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求函数值域的14种方法大盘点
观察法
方法
通过观察如，或等函数的定义域及性质，结合函数的解析式，应用不等式性质，可直接求得函数的值域。
步骤
第1步：观察函数中的特殊函数；
第2步：利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.
函数
的最大值是（　　）
A.
B.
C.
D.
【解析】第一步，观察函数中的特殊函数
第二步，利用二次函数的最值和不等式得到函数的值域：
，所以的最大值是，选D.
函数的值域为(
)。
A、
B、
C、
D、
【解析】，故，∴值域为，选D。
【小结】算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。
求函数的值域.
【解析】∵2x＞0，∴0≤8﹣2x＜8．∴0≤＜2．
故函数的值域是
单调性法
方法
单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．
步骤
第1步：确定函数的定义域；
第2步：求出函数的单调区间；
第3步：确定函数的值域或最值.
求函数的值域。
【解析】，，∴都是增函数，故是减函数，因此当时，，又∵，∴。
求函数的值域.
【解析】第1步，将函数化成基本初等函数的形式：
令，所以
第2步，讨论函数的单调性：
因为；
所以在上是减函数，在上是增函数；
第3步，讨论函数的单调性：
又因为在定义域上是减函数；
所以在上是增函数，在上是减函数；
第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域：
所以，，所以函数的值域为。
【小结】本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.
求函数的值域
【解析】第1步，将函数化成基本初等函数的形式：
令，所以
第2步，讨论函数的单调性：
因为；
所以在上是增函数，在上是减函数；
第3步，讨论函数的单调性：
又因为在定义域上是减函数；
所以在上是减函数，在上是增函数；
第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域：
所以，所以函数的值域为。
【小结】
（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域.
（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.
（3）本题都是增函数，利用到了复合函数的单调性.
求函数的值域.
【解析】由，解得，在此定义域内函数是单调递减，所以当时，函数取得最小值，，所以函数的值域是
函数f（x）=2+log3x（1≤x≤9），函数g（x）=f2（x）+f（x2），求g（x）值域．
【解析】由已知函数f（x）的定义域为x∈{x|1≤x≤9}，则g（x）的定义域满足，
所以1≤x≤3，所以g（x）的定义域为{x||1≤x≤3}；
，g（x）在x∈[1，3]单调递增，
则g（x）的最大值为g（x）max=g（3）=13，g（x）的最小值为g（x）min=g（1）=6．
故g（x）的值域为[6，13]．
已知，且满足，则函数的值域为(
)。
A、
B、
C、
D、
【解析】∵，则原式与同解，解之得，
又，将代入中，得且，
函数在区间上连续且单调递增，故只需比较边界的大小，
当时，；当时，，∴函数的值域为，选A
函数对于任意实数、都有，且当时，，，求函数在区间上的值域。
【解析】设，∵当时，,∴，
。∴
∴为增函数
令
令
∴为奇函数，∴
∴在区间上的值域为[-4,2]
【小结】抽象函数值域的求法。
奇偶性法
方法
适用于一些解析式非常复杂，但是经过整理后有一定规律的函数，或是抽象函数；在求函数最值的问题中，可以利用奇偶性直接得出答案；
步骤
第1步：凑出奇或偶的代数式
第2步：根据奇偶性性质解题
若都是奇函数，在上有最大值5，则在上有（
）
A．最小值
B．最大值
C．最小值
D．最大值
【解析】、为奇函数，∴为奇函数．
又有最大值5，　∴－2在（0，＋∞）上有最大值3．
∴－2在上有最小值－3，∴在上有最小值－1，选C
设函数的最大值为，最小值为，则_____.
【解析】2
设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.
【解析】显然函数f(x)的定义域为R,f(x)==1+,
设g(x)=,则g(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数,
由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,
∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.
已知函数和均为奇函数，
在区间上有最大值5，那么在上的最小值为
（
）
A.
－5
B.
－3
C.
－1
D.
5
【解析】令，所以为奇函数，
时，，，又时，，，，故选C.
【小结】本题主要考查函数的奇偶性的应用，由于函数和
g(x)均为奇函数，则也为奇函数，构造函数,则为奇函数，借助在上的最大值得出的最大值，由于奇函数的图象关于原点对称，所以在关于原点对称的单调区间上的最大值与最小值之和为零，得出在上的最小值，进而得出在上的最小值.
