16.2 二次根式的运算(第1课时)(共35张PPT)

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16.2 二次根式的乘法
第1课时
第16章 二次根式
2020-2021学年度沪科版八年级下册
1.理解二次根式的乘法法则.(重点)
2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.(难点)
学习目标
1.什么叫二次根式?
2.两个基本性质:
=a
a (a≥0)
-a (a<0)
=
=∣a∣
(a≥ 0)
新课导入
 当a 是正数或0 时, 是实数吗?取a 值分
别为1,2,3,4,5试一试!
  类比有理数的运算,你认为任何两个实数之间可以进行哪些运算?
      加、减、乘、除四则运算
  两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算?怎样运算?让我们从研究乘法开始.
 请写出两个二次根式,猜一猜,它们的积应该是多少?
  特殊化,从能开得尽方的二次根式乘法运算开始思考!

问题1 运用运载火箭发射航天行器时,火箭必须达到一定的速度(第一宇宙速度),才能克服地球的引力,从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系:v12=gR,其中g是重力加速度.请用含g,R的代数式表示出第一宇宙速度v1.
第一宇宙速度v1可以表示为 .
探究新知
第二宇宙速度v2可以表示为 .
问题2 飞行器脱离地心引力,进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v2= v1,请结合问题1用含g,R的代数式表示出第二宇宙速度v2.
思考 若已知地球半径R≈6371km及重力加速度g≈10m/s2,要求第二宇宙速度,本质是把两个二次根式相乘,该怎么乘呢?
(1) ___×___=____;
=_________;
二次根式的乘法
计算下列各式:
(2) ___×___=____;
(3) ___×___=____;
=_________;
=_________.
2
3
6
4
5
20
5
6
30
观察两者有什么关系?
探究新知
观察三组式子的结果,我们得到下面三个等式:
(1)
(2)
(3)
思考 你发现了什么规律?你能用字母表示你所发现的规律吗?
猜测:
你能证明这个猜测吗?
求证:
证明:根据积的乘方法则,有

就是ab算术平方根.
又∵ 表示ab算术平方根,
∴ .
证一证
一般地,对于二次根式的乘法是
语言表述:
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
二次根式的乘法法则:
二次根式相乘,________不变,________相乘.
根指数
被开方数
归纳总结
注意:a,b都必须是非负数.
在本章中,如果没有特别说明,所有的字母都表示正数.
计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律?
1. × =____
(a≥0,b≥0)
6
6
20
20
一般地,对于二次根式的乘法法则是:
合作探究
活动1:探究二次根式的乘法法则及运算
a、b必须都是非负数!
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
知识要点
例1 计算
解:
反过来:
一般的:
在本章中,如果没有特别说明,所有的字母都表示非负数.
活动2:探究用积的算术平方根化简二次根式
?????????=?????????????≥0,b≥0
?
例2 化简:
(1) (2)
解:
4
1.把被开方数分解因式(或因数) ;
2. 把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因
数)的算术平方根的积;
化简二次根式的步骤:
3.如果因式中有平方式(或平方数),应用关系式
(a≥0)把这个因式(或因数)开出来,将二次根式化简.
想一想?
成立吗?为什么?



a≥0,b≥0
A. B.
C. D.
1.计算 的结果是 ( )
A. B.4 C. D.2
B
2.下面计算结果正确的是 ( )
D
3.计算: ____.
30
练一练
二次根式乘法公式的逆用
反过来:
(a≥0,b≥0)
(a≥0,b≥0)
一般的:
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
语言表述:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积.
探究新知
解:(1)
例4 化简:
(1)     ;(2) .  
(2)
(2)中4a2b3含有像4,a2,b2,这样开的尽方的因数或因式,把它们开方后移到根号外.
(1)    ; (2) .  
【变式题】 化简:
解:(1)     
(2)   
当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式,此时运用乘法公式可以简化运算.
归纳
例5 计算:
(1)   ;(2) ; (3) .  
  解:(1)
(2)
(3)
3.如果因式中有平方式(或平方数),应用关系式
a2 = 把这个因式(或因数)开出来,将二次根
式化简 .
1.把被开方数分解因式(或因数) ;
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
式(或因数)的算术平方根的积;
化简二次根式的步骤:
归纳总结
1. 计算:
解:
练一练
易错提醒: 中,a,b必须是非负数.
2.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画,若长为 ,宽为 ,求出它的面积.
解:它的面积为
1.若 ,则 (  )
A.x≥6 B.x≥0
C.0≤x≤6 D.x为一切实数
A
2.下列运算正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
D
课堂练习
4. 比较下列两组数的大小(在横线上填“>”“<”
或“=”):


3. 计算:
5.计算:
6.设长方形的面积为S,相邻两边分别为a,b.
(1)已知 , ,求S;
解:S = ab =
=
= =
(2)已知 , ,求S.
解:S = ab =
=
= =240.
7.已知 试着用a,b表示 .
解:
二次根式乘法
法则
性质
拓展法则
课堂小结
谢谢聆听

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