.
∵∠ADC=90°,DE⊥AC,
∴∠ADE+∠CDE=90°,∠DCE+∠CDE=90°,
∴∠ADE=∠DCE.
又∵∠AED=∠DEC=90°,
∴△ADE∽△DCE,
∴=,∴CE==,
∴AC=AE+CE=2+=,
∴⊙O的半径为.
23.解:(1)证明:如图①,连接OD.
∵PC是⊙O的切线,
∴∠PCO=90°,即∠PCD+∠OCD=90°.
∵OA⊥CD,∴CE=DE,
∴PC=PD,
∴∠PDC=∠PCD.
∵OC=OD,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠PDC+∠ODC=∠PCD+∠OCD=90°.
又∵点D在⊙O上,
∴PD是⊙O的切线.
(2)如图②,连接AC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴tanB==.
设AC=m,BC=2m,由勾股定理得m2+(2m)2=102,
解得m=2
(负值已舍去),
∴AC=2
,BC=4
.
由等积法可知CE·AB=AC·BC,
∴10CE=2
×4

∴CE=4,
∴BE==8,
∴AE=2,OE=3.
∵cos∠COP==,
∴OP==,
∴PA=OP-OA=-5=.
(3)AB2=4OE·OP.
理由:∵PC切⊙O于点C,CD⊥AB,
∴∠OCP=90°=∠OEC.
又∵∠COE=∠POC,
∴△OCE∽△OPC,
∴=,即OC2=OE·OP.
∵OC=AB,∴(AB)2=OE·OP,
即AB2=4OE·OP.

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