已知在区间上有最大值5，那么在上的最小值为
【解析】因为中为奇函数关于对称,
故关于对称,又在区间上有最大值5,
故在上的最小值为
已知函数和均为奇函数，在区间上有最大值5，那么在上的最小值为
【解析】∵和均为奇函数，∴，∴在上的最小值是，故选B．
已知函数和均为奇函数,
在区间上有最大值,那么在上的最小值为
【解析】由得，
令，
则，∴为奇函数．
∵在区间(0,+∞)上有最大值5，
∴，∴，即．
∵是奇函数，∴，∴．故选B
函数x最大值为Ｍ，最小值为ｍ，Ｍ＋ｍ＝____
【解析】,为奇函数，∴图象关于点对称，
最大值对应点与最小值对应点关于点对称，∴，即Ｍ＋ｍ＝2
配方法
方法
型如()型或可转化为二次型的函数，用此种方法，注意自变量的范围。
步骤
第1步：配方；
第2步：借助图像或利用二次函数的顶点坐标公式，确定函数的最值或边界点的函数值；
第3步：结合二次函数的图像与性质，求得值域.
小结
若二次函数图像的顶点在定义域对应的区间内，则顶点的纵坐标一定是函数的一个最值，此外,若定义域为开区间，则函数可能没有最值.
当1≤x≤2时，求函数y＝﹣x2﹣x+1值域．
【分析】由二次函数性质知f（x）当1≤x≤2时，函数y单调递减，结合二次函数的性质可求.
【解析】，对称轴为，
故当1≤x≤2时，函数y单调递减，
ymax＝﹣1﹣1+1＝﹣1，ymin＝﹣4﹣2+1＝﹣5，
故函数y＝﹣x2﹣x+1值域为[﹣5，﹣1]．
已知函数，求函数的值域．
【分析】本题采用配方法求值域．
【解析】y＝[f（x）]＝f2（x）﹣4f（x）+1
＝[f（x）﹣2]2﹣3
＝（x2﹣4x+1﹣2）2﹣3
＝（x2﹣4x﹣1）2﹣3
＝[（x﹣2）2﹣3]2﹣3≥﹣3
∴函数的值域为[﹣3，+∞）
求函数在，的值域．
【分析】因不知道a是否为0，所以分a＝0和a≠0两种情况讨论，又因对称轴把区间分成两部分，再分别求出值域取并集．
【解析】分a＝0和a≠0两种情况讨论，
①当a＝0时，f（x）＝1，
②当a≠0时，f（x）＝a2x2﹣2a2x+1＝a2（x﹣1）2+1﹣a2，
对称轴x＝1把区间[﹣1，2]分成[﹣1，1]，（1，2]两部分，
在[﹣1，1]上函数f（x）是减函数，
∴f（﹣1）最大为（3a2+1），f（1）最小为（1﹣a2），
在（1，2]上函数f（x）是增函数，f（2）最大，而f（2）＜f（﹣1），
综上所述，函数f（x）＝a2x2﹣2a2x+1在[﹣1，2]的值域为：[1﹣a2，3a2+1]．
定义在上的函数的值域是__________．
【解析】第一步，将函数配方成：
由
+10+241
第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域：
因为,
所以1
即函数的值域是
函数的定义域是，值域为，求的范围
【解析】因二次函数的对称轴为,且时,函数值,当
时,,因此当时,
.故当
函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x，当x∈[1，4]时，求h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)值域
【解析】(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2]
已知－1≤x≤2，求函数y＝f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的值域．
【解析】f(x)＝3＋2·3x+1－9x＝－(3x)2＋6·3x＋3.
令3x＝t，则y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12.
∵－1≤x≤2，∴
1/3
≤t≤9.
∴当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12；
当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24，
即f(x)的最大值为12，最小值为－24.∴函数f(x)的值域为[－24,12]．
已知x∈[－，]，求求函数y＝－3（1-cos2x）－4cosx＋4的值域．
【分析】将函数化简为，然后设，并且根据上一问得到的范围，写成关于的二次函数，根据二次函数求函数的最值．
【解析】原函数化为y＝3cos2x－4cosx＋1，即，
设，，
当时函数取得最小值，当时，函数取得最大值．
故y的值域为[－，]．
已知函数．
（1）求函数的定义域和值域；
（2）设（为实数），求在时的最大值；
（3）对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围．
【解析】由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为
又由≥0
得值域为
（2）因为
令，则
∴()+t=
由题意知g(a)即为函数的最大值
注意到直线是抛物线的对称轴
因为a<0时,函数y=m(t),
的图象是开口向下的抛物线的一段
①若，即则
②若，即则
③若，即则
综上有
（3）易得，由对恒成立，
即要使恒成立，
，令，对所有的成立，
只需
求出m的取值范围是
分离常数法
方法
1、型如时，可化简成的格式
2、型如的函数，可化简成格式
步骤
第1步：将函数关系式分子中含x的项分离，即使分子不含x项；
第2步：确定分离后的函数关系式的单调性；
第3步：借助函数的单调性，求的函数的值域.
小结
若分离较为困难，则可将分子或分母设为一个整体，用一个字母代替及换元再分离常数.
