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2020-2021学年九年级下册数学第二十八章锐角三角函数综合基础拔高卷
一、单选题
1．在RtABC中，∠为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．在中，，则之长为（ ）．
A．4 B． C． D．3
3．如图⊙中，， BC=6， 则圆心到弦BC的距离是（ ）
A． B．3 C． D．6
4．如图，在数学兴趣小组探究活动中，小明要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，他和同学利用工具测得PC=50米，∠PCA=，根据上述测量数据可计算得到小河宽度PA为（ ）
A． 米 B．50米 C． 米 D．50tanα米
5．中，、都是锐角，且，，则的形状是（ ）．
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
6．如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N，则tan∠ANE=（　　　）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在反比例函数、的图像上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，已知是⊙O的直径，点在⊙O上，过点的切线与的延长线交于点，连接，过点作交⊙O于点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C．3 D．
9．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，C是线段AB上一点，AC＝CB＝2，以CB为直径作半圆O，P是半圆O上一动点，以AP为斜边向上作Rt△APQ，使得∠PQA＝90°，∠PAQ＝30°．若点P从点C沿半圆弧运动到点B，则点Q在运动中经过的路径长是（　　）
A．π B．π C．2π D．π
二、填空题
11．已知点P(6，a)在反比例函数的图象上，点Q是x轴正半轴上一点，则tan∠POQ的值为__________．
12．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，线段、，相交于点，则的值是__________．
13．如图，某商店营业大厅自动扶梯的倾斜角为41°，的长为12米．则大厅两层之间的距离长约为_______米．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，）
14．在△ABC中，若，则∠C的大小是 _________ °．
15．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转60°后得，此时点B恰好在线段上，其中点A经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是_____．
16．如图，是等边三角形，，点E在上，，点D在的延长线上，将线段绕点E逆时针旋转90°，得到线段，连接，若，则的长为______．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为D，且与轴分别交于A、B两点（点A在点B的左边），P为抛物线对称轴上的动点，则的最小值是_____
三、解答题
18．计算：．
19．如图，在菱形ABCD中，AEBC，垂直为E，对角线BD=4，，
求：①边AB的长；
②求ABE的正弦值．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点D，点F在AC的延长线上，过点C作CG∥AB，交BF于点G，且BC2=2AB·CG．
（1）求证：BF是⊙O的切线．
（2）若∠F=60°，GF=2，求⊙O的半径长．
21．如图，矩形中，已知．，点是射线上的一个动点，连接并延长，交射线于点．将沿直线翻折，点的对应点为点，延长交直线于点．
（1）如图1，若点恰好落在对角线上，求的值．
（2）如图2．当点为的中点时，求之长．
（3）若，求．
22．如图，某测量船位于海岛P的北偏西60°方向，距离海岛60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处．求测量船从A处航行到B处的路程（结果保留根号）．
23．如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若半径为1，，求图中阴影部分的面积．
24．如图1，抛物线的顶点在轴正半轴，与轴相交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，为延长线上一点，轴于，将沿直线翻折得到交轴于点，若点恰好在抛物线上，求点坐标．
（3）如图3，将图1中的抛物线沿对称轴向下平移个长度单位，新抛物线的顶点为，它与直线相交于、两点，连接、，研究：当取何值时，．
参考答案
1．C
∠α为锐角，且sin(α?15?)=，
α?15?=30?，即α=45?
tanα=tan45?=1
2．A
，
，
，
，
∴故选：A．
3．A
如图，连接OB，OC，并作OD⊥BC交BC于点D，
∵∠BAC=，
∴∠BOC=，
∵OD⊥BC，
∴∠BOD=，∠OBD=，BD=3，
∴OD=，
即圆心O到弦BC的距离是，
4．D
解：在中，，
∴．
5．C
∵、都是锐角，且，
∴，
∴
∴的形状是锐角三角形
6．C
设正方形的边长为2a，DH=x，
则CH=2a﹣x，
由翻折的性质，DE=AD=×2a=a，
EH=CH=2a﹣x．
在Rt△DEH中，DE2+DH2=EH2，
即a2+x2=(2a﹣x)2，
解得：x=a．
∵∠MEH=∠C=90°，
∴∠AEN+∠DEH=90°．
∵∠ANE+∠AEN=90°，
∴∠ANE=∠DEH，
∴tan∠ANE=tan∠DEH==．
7．C
解：过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵点A在反比例函数上，点B在上，
∴S△AOD＝，S△BOE＝2，
