资源简介 复数几何意义及运算一、知识梳理1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a+bi(a∈R,b∈R)的数叫复数,其中实部为a,虚部为b若b=0,则a+bi为实数;若a=0且b≠0,则a+bi为纯虚数复数相等a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R)共轭复数a+bi与c+di共轭?a=c且b=-d(a,b,c,d∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫实轴,y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数复数的模设对应的复数为z=a+bi,则向量的长度叫做复数z=a+bi的模|z|=|a+bi|=2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的,即(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量.3.复数的运算设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;(4)除法:===(c+di≠0).小结:1.i的乘方具有周期性in=(k∈Z).2.复数的模与共轭复数的关系z·=|z|2=||2.3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小;(2)利用复数相等a+bi=c+di列方程时,注意a,b,c,d∈R的前提条件.二、例题精讲+随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.( )(2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( )(3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.( )解析 (1)虚部为b;(2)虚数不可以比较大小.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为( )A.1B.2C.1或2D.-1解析 依题意,有解得a=2,故选B.答案 B3.复数的共轭复数是( )A.2-iB.2+iC.3-4iD.3+4i解析 ==(2+i)2=3+4i,所以其共轭复数是3-4i.答案 C4.(2017·全国Ⅱ卷)=( )A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i解析 ==2-i.答案 D5.(2018·北京卷)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 ==+i,其共轭复数为-i,∴复数的共轭复数对应的点的坐标为,位于第四象限,故选D.答案 D6.(2019·青岛一模)已知复数z=-1+i(i是虚数单位),则=________.解析 ∵z=-1+i,则z2=-2i,∴====-1.答案 -1考点一 复数的相关概念【例1】(1)(2019·上海崇明区质检)已知z=,则复数z的虚部为( )A.-iB.2C.-2iD.-2(2)已知在复平面内,复数z对应的点是Z(1,-2),则复数z的共轭复数=( )A.2-iB.2+iC.1-2iD.1+2i(3)(2019·大连一模)若复数z=为纯虚数,则实数a的值为( )A.1B.0C.-D.-1解析 (1)∵z===-1-2i,则复数z的虚部为-2.故选D.(2)∵复数z对应的点是Z(1,-2),∴z=1-2i,∴复数z的共轭复数=1+2i,故选D.(3)设z=bi,b∈R且b≠0,则=bi,得到1+i=-ab+bi,∴1=-ab,且1=b,解得a=-1,故选D.答案 (1)D (2)D (3)D【训练1】(1)已知复数z满足:(2+i)z=1-i,其中i是虚数单位,则z的共轭复数为( )A.-iB.+iC.-iD.+i(2)(2019·株洲二模)设i为虚数单位,1-i=,则实数a=( )A.2B.1C.0D.-1解析 (1)由(2+i)z=1-i,得z===-i,∴=+i.故选B.(2)∵1-i=,∴2+ai=(1-i)(1+i)=2,解得a=0.故选C.答案 (1)B (2)C考点二 复数的几何意义【例2】(1)已知i是虚数单位,设复数z1=1+i,z2=1+2i,则在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内,复数z对应的点与对应的点关于实轴对称,则z=( )A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i解析 (1)由题可得,===-i,对应在复平面上的点的坐标为,在第四象限.(2)∵复数z对应的点与==1+i对应的点关于实轴对称,∴z=1-i.故选D.答案 (1)D (2)D【训练2】(1)设i是虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图,若向量对应的复数为z,则z+表示的复数为( )A.1+3iB.-3-iC.3-iD.3+i解析 (1)==-i,则复数z对应的点为,在第四象限,故选D.(2)由题图可得Z(1,-1),即z=1-i,所以z+=1-i+=1-i+=1-i+=1-i+2+2i=3+i.故选D.答案 (1)D (2)D考点三 复数的运算【例3】(1)(2018·全国Ⅲ卷)(1+i)(2-i)=( )A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z=+2i,则|z|=( )A.0B.C.1D.(3)设复数z=1+2i,则=( )A.2iB.-2iC.2D.-2(4)+=________.解析 (1)(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i.故选D.(2)∵z=+2i=+2i=+2i=i,∴|z|=|i|=1.故选C.(3)====2.故选C.(4)原式=+=i6+=-1+i.答案 (1)D (2)C (3)C (4)-1+i【训练3】(1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2+3i)=( )A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i(2)已知i为虚数单位,则=( )A.B.C.D.(3)设z=1+i(i是虚数单位),则z2-=( )A.1+3iB.1-3iC.-1+3iD.-1-3i解析 (1)i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i,故选D.(2)==.(3)因为z=1+i,所以z2=(1+i)2=1+2i+i2=2i,=====1-i,则z2-=2i-(1-i)=-1+3i.故选C.答案 (1)D (2)D (3)C三、课后练习1.(2019·烟台检测)设a,b∈R,a=(i是虚数单位),则b=( )A.-2B.-1C.1D.2解析 因为a===+,a∈R,所以=0?b=-2,故选A.答案 A2.设x∈R,i是虚数单位,则“x=2”是“复数z=(x2-4)+(x+2)i为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由复数z=(x2-4)+(x+2)i为纯虚数,得解得x=2,所以“x=2”是“复数z=(x2-4)+(x+2)i为纯虚数”的充要条件,故选B.答案 B3.计算+=( )A.-2iB.0C.2iD.2解析 ∵===i,=-i,∴+=(i4)504·i3+[(-i)4]504·(-i)3=-i+i=0.答案 B4.(2019·湖南三湘名校联考)已知i为虚数单位,复数z=,则以下为真命题的是( )A.z的共轭复数为-B.z的虚部为C.|z|=3D.z在复平面内对应的点在第一象限解析 ∵z===+,∴z的共轭复数为-,z的虚部为,|z|==,z在复平面内对应的点为,在第一象限,故选D.答案 D 展开更多...... 收起↑ 资源预览