（1）求函数的值域．
（2）已知函数，求的值域．
（1）【分析】本题宜用分离常数法求值域，将函数可以变为再由
函数的单调性求值域．
【解析】由题函数的定义域为
故函数的值域为
（2）【分析】，化简后求值域．
【解析】，
又，，即．
则的值域为．
（1）求下列函数的值域：.
（2）求函数的值域．
（1）【分析】利用分离变量法求解．
【解析】y2，
∵x≥1，2＜22，
∴y（x≥1）的值域为（2，]．
（2）【分析】对函数化简成y（1）的形式，根据函数的性质求得函数y的范围．
【解析】y?（1），
∵0，∴y，即函数的值域为（﹣∞，）∪（，+∞）．
（1）求下列函数的值域：．
（2）求函数的值域．
（1）【分析】利用分离常数法，可将原函数的答案式化为y，进而根据0，可得y，进而得到函数的值域．
【解析】∵y，
∵0，故y，
故函数y的值域为：{y|y}，
（2）【分析】用分离常数法化简函数式为y＝5，考虑分母不为0，即求出函数值域．
【解析】∵y＝5，
又x2﹣1≠0，即x≠±1，∴y≠5且y；
∴函数的值域是{y|y≠5且y}．
（1）求函数的值域．
（2）求函数的值域．
（1）【分析】本题考查二次了二次函数答案式的配方，求值域，分离常法求函数的值域．
【解析】，
∵（x﹣1）2+2≥2
∴，∴，
所以函数的值域为．
（2）【分析】本题考查了采用分离常数法求函数的值域，分离常数后注意分母的取值范围．
【解析】∵，又x2+3≥3，
∴，即．∴函数的值域是．
换元法
方法
此种方法适用于求根式形函数或形式较为复杂的函数的值域
步骤
第1步：将函数关系式中的部分项视为一个整体用新元表示；
第2步：换元转化为基本函数，如二次函数，一次函数等，
第3步：借助基本函数的单调性，求得函数的值域
小结
换元后要注意新元的取值范围，换元法求函数值域，其实质是等价转换的思想方法
求函数的值域：
【分析】利用换元法，需要注意的取值范围．
【解析】换元法：令，，
则，当时取等号，
故其值域为，，
求下列函数的值域．
（1）
（2）
（3）．
（1）【分析】函数y＝2x﹣2可得函数的定义域为．令，解得．转化为关于t的二次函数的单调性即可得出．
【解析】函数y＝2x﹣2可得函数的定义域为．
令，解得．
∴y＝f（t）2+tf（0），
∴函数y＝2x﹣2的值域为．
（2）【分析】由y＝x+5得：y﹣x﹣5，平方后整理得2x2+（12﹣2y）x+y2﹣10y+21＝0，根据判别式法，可得△＝（12﹣2y）2﹣8（y2﹣10y+21）≥0，解得y的范围即为函数的值域．
【解析】由y＝x+5得：y﹣x﹣5，
故x2+y2+25﹣2xy+10x﹣10y＝﹣x2﹣2x+4，
即2x2+（12﹣2y）x+y2﹣10y+21＝0，
由△＝（12﹣2y）2﹣8（y2﹣10y+21）≥0得：y2﹣8y+6≤0，
解得：y∈[4，4]，
故函数y＝x+5的值域为[4，4]．
（3）【分析】换元法，设，则x＝1﹣t2，化为关于t函数，配方求出值域．
【解析】换元法（代数换元法）：
设，则x＝1﹣t2，
∴原函数可化为y＝1﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+5（t≥0），∴y≤5，
∴原函数值域为（﹣∞，5]．
求下列函数的值域．
（1）
（2）
（1）【分析】整理原函数的答案式，利用换元法转化成二次函数，利用自变量的范围和二次函数的性质求得函数的值域．
【解析】y2，
设t，则0＜t，则y＝t2﹣2t+2＝（t﹣1）2+1，
∴ymax＝f（0）＝2，ymin＝f（），
∴函数的值域为（，2）．
（2）【分析】由题意，可对分母配方，求出分母的取值范围，再令t＝x2﹣5x+4，则函数变为y，t，利用反比例函数的性质求出值域．
【解析】由于，
令t＝x2﹣5x+4，则函数变为y，t；
由反比例函数的性质知，y∈（﹣∞，）∪（0，+∞），
故函数y的值域为（﹣∞，）∪（0，+∞）．
求函数的值域．
【分析】利用换元法，设t，表示x，求出f（t）的值域即得f（x）的值域．
【解析】设t，（其中t≥0）；∴x＝t2﹣4；
∴y＝f（t）；
∵t≥0，∴t+3≥3，∴0，又t≠3，∴y；∴f（x）的值域是（0，）∪（，]
求函数，
的值域..
