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第5章 二次函数
5.4 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程的关系
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二次函数与相应的一元二次方程的关系
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二次函数与x轴的交点与一元二次方程根的关系
CONTENTS
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新知导入
情景导入
打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，某次球的飞行高度 y（单位：米）与飞行距离 x（单位：百米）满足二次函数 ：y＝ －5x2 ＋ 20x，这个球飞行的水平距离最远是多少米？
y(米）
x(百米）
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1
2
3
A
o
10
CONTENTS
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课程讲授
二次函数与相应的一元二次方程的关系
问题1 请画出二次函数y=x2-2x-3的图像，并指出图像与x轴的交点.
解：二次函数y=x2-2x-3的图像如图所示.
图像与x轴两个交点为
M(－1，0)，N（3，0).
由上可知，
当x=-1时，y=0，即x2-2x-3=0；
所以x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根；
同理，当x=3时，y=0，即x2-2x-3=0.
所以x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的另一个根.
你发现了什么？
二次函数与相应的一元二次方程的关系
归 纳：
二次函数y＝ax2 ＋ bx ＋c的图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2 ＋ bx ＋c＝0的根.
所以二次函数与x轴的交点问题可以转化为一元二次方程去解决.
例1 不画图像，求二次函数y=x2＋4x-5的图像与x轴的交点坐标.
解：令y=0，即x2＋4x-5＝0，
解得，x1＝ －5 ，x2 ＝ 1，
∴二次函数y＝x2＋4x－5的图像与x轴的交点坐标为：（－5，0），（1，0）
二次函数与相应的一元二次方程的关系
练一练： 方程x2＋x-6＝0的根是 ；则函数
y=x2＋x-6的图像与x轴的交点有 个，其坐标是 ．
二次函数与相应的一元二次方程的关系
x1＝2，x2＝-3
2
（2，0），（-3，0）
二次函数与x轴的交点与一元二次方程根的关系
问题2 观察下列二次函数的图像，分别说出一元二次方程
x2-4x-6＝0，-x2-6x+9＝0和x2-2x+3＝0的根的情况.
2个交点
1个交点
没有交点
2个不相等的实数根
2个相等的实数根
没有实数根
图像与x轴的交点个数
一元二次方程根的个数
二次函数与x轴的交点与一元二次方程根的关系
{69CF1AB2-1976-4502-BF36-3FF5EA218861} 二次函数y＝ax2 ＋ bx ＋c的图像与x轴的交点
一元二次方程ax2 ＋ bx ＋c=0的根的情况
b2-4ac的取值情况
有两个交点
有一个交点
没有交点
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
二次函数与x轴的交点与一元二次方程根的关系
b2－4ac＞0
二次函数y=ax2 ＋ bx ＋ c
与x轴有两个交点
有两个不等的实数根
一元二次方程ax2 ＋ bx＋c＝0
b2－4ac=0
二次函数y=ax2 ＋ bx ＋ c
与x轴有一个交点
有两个相等的实数根
一元二次方程ax2 ＋ bx＋c＝0
b2－4ac<0
二次函数y=ax2 ＋ bx ＋ c
与x轴没有交点
没有实数根
一元二次方程ax2 ＋ bx＋c＝0
例2 不画图像，判断二次函数y＝-x2+5x-8的图像与x轴是否有公共点.
解：因为一元二次方程-x2+5x-8=0的根的判别式
b2-4ac=52-4×（-1）×（-8）<0，
所以方程-x2+5x-8=0没有实数根.
二次函数y＝-x2+5x-8的图像与x轴没有公共点
二次函数与x轴的交点与一元二次方程根的关系
由顶点式确定二次函数的表达式
练一练：下列函数的图像中，与x轴没有公共点的是（ ）
A.y=x2-2
B.y=x2-x
C.y=-x2+6x-9
D.y=x2-x+2
D
CONTENTS
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随堂练习
1.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图像与x轴的一个交点坐标为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2-3x+m＝0的两实数根是( 　　)
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
B
2.二次函数y=x2-2x+1的图像与x轴的交点情况是( 　　)
A．有一个交点 B．有两个交点
C．没有交点 D．无法确定
A
3.若函数y=x2-2x+b的图像与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(　　)
A．b＜1且b≠0 B．b＞1
C．0＜b＜1 D．b＜1
A
解析： 因为函数y=x2-2x+b的图像与坐标轴有三个交点，
所以(－2)2－4b＞0，
解得b＜1，
而b≠0，则b＜1且b≠0.故选A.
4.若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是________．
6.已知关于x的函数y＝(m2－1)x2－(2m＋2)x＋2的图像与x轴只有一个公共点，求m的值.
解：①当m2－1＝0，且2m＋2≠0，即m＝1时，该函数是一次函数，其图像与x轴只有一个公共点；
②当m2－1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，其图像与x轴只有一个公共点，则b2－4ac＝[－(2m＋2)]2－8(m2－1)＝0，解得m＝3或m＝－1(舍去)．
综上所述，m的值是1或3.
CONTENTS
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课堂小结
二次函数与
一元二次方程
二次函数与相应的一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2 ＋ bx ＋c的图像与x轴有两个的交点(x1,0),(x2,0)(x1≠x2)，那么一元二次方程ax2 ＋ bx ＋c＝0有两个不相等的实数根x＝x1，x＝x2.
二次函数与x轴的交点与一元二次方程根的关系
若一元二次方程ax2 ＋ bx ＋c＝0的两个实数根是x1、x2，那么二次函数y＝ax2 ＋ bx ＋c的图像与x轴的两个交点的坐标为A(x1,0)，B(x2,0).
b2－4ac＞0
b2－4ac=0
b2－4ac<0
函数y=ax2 ＋ bx ＋ c与x轴有两个交点
一元二次方程ax2 ＋ bx＋c＝0有两个不相等的实数根
函数y=ax2 ＋ bx ＋ c与x轴有一个交点
一元二次方程ax2 ＋ bx＋c＝0有两个相等的实数根
函数y=ax2 ＋ bx ＋ c与x轴没有交点
一元二次方程ax2 ＋ bx＋c＝0没有实数根

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