复数几何意义及运算知识点讲解+同步练习(word解析版)

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复数几何意义及运算知识点讲解+同步练习(word解析版)

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复数几何意义及运算
一、知识梳理
1.复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的概念
形如a+bi(a∈R,b∈R)的数叫复数,其中实部为a,虚部为b
若b=0,则a+bi为实数;若a=0且b≠0,则a+bi为纯虚数
复数相等
a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R)
共轭复数
a+bi与c+di共轭?a=c且b=-d(a,b,c,d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫实轴,y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为z=a+bi,则向量的长度叫做复数z=a+bi的模
|z|=|a+bi|=
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的,即
(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量.
3.复数的运算
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
(3)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
(4)除法:==
=(c+di≠0).
小结:
1.i的乘方具有周期性
in=(k∈Z).
2.复数的模与共轭复数的关系
z·=|z|2=||2.
3.两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小;
(2)利用复数相等a+bi=c+di列方程时,注意a,b,c,d∈R的前提条件.
二、例题精讲
+
随堂练习
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.(  )
(2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.(  )
(3)原点是实轴与虚轴的交点.(  )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.(  )
解析 (1)虚部为b;(2)虚数不可以比较大小.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为(  )
A.1
B.2
C.1或2
D.-1
解析 依题意,有解得a=2,故选B.
答案 B
3.复数的共轭复数是(  )
A.2-i
B.2+i
C.3-4i
D.3+4i
解析 ==(2+i)2=3+4i,所以其共轭复数是3-4i.
答案 C
4.(2017·全国Ⅱ卷)=(  )
A.1+2i
B.1-2i
C.2+i
D.2-i
解析 ==2-i.
答案 D
5.(2018·北京卷)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于(  )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 ==+i,其共轭复数为-i,∴复数的共轭复数对应的点的坐标为,位于第四象限,故选D.
答案 D
6.(2019·青岛一模)已知复数z=-1+i(i是虚数单位),则=________.
解析 ∵z=-1+i,则z2=-2i,
∴====-1.
答案 -1
考点一 复数的相关概念
【例1】
(1)(2019·上海崇明区质检)已知z=,则复数z的虚部为(  )
A.-i
B.2
C.-2i
D.-2
(2)已知在复平面内,复数z对应的点是Z(1,-2),则复数z的共轭复数=(  )
A.2-i
B.2+i
C.1-2i
D.1+2i
(3)(2019·大连一模)若复数z=为纯虚数,则实数a的值为(  )
A.1
B.0
C.-
D.-1
解析 (1)∵z===-1-2i,则复数z的虚部为-2.故选D.
(2)∵复数z对应的点是Z(1,-2),∴z=1-2i,
∴复数z的共轭复数=1+2i,故选D.
(3)设z=bi,b∈R且b≠0,
则=bi,得到1+i=-ab+bi,
∴1=-ab,且1=b,
解得a=-1,故选D.
答案 (1)D (2)D (3)D
【训练1】
(1)已知复数z满足:(2+i)z=1-i,其中i是虚数单位,则z的共轭复数为(  )
A.-i
B.+i
C.-i
D.+i
(2)(2019·株洲二模)设i为虚数单位,1-i=,则实数a=(  )
A.2
B.1
C.0
D.-1
解析 (1)由(2+i)z=1-i,得z===-i,∴=+i.故选B.
(2)∵1-i=,∴2+ai=(1-i)(1+i)=2,
解得a=0.故选C.
答案 (1)B (2)C
考点二 复数的几何意义
【例2】
(1)已知i是虚数单位,设复数z1=1+i,z2=1+2i,则在复平面内对应的点在(  )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内,复数z对应的点与对应的点关于实轴对称,则z=(  )
A.1+i
B.-1-i
C.-1+i
D.1-i
解析 (1)由题可得,===-i,对应在复平面上的点的坐标为,在第四象限.
(2)∵复数z对应的点与==1+i对应的点关于实轴对称,∴z=1-i.故选D.
答案 (1)D (2)D
【训练2】
(1)设i是虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于(  )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)如图,若向量对应的复数为z,则z+表示的复数为(  )
A.1+3i
B.-3-i
C.3-i
D.3+i
解析 (1)==-i,则复数z对应的点为,在第四象限,故选D.
(2)由题图可得Z(1,-1),即z=1-i,所以z+=1-i+=1-i+=1-i+=1-i+2+2i=3+i.故选D.
答案 (1)D (2)D
考点三 复数的运算
【例3】
(1)(2018·全国Ⅲ卷)(1+i)(2-i)=(  )
A.-3-i
B.-3+i
C.3-i
D.3+i
(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z=+2i,则|z|=(  )
A.0
B.
C.1
D.
(3)设复数z=1+2i,则=(  )
A.2i
B.-2i
C.2
D.-2
(4)+=________.
解析 (1)(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i.故选D.
(2)∵z=+2i=+2i=+2i=i,∴|z|=|i|=1.故选C.
(3)====2.故选C.
(4)原式=+
=i6+=-1+i.
答案 (1)D (2)C (3)C (4)-1+i
【训练3】
(1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2+3i)=(  )
A.3-2i
B.3+2i
C.-3-2i
D.-3+2i
(2)已知i为虚数单位,则=(  )
A.
B.
C.
D.
(3)设z=1+i(i是虚数单位),则z2-=(  )
A.1+3i
B.1-3i
C.-1+3i
D.-1-3i
解析 (1)i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i,故选D.
(2)==.
(3)因为z=1+i,所以z2=(1+i)2=1+2i+i2=2i,=====1-i,则z2-=2i-(1-i)=-1+3i.故选C.
答案 (1)D (2)D (3)C
三、课后练习
1.(2019·烟台检测)设a,b∈R,a=(i是虚数单位),则b=(  )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
解析 因为a===+,a∈R,所以=0?b=-2,故选A.
答案 A
2.设x∈R,i是虚数单位,则“x=2”是“复数z=(x2-4)+(x+2)i为纯虚数”的(  )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由复数z=(x2-4)+(x+2)i为纯虚数,
得解得x=2,
所以“x=2”是“复数z=(x2-4)+(x+2)i为纯虚数”的充要条件,故选B.
答案 B
3.计算+=(  )
A.-2i
B.0
C.2i
D.2
解析 ∵===i,=-i,
∴+=(i4)504·i3+[(-i)4]504·(-i)3=-i+i=0.
答案 B
4.(2019·湖南三湘名校联考)已知i为虚数单位,复数z=,则以下为真命题的是(  )
A.z的共轭复数为-
B.z的虚部为
C.|z|=3
D.z在复平面内对应的点在第一象限
解析 ∵z===+,
∴z的共轭复数为-,z的虚部为,
|z|==,z在复平面内对应的点为,在第一象限,故选D.
答案 D

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