【解析】第1步，变化函数为二次函数的形式
，设，
第2步，求出换元后函数的定义域：∵，∴
第3步，结合二次函数的性质得出函数的值域：可得
，
综上所述：函数的值域为.
已知函数，
，求的最大值及最小值.
【解析】令
∵，在定义域递减有4x2
∴，∴，
∴当时，取最小值；当时，取最大值7.
求函数，的值域.
判别式法
方法
型如(、不同时为零)及的函数求值域，通常把其转化成关于的一元二次方程，由判别式，求得的取值范围，即为原函数的值域。
步骤
第1步：将含x的式子用y表示，
第2步：借助含x的式子得出关于y的不等式，
第3步：解关于y的不等式既得函数的值域
小结
判别式法常借助含x的式子的有界性得到关于y的不等式.
利用判别式求函数的值域．
【分析】把函数化为，利用判别式△，求出的取值范围即可．
【解析】函数，
当时，；
当时，原函数化为，
∴判别式△＝（3y+1）2﹣4y2≥0，即5y2+6y+1≥0；解得y≤﹣1，或y≥﹣，
综上，函数y的值域是{y|y≤﹣1，或y≥﹣}．
已知，求函数的值域．
【分析】先将原函数整理成关于x的一元二次方程：2x2﹣yx﹣17+3y＝0，该方程有解，所以限制y为，解该不等式组即得原函数的值域．
【解析】由原函数得：2x2﹣yx﹣17+3y＝0；
则该关于x的一元二次方程有解；则有；解得；
∴原函数的值域为[，+∞）．
求函数的值域：．
【分析】由于对任意一个实数y，它在函数f（x）的值域内的充要条件是关于x的方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2＝0有实数解，因此“求f（x）的值域．”这一问题可转化为“已知关于x的方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2＝0有实数解，求y的取值范围”．
【解析】判别式法：∵x2+x+1＞0恒成立，∴函数的定义域为R．
由得：（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2＝0①
①当y﹣2＝0即y＝2时，①即3x+0＝0，∴x＝0∈R
②当y﹣2≠0即y≠2时，
∵x∈R时方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2＝0恒有实根，
∴△＝（y+1）2﹣4×（y﹣2）2≥0，∴1≤y≤5且y≠2，
∴原函数的值域为[1，5]．
求函数的值域：．
【分析】（1）当y＝1时，3＝1不成立；当y≠1时，原函数化为（y﹣1）x2﹣（y﹣1）x+y﹣3＝0，利用判别式△≥0，注意但y≠1．求出y的取值范围即可；
（2）把函数化为yx2﹣4yx+5y﹣8＝0，利用判别式△≥0，注意但y≠0．求出y取值范围即可．
【解析】（1）∵函数y，定义域为R，
∴当y＝1时，3＝1不成立；
当y≠1时，原函数化为（y﹣1）x2﹣（y﹣1）x+y﹣3＝0，
∴判别式△＝（y﹣1）2﹣4（y﹣1）（y﹣3）≥0，
即（y﹣1）（3y﹣11）≤0，解得1≤y，但y≠1，
综上，函数y的值域是{y|1＜y}
分段函数法
方法
此种方法适合用与含绝对值符号的函数.
步骤
第1步：在数轴上标出零点（使各个绝对值为0的取值）;
第2步：分类讨论去掉绝对值符号;
第3步：在每一段上依据单调性求出函数的值域，取并集得函数的值域．
小结
绝对值符号去对是关键.
求函数的值域：．
【分析】由函数表达式知，，无最大值，去掉绝对值，把函数写成分段函数的形式，
在每一段上依据单调性求出函数的值域，取并集得函数的值域．
【解析】数形结合法：
，
函数值域为，
已知函数，求的值域．
【分析】对每一段二次函数进行配方，即可求出f（x）在每段上的范围，从而求得f（x）的值域．
【解析】f（x）；
∴0≤x≤3时，f（x）∈[﹣4，0]；
﹣2≤x≤0时，f（x）∈[﹣8，0]；
∴f（x）的值域为[﹣8，0]．
求函数的值域．
【分析】通过讨论x的范围，从而得出函数的表达式，求出函数的值域．
【解析】0≤x＜3时，y＝2x﹣4x﹣3＝﹣2x﹣3，
﹣3＜x＜0时，y＝2x+4x﹣3＝6x﹣3，，
∴函数的值域是：（﹣21，﹣3]．
函数的值域为(
)。
A、
B、
C、
D、
【解析】原函数化为，
其图像如图，原函数值域为，选D。
【小结】分段函数应注意函数的端点，利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想，是解决问题的重要方法。
反函数法
方法
1、直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
2、直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
步骤
第1步：求已知函数的反函数；
第2步：求反函数的定义域；
第3步：利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数值域
函数值域为
【解析】设，则，分母不等于，即
即函数的值域为。
【小结】利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
函数的值域为
【解析】设，由原式得，∴，即函数的值域为
设为，反函数，最大值为
【解析】第一步，先判定函数在区间上是单调递增的；
第二步，求出函数的值域；
第三步，根据反函数的性质得出反函数在为增函数；
∴在为增函数；∴最大为
不等式法
方法
1、型如时，直接应用不等式性质。
2、(1)型如
①若，则(当且仅当即当时取“=”)，
②若，则(当且仅当即时取“=”)；
(2)型如(，)：
①若，则(仅当即时取“=”)
②若，则(仅当即时取“=”)
3、型如时，应先应用分离常数法化简成的格式，再利用均值不等式求值域。
4、型如时，应讨论时的值域，再讨论化简成型，最后利用均值不等式求值域。
步骤
第1步：观察函数解析式的形式，型如或的函数；
第2步：对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而
得到函数的值域.
