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第7章 锐角三角函数
7.2 正弦、余弦
1
正弦、余弦的定义
2
三角函数的概念及其增减性
3
利用计算器求正弦值或余弦值
CONTENTS
1
新知导入
情景导入
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 (∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
30°
在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半，所以水管长度为70m.
CONTENTS
2
课程讲授
E
A
B
D
C
正弦、余弦的定义
问题1.1 如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的位置沿垂直方向上升高了5m． 如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的位置沿垂直方向上升高了多少？行走了a m呢？
由△ABC ∽ △ADE，得 ，
即 ，即 ，
解得DE= m.
所以如果小明沿着该坡道行走了20 m，那么他的位置沿垂直方向上升了 m.
可求出∠A的对边与斜边之比为＿＿＿.
正弦、余弦的定义
同理可知，所以如果小明沿着该坡道行走了a m，那么他的位置沿垂直方向上升了
m.
E
A
B
D
C
此时，可求出∠A的对边与斜边之比为＿＿＿.
E
A
B
D
C
正切的定义
问题1.2 在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别前进了多少？
在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别前进了 m和 m.
你有何发现？
此时，∠A的邻边与斜边之比为＿＿＿.
正弦、余弦的定义
归 纳：
当直角三角形的一个锐角的大小确定时， 它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值也就确定.
定 义：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫
做∠A的正弦（sine），记作sinA，即

对边a
邻边b
斜边c
正弦、余弦的定义
我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦（cosine），记作cosA.
提 示：
?
1.同正切类似，正弦、余弦的概念是在直角三角形中针对
锐角而引入的，其大小只与角的大小有关.
2.sinA和cos A是一个比值，它们的实质是两条线段的比，没有单位.
3.不在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以有
值如下结论：0正弦、余弦的定义
4.“sin A”与“cos A”都是整体符号，记号中省去符号“∠”；
对于用三个大写字母表示的角，如∠ADB，其正弦应写成
“sin∠ADB”，不能写成“sin ADB”.
例1 如图，在等边三角形ABC中，求cosB．
解：在过点A作AD⊥BC，垂足为D.
由题意知，
正弦、余弦的定义
A
B
C
D
在Rt△ABD中，
由例1可知，cos60°= _____，
思考：
sin60°= _____， sin30°= _____，cos30°=_____.
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，求sinA，cosA，sinB，cosB的值.
A
B
C
解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得
根据正弦、余弦的定义，得
正弦、余弦的定义
练一练： 如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值是（ ）
A. B.
C. D.
A
正弦、余弦的定义
三角函数的概念及其增减性
定 义：
在Rt△ABC中， 、 、 的值都随∠A
的大小变化而变化，都随∠A的大小确定而唯
一确定．∠A的正弦、余弦和正切都是∠A的
三角函数（trigonometric function）．
对边a
邻边b
斜边c
三角函数的概念及其增减性
问题2 如图，当一个点从原点O出发，沿着15°线移动了1个单位长度到点P时，这个点在垂直方向上上升了约0.26个单位长度，在水平方向向前进了约0.97个单位长度，于是，可知 sin15°≈0.26 ， cos15°≈0.97 ．
你能写出sin75°、cos75°的近似值吗？
sin75°≈0.97，cos75°≈0.26.
sinθ随锐角θ的增大而增大；
cosθ随锐角θ的增大而减少．
随着锐角θ的增大，sinθ与cosθ的值怎样变化？
练一练： 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是（ ）
A.sinA= B.cosA=
C.tanA= D.tanA=

A
三角函数的概念及其增减性
例3 用计算器求下列正弦值或余弦值(精确到0.01):
(1) sin 75° ； (2) cos 75°； (3) sin23°13′20'′.
利用计算器求正弦值或余弦值
解：（1）依次按键 ，
显示结果为0.965 925 826 3，即sin 75°≈0.97.
sin
sin-1 「D」
7
5
)
x
=
s?D
y
（2）依次按键 ，
显示结果为0.258 819 045 1，即cos 75°≈0.26.
cos
cos-1 「E」
7
5
)
x
=
s?D
y
（3）依次按键 ，
显示结果为0.394 298 367 5，即sin23°13′20'′≈0.39.
sin
sin-1 「D」
2
3
)
x
=
1
3
°' ''
FAC「B」
°' ''
FAC「B」
2
0
°' ''
FAC「B」
例4 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，BC＝6，求AB的长(精确到0.01)．
解：由题意知，sinA= ，
则
用计算器计算，得AB ≈ 23.18.
利用计算器求正弦值或余弦值
练一练： 用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是( )
A.
B.
C.
D.

A
利用计算器求正弦值或余弦值
CONTENTS
3
随堂练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（ ）
A. B.
C. D.
A
2.如图，在Rt△ABC中，锐角∠A的对边和邻边同时扩大100倍，sinA的值（ ）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
C
A
B
C
┌
3.已知sinα=0.3090，则α约为( )
A.17° B.18° C.19° D.20°
B
4.利用计算器求值：（保留4位小数）
(1)sin67°38′24″≈___________；
(2)sin23°5′+cos66°55′≈___________；
(3)289.4×sin47°34′25″≈___________；
(4)sin18°+cos55°-tan59°≈___________.
0.9248
0.7841
213.6191
-0.7817
∴sinC= = .
5.如图，在△ABC中，AB=5，BC=13，AD是BC边上的高，AD=4，求CD的长和sinC的值.
解：∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵AB=5，AD=4，∠ADB=90°，
∵BC=13，
∴CD=BC-BD=10.
∵AD=4，∠ADC=90°，
∴BD= =3.
∴AC= = ，
CONTENTS
4
课堂小结
正弦、余弦
概 念
利用计算器求正弦值或余弦值
性 质
sinθ随锐角θ的增大而增大；
cosθ随锐角θ的增大而减少．
在Rt△ABC中，∠C=90°.我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦.
正 弦
余 弦
在Rt△ABC中，∠C=90°.我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦.

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