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第6章 图形的相似
6.5 相似三角形的性质
1
相似三角形对应线段的比等于相似比
2
相似三角形周长的比等于相似比
3
相似三角形面积的比等于相似比的平方
CONTENTS
1
新知导入
试一试：根据所学知识，按要求完成下列内容.
B′
A′
C′
C
A
B
（1）△ABC和△A′B′C′的相似比是_______；
（2）△ABC的面积是_______；
△A′B′C′的面积是_______.
1:2
3
12
CONTENTS
2
课程讲授
相似三角形对应线段的比等于相似比
问题1 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高的比是多少？试着证明你的结论.
B
A
C
C′
A′
B′
如图，分别作出 △ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
D
D'
△ABC 和 △A' B' C' 对应高的比是k
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，△ABC ∽△A′B′C′， 相似比为k，AD 和 A' D'是 △ABC 和 △A' B' C' 的高．
求证：AD 和 A' D'的比是k.
B
A
C
D
C′
A′
B′
D'
证明：∵△ABC ∽△A′B′C′
∴∠B＝∠B' ，
又∵△ABD和△A'B'D'都是直角三角形，
∴△ABD ∽△A'B'D'，
∴ = =k.
A' D'
AD
AB
A'B'
相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形对应线段的比等于相似比
问题2 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，类比对应高的关系，说说它们对应中线、对应角平分线的比是多少？
B
A
C
C′
A′
B′
对应中线、角平分线的比也等于相似比k.
相似三角形对应线段的比：
相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比.
相似三角形对应线段的比等于相似比
例1 如图，AF是△ABC的高，点D、E分别在AB、AC上，且DE//BC，DE交AF于点G.设DE=6，BC= 10，GF=5，求点A到DE、BC的距离.
相似三角形对应线段的比等于相似比
D
A
E
F
C
B
G
解：由DE // BC，∠AFB= 90°，得
∠AGD= 90°，即AG⊥DE.
于是，AG、AF的长分别为点A到DE、BC的距离.
在△ADE和△ABC中，∵DE//BC，
∴ △ADE∽△ABC.
∴ (相似三角形对应线段的比等于相似比)，
即 .
由此，得AG= 7.5，AF = AG+5= 12.5，
即点A到DE、BC的距离分别为7.5、12. 5.
练一练： 若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应角平分线的比为（ ）
A.3∶2 B.3∶5 C.9∶4 D.4∶9
相似三角形对应线段的比等于相似比
A
相似三角形周长的比等于相似比
问题3 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它们的周长比是多少？
B
A
C
C′
A′
B′
相似三角形的周长比等于相似比k.
相似三角形周长的比等于相似比
问题4 根据所学知识，试着证明你的猜想.
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，△ABC ∽△A′B′C′， 相似比为k．
求证：△ABC和△A'B'C'的周长比是k.
B
A
C
C′
A′
B′
证明：∵△ABC ∽△A′B′C′， 相似比为k，
B'C'
AB
A'B'
BC
=
=
C'A'
CA
= k
∴AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
∴
∴
AB+BC +CA
A'B'+B'C'+C'A'
=
kA'B'+kB'C'+kC'A'
A'B'+B'C'+C'A'
= k
归 纳：
相似三角形周长的比等于相似比．
类似地，我们还可以得到：
相似多边形周长的比等于相似比．
相似三角形周长的比等于相似比
练一练： 若△ABC∽△A′B′C′，且 ，△ABC的周长为15 cm，则△A′B′C′的周长为（ ）
A.18 cm B.20 cm
C. cm D. cm

相似三角形周长的比等于相似比
B
相似三角形面积的比等于相似比的平方
问题5 我们已经知道相似三角形对应的高等于相似比，那么相似三角形的面积比等于多少？
B
A
C
C′
A′
B′
D
D'
3
12
相似三角形面积的比等于相似比的平方
由前面的结论，我们有
B
A
C
D
C′
A′
B′
D'
=k·k
=k2
＝
归 纳：
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
类似地，我们还可以得到：
相似多边形面积的比等于相似比的平方．
相似三角形面积的比等于相似比的平方
例2 在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长和面积．
相似三角形面积的比等于相似比的平方
解：设实际三角形地块A′B′C′，那么△ABC∽△A′B′C′，且相似比
∴
∴△A′B′C′的周长＝12×500=6 000(cm)=60(m)，
△A′B′C′的面积＝6×5002=1 500 000(cm2)=150(m2).
答：这个三角形地块的实际周长为60m，面积为150m2.
练一练： 已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（ ）
A.1∶1 B.1∶3
C.1∶6 D.1∶9

D
相似三角形面积的比等于相似比的平方
CONTENTS
3
随堂练习
1.将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（ ）
A.9倍 B.3倍 C.81倍 D.18倍
B
2.两个相似三角形的最短边长分别为5 cm和3 cm，它们的周长之差为12 cm，那么大三角形的周长为（ ）
A.14 cm B.16 cm C.18 cm D.30 cm
D
3.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（ ）
A.
B.
C.
D.
D
4.已知△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD=4 cm，C′D′=10 cm，AE是△ABC的一条高，AE=4.8 cm，求△A′B′C′中对应高A′E′的长.
解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，且AE，A′E′是对应的高线，
∴A′E′=12 cm.
= ，
∴
AE
CD
A′E′
C′D′
10
即
4.8
4
= ，
A′E′
5.已知△ABC∽△DEF,△ABC和△DEF的周长分别为20 cm和25 cm，且BC=5 cm,DF=4 cm，求EF和AC的长.
解：∵相似三角形周长的比等于相似比，
∴ = ，
EF
25
BC
20
∴EF= ×BC= ×5= （cm）.
4
5
4
5
4
25
同理可得，
= ，
EF
20
25
DF
∴EF= ×DF= ×4= （cm）.
5
4
5
4
5
16
6.如图，在平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2.
（1）求△AEF与△CDF的周长比；
（2）如果S△AEF=6 cm2，求S△CDF的值.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴△CDF∽△AEF.
∵AE∶EB=1∶2，
∴AE∶AB=1∶3,
∴AE∶CD=1∶3,
∴△AEF与△CDF的周长比为1∶3.
6.如图，在平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2.
（1）求△AEF与△CDF的周长比；
（2）如果S△AEF=6 cm2，求S△CDF的值.
∴S△CDF=9S△AEF=54 cm2.
解：（2）∵△CDF∽△AEF，
AE∶CD=1∶3,
∴S△AEF∶S△CDF=1∶9，
CONTENTS
4
课堂小结
相似三角形的性质
对应线段的比
相似三角形周长的比等于相似比.
相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比.
周长的比
面积的比
相似多边形周长的比等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
相似多边形面积的比等于相似比的平方.

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