已知，求函数
的最小值.
【解析】第一步，将函数解析式化成的形式：
因为，所以，所以；
第二步，利用基本不等式求函数最小值：
，当且仅当，即时等号成立。因为在定义域内，所以最小值为1.
已知函数，求的值域.
【解析】第一步，将函数解析式化成的形式：
因为，所以；所以；
第二步，利用基本不等式求函数最小值：
，仅当，即等号成立。
因为在定义域内，所以最小值为5.
求的最小值；
【解析】由题意得，，
令，则，
又当时，函数单调递增，∴当时，有最小值，且最小值为，
故的最小值是
已知，，，则的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】因为，，，所以，
则，
当且仅当且，即时取等号，故选：B.
【小结】第1步，观察函数解析式形式，型如或的函数；第2步，对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数最值，进而得到值域。
有界性法
方法
①（或）型，解出sinx（或cosx）,利用去解；或用分离常数的方法去解决。
②（或）型，可化归为去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c时，还可利用数形结合的方法去处理上。
步骤
第1步：反解出有界性表达式
第2步：解不等式
求函数的值域
【解析】此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解.
法一：原函数变形为，可直接得到：或
法二：原函数变形为或
求函数的最大值和最小值.
【分析】函数式为分数形式，转化为以函数
为主元的不等式，在利用正（余）弦有界性。
解析】由已知得，即
那么，得
（其中角的正切值）
所以，，因为，因而有
将其化简得到，解得，因此，，.
数形结合法
方法
利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键。
步骤
第1步：作出函数在定义域范围内的图像；
第2步：利用函数的图像求出函数的值域.
求函数的值域.
【解析】
第1步，将函数解析式转化成两点间的直线的斜率
由题意可得：函数可看成定点到动点的斜率
又动点在单位圆上，所以问题转化为求定点到单位圆连线斜率的问题。
第2步，根据直线与圆相切得出函数的值域
设直线的方程为，所以
因为直线与圆相切，所以，所以，
所以函数的值域为：
【小结】
（1）对于某些具有明显几何意义的函数，我们可以利用数形结合的方法求该函数的值域.先找到函数对应的形态特征，再求该函数的值域.
（2）由于对应着两点之间的斜率（差之比对应直线的斜率），所以本题可以利用斜率分析解答.
求函数的值域.
【解析】第1步：求函数的定义域，对数式应满足真数大于0:
所以由得,所以函数的定义域是，
第2步：求真数的取值范围，进而求出函数的值域：
设点，
所以,所以函数的值域为.
【小结】要迅速地找到函数对应的形，必须注意积累.这样才能提高解题的效率。
某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（
）
A、1800元
B、2400元
C、2800元
D、3100元
【解析】第一步，列出目标函数、线性约束条件：
由题意可得：设公司每天生产甲种产品桶，乙种产品桶，公司可获得利润元/天，
所以且
第二步，画出对应的可行域：
第三步，平移目标函数得出最大值：
目标函数可变形为，这是随变化的一族平行直线，
解方程组，所以，所以
定义运算，
，例如，则函数的值域为（
）
B．
C．
D．
【解析】当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1
2x=1，
当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1
2x=2x
，，由图知
函数y=1
2x的值域为：（0，1]，故选D
【小结】遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：
①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；
②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；
③根据定义域和解析式画出函数的图象
④根据图象分析函数的性质。
函数的值域是
A．
B．
C．
D．
【解析】由，
知，解得
令，则.，即为和两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：
由图可知，当直线和半圆相切时最小，当直线过点A(4,0)时，最大.
当直线和半圆相切时，，解得，由图可知.
当直线过点A(4,0)时，，解得.
所以，即.
故选A.
倒数法
方法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况。
步骤
第1步：求出函数的倒数；
第2步：转化为基本初等函数问题.
