资源简介 第1章 特殊的平行四边形 一.选择题 1.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是正方形,已知点C(,1),则点A的坐标是( ) A.(﹣1,) B.(﹣,1) C.(1﹣,) D.(1,) 2.“勾股图”有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票(如图1),欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究.如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以△ABC的三条边为边向外作正方形.连结EB,CM,DG,CM分别与AB,BE相交于点P,Q.若∠ABE=30°,则的值为( ) A. B. C. D.﹣1 3.如图,矩形ABCD中,AC,BD交于点O,M,N分别为BC,OC的中点.若MN=3,AB=6,则∠ACB的度数为( ) A.30° B.35° C.45° D.60° 4.如图,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件后,不能得出四边形ABCD是矩形的是( ) A.∠DAB+∠DCB=180° B.AB2+BC2=AC2 C.AC=BD D.AC⊥BD 5.如图,正方形ABCD的面积为36,点E、F分别在AB,AD上,若CE=3,且∠ECF=45°,则CF长为( ) A.2 B.3 C. D. 6.如图,矩形ABCD中,O为AC中点,过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F,连接BF交AC于点M,连接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论:①FB⊥OC,OM=CM; ②△EOB≌△CMB;③MB:OE=3:2;④四边形EBFD是菱形.其中正确结论是( ) A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①③④ 7.下列说法中,正确的是( ) A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.有一组邻边相等的矩形是正方形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线相等的四边形是矩形 8.如图,点P是矩形ABCD的边上一动点,矩形两边长AB、BC长分别为15和20,那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是( ) A.6 B.12 C.24 D.不能确定 9.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,则矩形对角线的长等于( ) A.6 B.8 C. D. 10.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点C作AB垂线交AB延长线于点E,连结OE,若AB=2,BD=4,则OE的长为( ) A.6 B.5 C.2 D.4 二.填空题 11.如图,将两张一样(长为8cm,宽为2cm)的矩形纸条交叉叠放,重合部分为四边形;则四边形的周长的最大值是 cm. 12.如图,菱形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A在x轴上,∠B=120°,OA=1,将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA'B′C'的位置,则点B'的坐标为 . 13.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,OC=2cm,∠ABO=30°,则菱形 ABCD的面积是 . 14.如图,在菱形ABCD中,AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F,垂足为点E,若∠CDF=27°,则∠DAB的度数为 . 15.如图,在菱形ABCD中,AC与BD相交于点O,点P是AB的中点,PO=2,则菱形ABCD的周长是 . 16.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AD,BC边上的点,AE=CF,∠EFB=45°,若AB=5,BC=13,则AE的长为 . 17.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=9,AC=12,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,点G为四边形DEAF对角线交点,则线段GF的最小值为 . 18.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AB于点E,若BC=4,△AOE的面积为6,则BE= . 19.如图,若将四根木条钉成的矩形木框变成?ABCD的形状,并使其面积变为矩形面积的一半,则?ABCD的最小内角的度数为 . 20.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F,若DE=4,BF=3,则EF的长为 . 三.解答题 21.如图,过?ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线,分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N. (1)求证:△PBE≌△QDE; (2)顺次连接点P、M、Q、N,求证:四边形PMQN是菱形. 