16.2 二次根式的运算(第2课时)(共37张PPT)

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16.2 二次根式的除法
第2课时
第16章 二次根式
2020-2021学年度沪科版八年级下册
1.了解二次根式的除法法则.(重点)
2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.
(难点)
3.能将二次根式化为最简二次根式.(重点)
学习目标
复习导入
1.两个基本性质:
=a
a (a≥0)
-a (a<0)
=
=∣a∣
(a≥ 0)
2.二次根式的乘法:
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根之积.
?????????=?????????????≥0,b≥0
?
3.二次根式乘法运算规律公式
(a≥0,b≥0)
关键:将被开方数因式分解或因数分解,使被开方数出现“完全平方数”或“偶次方因式”.
如何化简二次根式
站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米,它们近似地符合公式为 .
解:
问题1 某一登山者爬到海拔100米处,即 时,他看到的水平线的距离d1是多少?
新课导入
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶,即 时,此时他看到的水平线的距离d2是多少?
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶,那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍?
解:
二次根式的除法该怎样算呢
解:
思考 乘法法则是如何得出的?除法有没有类似的法则?
(1) ___÷___=____;
= _____;
计算下列各式:
(2) ___÷___=____;
(3) ___÷___=____;
= _____;
= _____.
2
3
4
5
6
7
观察两者有什么关系?
二次根式的除法
探究新知
观察三组式子的结果,我们得到下面三个等式:
(1)
(2)
(3)
思考 通过上述二次根式除法运算结果,联想到二次根式除法运算法则,你能说出二次根式 的结果吗?
特殊
一般
议一议
问题 在前面发现的规律 中,a,b的取值范围有没有限制呢?
不对,同乘法法则一样,a,b都为非负数.
a,b同号就可以啦
你们都错啦,a≥0,b>0,b=0时等式两边的二次根式就没有意义啦
归纳总结
二次根式的除法法则:
文字叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时,可类比单项式除以单项式法则,易得
  我们知道,两个二次根式可以进行乘法运算,那么,两个二次根式能否进行除法运算呢?
合作探究
活动1:探究二次根式的除法法则及运算
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计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?
(2)          
(1)          
(3)          
_______;
_______;
_______;
_______;
_______;
_______.
归纳
一般地,二次根式的除法法则
(a≥0,b>0)
两个二次根式相除,等于把被开方数相除,作为商的被开方数.
思考:等式中的a和b有没有条件的限制?
解:
公式的逆用
活动2:探究商的算术平方根的性质及化简
注意:(1) 这里的被开方数是一个整式(可以是多项式,也可 以是单项式).
(2) 注意被开方数的取值范围.
1.与积的算术平方根的性质比较:
共同点:一个根号变成两个根号.
区别:取值范围不同.
商的算术平方根:
2.理解和记忆商的算术平方根要注意的问题
比较,得出结论
这种方法有的地方称之为分母有理化,即把分母中的根号化去的过程.
解:
提示:(1)要进行根式化简,关键是要搞清楚分式的分子和分母都乘什么,有时还要对分母进行化简;(2)有理化因式确定方法.如 有理化因式是它本身, 的有理化因式是 .
例3:化简
解:
 观察上面各小题计算的最后结果并思考:
(1)你觉得这些结果能否再化简,它们已经是最简二次根式了吗?
(2)这些结果有什么共同特点,你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了?
活动3:探究最简二次根式的概念及判断
可以发现这些式子有如下两个特点:  
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
  我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.
简记为:分母无根号,根号无分母
解:
解题支招:为了能迅速准确地把二次根式化成最简二次根式,需要熟记1~100以内非二次根式的化简.
如 等.
最简二次根式
问题1 你还记得分数的基本性质吗?
分数的分子与分母都乘同一个非零整式,所得分数与原分数相等.即
问题2 前面我们学习了二次根式的除法法则,你会去掉 这样的式子分母的根号吗?
是不是可以用分数的基本性质去掉分母的根号呢?
探究新知
下面让我们一起来做做看吧:
把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.
概念学习
例3 计算:
解:
分母形如 的式子,分子、分母同乘以 可使分母不含根号.
归纳
例题讲解
满足如下两个特点:
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.
简记为:一根号无分母,分母无根号;二不能再开方.
归纳总结
在二次根式的运算中,一般要把最后结果化为最简二次根式,并且分母中不含二次根式.
在下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?对不是最简二次根式的进行化简.
解:只有(3)是最简二次根式;
练一练
例4 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知 ,求a的值.
解:∵

二次根式除法的应用
探究新知
例5 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”.据报道:一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨,从25楼抛下可以使人当场死亡.据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式 .从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍?
解:由题意得
1.化简 的结果是(  )
A.9 B.3 C. D.
B
2.下列根式中,最简二次根式是(  )
A. B. C. D.
C
课堂练习
3.若使等式 成立,则实数k取值范围是 ( )
B
A.k≥1 B.k≥2
C. 1<k≤2 D. 1≤k≤2
4.下列各式的计算中,结果为 的是(  )
A. B.
C. D.
C
5. 化简:
解:
6.在物理学中有公式W=I2Rt,其中W表示电功(单位:焦耳),I表示电流(单位:安培),R表示电阻(单位:欧姆),t表示时间(单位:秒),如果已知W、R、t,求I,则有 .若W=2400焦耳,R=100欧姆,t=15秒.试求电流I.
解:当W=2400,R=100,t=15时,
7.自习课上,张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式 中实数a的取值范围”,她告诉 刘敏说:你把题目抄错了,不是“ ”,而是“ ”刘敏说:哎呀,真抄错了,好在不影响结果,反正a和a-3都在根号内.试问:刘敏说得对吗?
解:刘敏说得不对,结果不一样.理由如下:
按 计算,则a≥0,a-3>0或a≤0,a-3<0,
解得a>3或a≤0;
而按 计算,则a≥0,a-3>0,
解得a>3.
二次根式除法
法则
性质
拓展法则
相关概念
分母有理化
最简二次根式
课堂小结
谢谢聆听

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