函数的值域为(
)。
A、
B、
C、
D、
【解析】设，当时，，
当时，，∴，
∴综上，即函数的值域为，选C。
导数法
方法
利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值，然后求出值域
步骤
第1步：利用函数的导数求函数在定义域内的单调性；
第2步：利用函数的图像求出函数的值域．
已知函数在与处都取得极值．
（1）求函数的解析式及单调区间；
（2）求函数在区间的最大值与最小值．
【解析】（1）因为，所以,
因为函数在与处都取得极值，
所以，所以函数解析式为：
,
,
令或，，
所以函数的单调增区间是
，单调减区间是.
（2）由（1）可知，
0
0
递增
极大
递减
极小
递增
所以函数的极小值为
，极大值为
而，所以.
【巩固提升】
按要求求下列函数的值域：
（1）y＝31（观察法）；
（2）y（配方法）；
（3）y＝2﹣x（换元法）；
（4）y（分离常数法）．
（5）y＝8÷（x2﹣4x+5）（判别式法）．
【分析】根据所要求的观察法、配方法、换元法、判别式法、以及分离常数法即可求解本题．
【解析】（1）函数的值域为[﹣1，+∞）；
（2）y，∴该函数的值域为[0，]＝[0，]；
（3）令，则x，
所以：；∴原函数的值域为（﹣∞，]；
（4）y；
∵，∴；
∴该函数的值域为{y|y≠﹣2}．
（5）∵y，定义域为R，
∴当y＝0时，不成立；
当y≠0时，原函数可化为yx2﹣4yx+5y﹣8＝0，
∴判别式△＝16y2﹣4y（5y﹣8）≥0，
即有y2﹣8y≤0，解得0≤y≤8，
但y≠0．
综上，函数y的值域是{y|0＜y≤8}．
求值域：
（1）y；
（2）y；
（3）f（x）＝x；
（4）f（x）．
【分析】（1）化简后用分离系数法求值域，
（2）化简后用配方与分离系数法求值域，
（3）用换元法求函数的值域，
（4）先求定义域，再化简求值域．
【解析】（1）y＝1（x≠2），
∵x≠2，∴0且；
∴函数y的值域为（﹣∞，0）∪（0，）∪（，+∞）．
（2）y2，
∴函数y的值域为[，2）；
（3）令t，（t≥0）
则f（x）＝x可化为y；
即函数f（x）＝x的值域为[，+∞）．
（4）f（x）的定义域为[﹣1，2]，
f（x）
∵0．∴；
即函数的值域为[，]．
求下列函数的值域：
（1）f（x）＝2x2﹣3x﹣1
（2）f（x）
（3）f（x）＝x
（4）f（x）＝2x
（5）f（x）
（6）f（x）＝5﹣x
【分析】（1）由二次函数的图象与性质，先求出函数的最值，即得出值域；
（2）分离常数，利用二次函数的判别式求出值域；
（3）配方法，配成以为自变量的二次函数，从而求出函数的值域；
（4）配方法，配成以为自变量的二次函数，从而求出函数的值域；
（5）分离常数法，把函数f（x）化为1，求出的范围即得f（x）的值域；
（6）换元法，设t，求二次函数在闭区间上的最值即得值域．
【解析】（1）∵f（x）＝2x2﹣3x﹣1是二次函数，图象是抛物线，且开口向上，
∴f（x）有最小值是，∴f（x）的值域是[，+∞）；
（2）∵y＝f（x）1，
∵x≠0，∴y≠1；∴（y﹣1）（x2﹣x）＝3x，即（y﹣1）x2﹣（y+2）x＝0，
判别式[﹣（y+2）]2≥0恒成立，∴函数f（x）的值域是{y|y≠1}；
（3）∵f（x）＝x＝x+11＝﹣1，
∴f（x）的值域是[﹣1，+∞）；
（4）∵f（x）＝2x＝2（x+2）﹣4＝242×0，
∴f（x）的值域是[，+∞）；
（5）∵f（x）＝1，
又x2+1≥1，∴02，∴﹣1≤11，∴f（x）的值域是[﹣1，1）；
（6）令t，且t≥0；∴x（t2+1），
∴y＝5（t2+1）+tt2+t0，
∴f（x）的值域是（﹣∞，]．
求下列函数的值域：
（1）y＝x
（2）y＝x+2
（3）y＝x4+4x2+1
（4）y＝6．
【分析】分别对（1）（2）（3）（4）进行求解，分别求出它们的值域．
【解析】（1）令t（t≥0），则：x，
∴y，
∴函数的值域为[，+∞）；
（2）令t（t≥0），则：x＝t2+1，
∴y＝t2+1+2t＝（t+1）2≥1，
∴函数的值域为[1，+∞）；
（3）y＝x4+4x2+1≥1，∴函数的值域为：[1，+∞）；
（4）∵5﹣4x﹣x2≥0，
∴﹣5≤x≤1，
令g（x）＝﹣（x+2）2+9，对称轴x＝﹣2，
∴g（x）在[﹣5，﹣2）递增，在（﹣2，1]递减，
∴x＝﹣2时，g（x）最大为9，x＝1，或x＝﹣5时，g（x）最小为0，
∴，x＝﹣2时，y最小为3，x＝1或x＝﹣5时，y最大为6，
∴函数的值域为：[3，6]．
求下列函数的值域．
（1）y＝3x+1，x∈[1，2]；
