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第7章 锐角三角函数
7.1 正 切
1
正切的定义
2
用计算器求正切值
CONTENTS
1
新知导入
情景导入
CONTENTS
2
课程讲授
A
A'
（1）
（2）
正切的定义
问题1 下列图中的两个台阶哪个更陡？你是如何判断的？
倾斜角越大——台阶越____
陡
∠A' ＞ ∠A
正切的定义
问题2 下图中，哪个台阶更陡？你是如何判断的？
（1）
（2）
（3）
台阶的陡峭程度既和台阶的倾斜角有关，也和台阶的垂直高度、水平宽度有关.
正切的定义
问题3 比较图中的两个台阶，哪个台阶更陡？你有什么发现？
发 现：
1.倾斜角（坡角）∠A越大—台阶越陡
2.垂直高度与水平宽度的比值越大—台阶越陡
（可通过测量BC与AC的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度）
（测量倾斜角∠A的度数）
正切的定义
正切的定义
∵∠A=∠A，∠ACB = ∠AC1B1=∠AC2B2，
∴ Rt△ABC ∽ Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2 .
由相似三角形的性质，可得
A
B
B1
B2
C
C1
C2
也就是说，如果直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与邻边的比值也确定.
问题1 一般地，如果锐角∠A的大小确定，我们可以作出无数个
以∠A为一个锐角的直角三角形（如图），那么图中：
… 成立吗？为什么？
正切的定义
定 义：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
我们把锐角∠A的对边a与邻边b的比叫
做∠A的正切（tangent)，记作 tanA，即

tanA=
tanB=___
对边a
邻边b
斜边c
正切的定义
提 示：
?
1.初中阶段，正切是直角三角形中定义的，∠A是一个锐角.
tanA > 0 ，它表示一个比值且没有单位
2.∠BAC的正切表示为tan∠BAC
∠1的正切表示为：tan∠1
∠α的正切表示为：tanα
3.tanA不是tan ?A，tanA是一个整体，表示锐角∠A的正切.
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，求tanA．
解：在Rt△ABC中，
正切的定义
C
A
B
根据勾股定理，得
在直角三角形中，已知任意两边的长度，可求两锐角的正切值.
例2 如图，在等边△ABC中，CD⊥AB，垂足为D. 求tanA．
正切的定义
解：由题意知，
A
C
D
在Rt△ADC中，
由勾股定理，得
思考：
1. tan60°= _____，
2. tan30°= _____，
3. tan45°=_____.
1
练一练： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ）
A.3 B. C. D.
A
正切的定义
用计算器求正切值
问题2 如图，蚂蚁从点O沿水平方向向右前进1个单位长度到点C，再沿垂直方向上升了约2.14个单位长度交65°线于点P，你能求出tan65°的近似值吗？
tan65°= =2.14.
P
用计算器求正切值
问题3 请用同样的方法，写出下表中各角正切的近似值.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}α
tanα
10°

20°

30°

45°

55°

65°
2.14
当锐角α越来越大时，α的正切值有什么变化?
当角在0°～90°时，角的
正切值随着角的增大而增大.
0.18
0.36
0.58
1
1.43
例3 用计算器求下列各值(精确到0.01):
(1) tan 65° ； (2) tan22°18′.
用计算器求正切值
解：（1）依次按键 ，
显示结果为2.144506921，即tan65°≈2.14.
（2）依次按键 ，
显示结果为0.410129889，即tan22°18′≈0.41.
例4 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，AC＝10，求BC的长(精确到0.01)．
用计算器求正切值
解：由题意知，tanA= ，
则BC=AC?tanA=10×tan40°，
用计算器计算，得BC≈8.39.
练一练： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，AC＝4，求BC的长(精确到0.01)．

用计算器求正切值
解：由题意知，tanB= ，
则
用计算器计算，得BC ≈ 8.58.
CONTENTS
3
随堂练习
1.如图，P（12，a）在反比例函数y= 的图像上，PH⊥x轴于点H，则tan∠POH的值为__________.
x
60
2.∠α和∠β如图所示，tanα与tanβ的大小关系是___________.
tanα＜tanβ
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=37°，则BC的长约为___________.（结果保留整数）
4
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若BC=2，AB=3，求tan∠BCD的值.
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°.
∵∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠A.
在Rt△ABC中，
∴tanA= = ，
∴tan∠BCD=tanA= .
CONTENTS
4
课堂小结
正 切
正切的概念
利用计算器求锐角的正切值
性 质
当角在0°～90°时，角的正切值随着角的增大而增大.
在Rt△ABC中，∠C=90°.我们把锐角∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切. tanA=

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