资源简介 16.2 二次根式的除法 第2课时 第16章 二次根式 2020-2021学年度沪科版八年级下册 1.了解二次根式的除法法则.(重点) 2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算. (难点) 3.能将二次根式化为最简二次根式.(重点) 学习目标 复习导入 1.两个基本性质: =a a (a≥0) -a (a<0) = =∣a∣ (a≥ 0) 2.二次根式的乘法: 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根之积. ?????????=?????????????≥0,b≥0 ? 3.二次根式乘法运算规律公式 (a≥0,b≥0) 关键:将被开方数因式分解或因数分解,使被开方数出现“完全平方数”或“偶次方因式”. 如何化简二次根式 站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米,它们近似地符合公式为 . 解: 问题1 某一登山者爬到海拔100米处,即 时,他看到的水平线的距离d1是多少? 新课导入 问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶,即 时,此时他看到的水平线的距离d2是多少? 问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶,那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍? 解: 二次根式的除法该怎样算呢 解: 思考 乘法法则是如何得出的?除法有没有类似的法则? (1) ___÷___=____; = _____; 计算下列各式: (2) ___÷___=____; (3) ___÷___=____; = _____; = _____. 2 3 4 5 6 7 观察两者有什么关系? 二次根式的除法 探究新知 观察三组式子的结果,我们得到下面三个等式: (1) (2) (3) 思考 通过上述二次根式除法运算结果,联想到二次根式除法运算法则,你能说出二次根式 的结果吗? 特殊 一般 议一议 问题 在前面发现的规律 中,a,b的取值范围有没有限制呢? 不对,同乘法法则一样,a,b都为非负数. a,b同号就可以啦 你们都错啦,a≥0,b>0,b=0时等式两边的二次根式就没有意义啦 归纳总结 二次根式的除法法则: 文字叙述: 算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 当二次根式根号外的因数(式)不为1时,可类比单项式除以单项式法则,易得 我们知道,两个二次根式可以进行乘法运算,那么,两个二次根式能否进行除法运算呢? 合作探究 活动1:探究二次根式的除法法则及运算 首页 计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律? (2) (1) (3) _______; _______; _______; _______; _______; _______. 归纳 一般地,二次根式的除法法则 (a≥0,b>0) 两个二次根式相除,等于把被开方数相除,作为商的被开方数. 思考:等式中的a和b有没有条件的限制? 解: 公式的逆用 活动2:探究商的算术平方根的性质及化简 注意:(1) 这里的被开方数是一个整式(可以是多项式,也可 以是单项式). (2) 注意被开方数的取值范围. 1.与积的算术平方根的性质比较: 共同点:一个根号变成两个根号. 区别:取值范围不同. 商的算术平方根: 2.理解和记忆商的算术平方根要注意的问题 比较,得出结论 这种方法有的地方称之为分母有理化,即把分母中的根号化去的过程. 解: 提示:(1)要进行根式化简,关键是要搞清楚分式的分子和分母都乘什么,有时还要对分母进行化简;(2)有理化因式确定方法.如 有理化因式是它本身, 的有理化因式是 . 例3:化简 解: 观察上面各小题计算的最后结果并思考: (1)你觉得这些结果能否再化简,它们已经是最简二次根式了吗? (2)这些结果有什么共同特点,你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了? 活动3:探究最简二次根式的概念及判断 可以发现这些式子有如下两个特点: (1)被开方数不含分母; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式. 简记为:分母无根号,根号无分母 解: 解题支招:为了能迅速准确地把二次根式化成最简二次根式,需要熟记1~100以内非二次根式的化简. 如 等. 最简二次根式 问题1 你还记得分数的基本性质吗? 分数的分子与分母都乘同一个非零整式,所得分数与原分数相等.即 问题2 前面我们学习了二次根式的除法法则,你会去掉 这样的式子分母的根号吗? 是不是可以用分数的基本性质去掉分母的根号呢? 探究新知 下面让我们一起来做做看吧: 把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化. 概念学习 例3 计算: 解: 分母形如 的式子,分子、分母同乘以 可使分母不含根号. 归纳 例题讲解 满足如下两个特点: (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式. 简记为:一根号无分母,分母无根号;二不能再开方. 归纳总结 在二次根式的运算中,一般要把最后结果化为最简二次根式,并且分母中不含二次根式. 在下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?对不是最简二次根式的进行化简. 解:只有(3)是最简二次根式; 练一练 例4 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知 ,求a的值. 解:∵ ∴ 二次根式除法的应用 探究新知 例5 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”.据报道:一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨,从25楼抛下可以使人当场死亡.据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式 .从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍? 解:由题意得 1.化简 的结果是( ) A.9 B.3 C. D. B 2.下列根式中,最简二次根式是( ) A. B. C. D. C 课堂练习 3.若使等式 成立,则实数k取值范围是 ( ) B A.k≥1 B.k≥2 C. 1<k≤2 D. 1≤k≤2 4.下列各式的计算中,结果为 的是( ) A. B. C. D. C 5. 化简: 解: 6.在物理学中有公式W=I2Rt,其中W表示电功(单位:焦耳),I表示电流(单位:安培),R表示电阻(单位:欧姆),t表示时间(单位:秒),如果已知W、R、t,求I,则有 .若W=2400焦耳,R=100欧姆,t=15秒.试求电流I. 解:当W=2400,R=100,t=15时, 7.自习课上,张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式 中实数a的取值范围”,她告诉 刘敏说:你把题目抄错了,不是“ ”,而是“ ”刘敏说:哎呀,真抄错了,好在不影响结果,反正a和a-3都在根号内.试问:刘敏说得对吗? 解:刘敏说得不对,结果不一样.理由如下: 按 计算,则a≥0,a-3>0或a≤0,a-3<0, 解得a>3或a≤0; 而按 计算,则a≥0,a-3>0, 解得a>3. 二次根式除法 法则 性质 拓展法则 相关概念 分母有理化 最简二次根式 课堂小结 谢谢聆听 展开更多...... 收起↑ 资源预览