（2）y＝x2﹣4x﹣5，x∈[﹣1，1]；
（3）y；
（4）y；
（5）y＝2x．
【分析】（1）由观察法求值域；
（2）由配方法求值域；
（3）由分离系数法求值域；
（4）由分离系数法求值域；
（5）由换元法求值域．
【解析】（1）∵x∈[1，2]；
∴3x+1∈[4，7]；
故y＝3x+1，x∈[1，2]的值域为[4，7]；
（2）y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∵﹣1≤x≤1，
∴﹣8≤x2﹣4x﹣5≤0，
故y＝x2﹣4x﹣5，x∈[﹣1，1]的值域为[﹣8，0]；
（3）y1；故y的值域为{y|y≠1}；
（4）y1；
∵02，∴﹣1＜﹣11，故y的值域为（﹣1，1]；
（5）令t（t≥0），x＝1﹣t2，
y＝2x2（1﹣t2）+t
＝﹣2（t）2，
∵t≥0，∴﹣2（t）2；
则函数y＝2x的值域为（﹣∞，]求函数值域的14种方法大盘点
观察法
方法
通过观察如，或等函数的定义域及性质，结合函数的解析式，应用不等式性质，可直接求得函数的值域。
步骤
第1步：观察函数中的特殊函数；
第2步：利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.
函数
的最大值是（　　）
A.
B.
C.
D.
函数的值域为(
)。
A、
B、
C、
D、
求函数的值域.
单调性法
方法
单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．
步骤
第1步：确定函数的定义域；
第2步：求出函数的单调区间；
第3步：确定函数的值域或最值.
求函数的值域。
求函数的值域.
求函数的值域
求函数的值域.
函数f（x）=2+log3x（1≤x≤9），函数g（x）=f2（x）+f（x2），求g（x）值域．
已知，且满足，则函数的值域为(
)。
A、
B、
C、
D、
函数对于任意实数、都有，且当时，，，求函数在区间上的值域。
奇偶性法
方法
适用于一些解析式非常复杂，但是经过整理后有一定规律的函数，或是抽象函数；在求函数最值的问题中，可以利用奇偶性直接得出答案；
步骤
第1步：凑出奇或偶的代数式
第2步：根据奇偶性性质解题
若都是奇函数，在上有最大值5，则在上有（
）
A．最小值
B．最大值
C．最小值
D．最大值
设函数的最大值为，最小值为，则_____.
设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.
已知函数和均为奇函数，
在区间上有最大值5，那么在上的最小值为
（
）
A.
－5
B.
－3
C.
－1
D.
5
已知在区间上有最大值5，那么在上的最小值为
已知函数和均为奇函数，在区间上有最大值5，那么在上的最小值为
已知函数和均为奇函数,
在区间上有最大值,那么在上的最小值为
函数x最大值为Ｍ，最小值为ｍ，Ｍ＋ｍ＝____
配方法
方法
型如()型或可转化为二次型的函数，用此种方法，注意自变量的范围。
步骤
第1步：配方；
第2步：借助图像或利用二次函数的顶点坐标公式，确定函数的最值或边界点的函数值；
第3步：结合二次函数的图像与性质，求得值域.
小结
若二次函数图像的顶点在定义域对应的区间内，则顶点的纵坐标一定是函数的一个最值，此外,若定义域为开区间，则函数可能没有最值.
当1≤x≤2时，求函数y＝﹣x2﹣x+1值域．
已知函数，求函数的值域．
求函数在，的值域．
定义在上的函数的值域是__________．
函数的定义域是，值域为，求的范围
函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x，当x∈[1，4]时，求h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)值域
已知－1≤x≤2，求函数y＝f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的值域．
已知x∈[－，]，求求函数y＝－3（1-cos2x）－4cosx＋4的值域．
已知函数．
（1）求函数的定义域和值域；
（2）设（为实数），求在时的最大值；
（3）对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围．
分离常数法
方法
1、型如时，可化简成的格式
2、型如的函数，可化简成格式
步骤
第1步：将函数关系式分子中含x的项分离，即使分子不含x项；
第2步：确定分离后的函数关系式的单调性；
第3步：借助函数的单调性，求的函数的值域.
小结
若分离较为困难，则可将分子或分母设为一个整体，用一个字母代替及换元再分离常数.