22.如图,在矩形ABCD中,过对角线BD中点O的直线分别交边AD,BC于点E,F. (1)求证:四边形BEDF是平行四边形; (2)若AB=3,BC=4,当四边形BEDF是菱形时,求EF的长. 23.如图,边长为1的正方形ABCD中,点E、F分别在边CD、AD上,连接BE、BF、EF,且有AF+CE=EF. (1)求(AF+1)(CE+1)的值; (2)探究∠EBF的度数是否为定值,并说明理由. 24.以△ABC的各边,在边BC的同侧分别作三个正方形.他们分别是正方形ABDI,BCFE,ACHG,试探究: (1)如图中四边形ADEG是什么四边形?并说明理由. (2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEG是矩形? (3)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEG是正方形? 参考答案 一.选择题 1. A. 2. D. 3. A. 4. D. 5. A. 6. D. 7. B. 8. B. 9. B. 10. D. 二.填空题 11. 17. 12.(,﹣). 13. 8cm2. 14. 102°. 15. 16. 16.4. 17. . 18. 2 19. 30°. 20. 7. 三.解答题 21.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴EB=ED,AB∥CD, ∴∠EBP=∠EDQ, 在△PBE和△QDE中,, ∴△PBE≌△QDE(ASA); (2)证明:如图所示: ∵△PBE≌△QDE, ∴EP=EQ, 同理:△BME≌△DNE(ASA), ∴EM=EN, ∴四边形PMQN是平行四边形, ∵PQ⊥MN, ∴四边形PMQN是菱形. 22.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,O是BD的中点, ∴∠A=90°,AD=BC=4,AB∥DC,OB=OD, ∴∠OBE=∠ODF, 在△BOE和△DOF中,, ∴△BOE≌△DOF(ASA), ∴EO=FO, ∴四边形BEDF是平行四边形; (2)解:∵四边形BEDF为菱形, ∴BE=DE DB⊥EF, ∵AB=3,BC=4, 设BE=DE=x,则AE=4﹣x, 在Rt△ADE中,32+(4﹣x)2=x2, ∴x=, ∴DE=, ∵BD==5, ∴DO=BO=BD=, ∴OE===, ∴EF=2OE=. 23.解:(1)设CE=x,AF=y,则DE=1﹣x,DF=1﹣y, ∵AF+CE=EF, ∴EF=x+y. ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠D=90°, ∴EF2=DE2+DF2,即(x+y)2=(1﹣x)2+(1﹣y)2, ∴xy+x+y=1, ∴(AF+1)(CE+1)=(y+1)(x+1)=xy+x+y+1=1+1=2; (2)∠EBF的度数为定值,理由如下: 如图,将△ABF绕点B顺时针旋转90°得到△BCM,此时AB与CB重合. 由旋转,可得:AB=CB,BF=BM,AF=CM,∠ABF=∠CBM,∠BCM=∠A=90°, ∴∠BCM+∠BCD=90°+90°=180°, ∴点M、C、E在同一条直线上. ∵AF+CE=EF,CM+CE=EM, ∴EF=EM. 在△BEF和△BEM中,, ∴△BEF≌△BEM(SSS), ∴∠EBF=∠EBM=∠CBM+∠CBE=∠ABF+∠CBE, 又∵∠ABC=90°,∠ABC=∠EBF+∠ABF+∠CBE, ∴∠EBF=∠ABC=45°. 24.解:(1)图中四边形ADEG是平行四边形.理由如下: ∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形, ∴AC=AG,AB=BD,BC=BE,∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°. ∴∠ABC=∠EBD(同为∠EBA的余角). 在△BDE和△BAC中, , ∴△BDE≌△BAC(SAS), ∴DE=AC=AG,∠BAC=∠BDE. ∵AD是正方形ABDI的对角线, ∴∠BDA=∠BAD=45°. ∵∠EDA=∠BDE﹣∠BDA=∠BDE﹣45°, ∠DAG=360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD =360°﹣90°﹣∠BAC﹣45° =225°﹣∠BAC ∴∠EDA+∠DAG=∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC=180° ∴DE∥AG, ∴四边形ADEG是平行四边形(一组对边平行且相等). (2)当四边形ADEG是矩形时,∠DAG=90°. 则∠BAC=360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC=360°﹣45°﹣90°﹣90°=135°, 即当∠BAC=135°时,平行四边形ADEG是矩形; (3)当四边形ADEG是正方形时,∠DAG=90°,且AG=AD. 由(2)知,当∠DAG=90°时,∠BAC=135°. ∵四边形ABDI是正方形, ∴AD=AB. 又∵四边形ACHG是正方形, ∴AC=AG, ∴AC=AB. ∴当∠BAC=135°且AC=AB时,四边形ADEG是正方形. 展开更多...... 收起↑ 资源预览