（1）求函数的值域．
（2）已知函数，求的值域．
（1）求下列函数的值域：.
（2）求函数的值域．
（1）求下列函数的值域：．
（2）求函数的值域．
（1）求函数的值域．
求函数的值域．
换元法
方法
此种方法适用于求根式形函数或形式较为复杂的函数的值域
步骤
第1步：将函数关系式中的部分项视为一个整体用新元表示；
第2步：换元转化为基本函数，如二次函数，一次函数等，
第3步：借助基本函数的单调性，求得函数的值域
小结
换元后要注意新元的取值范围，换元法求函数值域，其实质是等价转换的思想方法
求函数的值域：
求下列函数的值域．
（1）
（2）
（3）．
求下列函数的值域．
（1）
（2）
求函数的值域．
求函数，
的值域..
已知函数，
，求的最大值及最小值.
求函数，的值域.
判别式法
方法
型如(、不同时为零)及的函数求值域，通常把其转化成关于的一元二次方程，由判别式，求得的取值范围，即为原函数的值域。
步骤
第1步：将含x的式子用y表示，
第2步：借助含x的式子得出关于y的不等式，
第3步：解关于y的不等式既得函数的值域
小结
判别式法常借助含x的式子的有界性得到关于y的不等式.
利用判别式求函数的值域．
已知，求函数的值域．
求函数的值域：．
求函数的值域：．
分段函数法
方法
此种方法适合用与含绝对值符号的函数.
步骤
第1步：在数轴上标出零点（使各个绝对值为0的取值）;
第2步：分类讨论去掉绝对值符号;
第3步：在每一段上依据单调性求出函数的值域，取并集得函数的值域．
小结
绝对值符号去对是关键.
求函数的值域：．
已知函数，求的值域．
函数的值域为(
)。
A、
B、
C、
D、
反函数法
方法
1、直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
2、直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
步骤
第1步：求已知函数的反函数；
第2步：求反函数的定义域；
第3步：利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数值域
函数值域为
函数的值域为
设为，反函数，最大值为
不等式法
方法
1、型如时，直接应用不等式性质。
2、(1)型如
①若，则(当且仅当即当时取“=”)，
②若，则(当且仅当即时取“=”)；
(2)型如(，)：
①若，则(仅当即时取“=”)
②若，则(仅当即时取“=”)
3、型如时，应先应用分离常数法化简成的格式，再利用均值不等式求值域。
4、型如时，应讨论时的值域，再讨论化简成型，最后利用均值不等式求值域。
步骤
第1步：观察函数解析式的形式，型如或的函数；
第2步：对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而
得到函数的值域.
已知，求函数
的最小值.
已知函数，求的值域.
求的最小值；
已知，，，则的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
有界性法
方法
①（或）型，解出sinx（或cosx）,利用去解；或用分离常数的方法去解决。
②（或）型，可化归为去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c时，还可利用数形结合的方法去处理上。
步骤
第1步：反解出有界性表达式
第2步：解不等式
求函数的值域
求函数的最大值和最小值.
数形结合法
方法
利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键。
步骤
第1步：作出函数在定义域范围内的图像；
第2步：利用函数的图像求出函数的值域.
求函数的值域.
求函数的值域.
某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（
）
A、1800元
B、2400元
C、2800元
D、3100元
定义运算，
，例如，则函数的值域为（
）
B．
C．
D．
函数的值域是
A．
B．
C．
D．
倒数法
方法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况。
步骤
第1步：求出函数的倒数；
第2步：转化为基本初等函数问题.
函数的值域为(
)。
B、
C、
D、
导数法
方法
利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值，然后求出值域
步骤
第1步：利用函数的导数求函数在定义域内的单调性；
第2步：利用函数的图像求出函数的值域．
已知函数在与处都取得极值．
（1）求函数的解析式及单调区间；
（2）求函数在区间的最大值与最小值．
【巩固提升】
按要求求下列函数的值域：
（1）y＝31（观察法）；
（2）y（配方法）；
（3）y＝2﹣x（换元法）；
（4）y（分离常数法）．
（5）y＝8÷（x2﹣4x+5）（判别式法）．
求值域：
（1）y；
（2）y；
（3）f（x）＝x；
（4）f（x）．
求下列函数的值域：
（1）f（x）＝2x2﹣3x﹣1
（2）f（x）
（3）f（x）＝x
（4）f（x）＝2x
（5）f（x）
（6）f（x）＝5﹣x
求下列函数的值域：
（1）y＝x
（2）y＝x+2
（3）y＝x4+4x2+1
（4）y＝6．
求下列函数的值域．
（1）y＝3x+1，x∈[1，2]；
（2）y＝x2﹣4x﹣5，x∈[﹣1，1]；
（3）y；
（4）y；
（5）y＝2x．

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