又∵∠AOB＝90°,∠ADO=∠BEO=90°
∴∠AOD+∠BOE＝90°
∠OBE+∠BOE＝90°，
∴∠AOD=∠OBE,
∴△AOD∽△OBE，
∴，
∴
设OA＝a，则OB＝2a，AB＝，
在RtAOB中，cos∠ABO＝
8．B
解：连接OC，
∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，
∵PC是⊙O切线，
∴∠PCO=90°，∠P=30°，
∵PC=3，
∴OC=PC?tan30°=，
∵OD⊥AC，
∴∠AOD=60°，
∵∠COB=60°，
∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，
∴△DOC是等边三角形，
∴CD=OC=，
9．A
当时，如图，过点Q作于H，由题意得，BP=AQ=x，
在菱形ABCD中，
和都是等边三角形，
当时，如图，过点Q作QN于N，由题意得，AP=CQ=x-2，
该图象开口向上，对称轴为直线x=2，
当时，y随x的增大而增大，
当x=4时，y有最大值为，
10．B
解：如图，过点A作⊙O的切线AR，R为切点，连接CR，OR，OQ，QR，OP．
∵AR是⊙O的切线，
∴AR⊥OR，
∴∠ARO=90°，
∵
∴AC=OC=OR，
∴AO=2OR，
∴∠OAR=30°，
∵∠QAP=30°=∠OAR，∠AQP=∠ARO=90°，
∴△OAR∽△PAQ，
∴，
∴，
∵
∠OAP=∠RAQ，
∴△∽△RAQ，



∴，
∴点Q的运动轨迹是以R为圆心， 为半径的半圆，
∴Q在运动中经过的路径长是，
11．
∵点P(6，a)在反比例函数 的图象上，
∴把点P(6，a)代入，
得a=2，即点P（6，2），
∵点Q是x轴正半轴上一点，
∴tan∠POQ即为点P的纵坐标与横坐标之比，
即，
故填：．
12．2
∵AD，CD为正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
设小正方形的边长为，
则，
，
在中，．
13．7.9
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AB?sin∠BAC＝12×0.66≈7.9（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为7.9米．
14．75
解：∵（cosA-）2+|1-tanB|=0，
∴cosA-=0，1-tanB=0，
则cosA=，tanB=1，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-60°-45°=75°．
15．
过点B作BF⊥EC于点F，
由题意得：BC=CE=2，∠ACD=∠BCE=60°，
∴?BCE是等边三角形，
∴∠ABC=∠E=60°，
∴AC=BC?tan60°=2，
∵EC=BC=2，
∴FC=EF=1，
∴BF=
∴阴影部分面积=
．
故答案是：．
16．
过点E作于M，交BD于N，
∵△ABC是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵ED=EF，
∴，
∴，
∴；
17．
解：由抛物线可得，
∴点D的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为，
假设对称轴与x轴的交点为C，连接BD，过点P作PH⊥BD于点H，过点A作AM⊥BD于点M，如图所示：
∴AB=6，BC=3，，
在Rt△DCB中，，
∴∠BDC=30°，∠DBC=60°，
∴，
∴的最小值即为的最小值，
∴当点A、P、H三点共线时有最小值，即为AM的长，
∴，
∴的最小值为；
故答案为．
18．8
解：原式=，
=，
=8．
19．①AB=；②sin∠ABE=
①连接AC，交BD于O，
∵四边形ABCD为菱形，
AC⊥BD，OB=OD， OA=OC，
∵BD=4，tan∠CBD=，
OB=2， OA=OC=1
AB=；
②∵四边形ABCD为菱形，BD=4，AC=2，
∴BC=AB=，
AC·BD=BC·AE，即4=AE，
AE=，
sin∠ABE=．
20．
（1）证明：如图，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵CG∥AB，
∴∠ABC=∠BCG，
∵AB=AC，∴BC=2BE，
∵BC2=2AB·CG，
∴BE·BC=AB·CG，
∴，
∴△BCG∽△ABE．
∴∠CGB=∠AEB=90°，∠CBG=∠EAB．
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE+∠CBG =90°，
∴AB⊥BF．
∴BF是⊙O的切线．
（2）解：如图，连接BD．
∵∠DAE=∠DBE，且由（1）可知，∠DAE=∠BAE=∠CBF，
∴∠DBE=∠CBF．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴BD⊥AF．
∵∠DBC=∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF，
∴CD=CG．
∵∠F=60°，GF=2，∠CGF=90°，
∴，∠FCG=30°，
∴CF=2FG=4，
又∵，
∴．
∴，
∵∠AFB=60°，∠ABF=90°，
∴∠BAF=30°．
∵∠ADB=90°，∠BAF=30°，
∴AB=2BD．
设⊙O的半径为r，则AC=AB=2r，BD=r．
∵∠FDB=90°，
∴，
∴⊙O的半径长为．
21．（1）；（2）；（3）或
（1）由翻折得，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由翻折得，，
，
，
，
为等腰三角形，
，
为中点，
∴，
在矩形中，，
，
，
，
，
∴设，
，
在中，
，
，
；
（3）①如图，在线段上，
，
，
，
，
由翻折，
，
，
，
，
设，
，
，
在中，
，
，
，
；
②如图，在延长线上，
由翻折，
，
，
，
，
，
，
∵四边形为矩形，
，
∴，
，
，
，
∴，
设为，
，
在中，
，
，
，
，
综上：的值为或．
22．海里．
∵AB为南北方向，
∴和分别为直角三角形，
在中，
，
海里，
∴海里，
在中，
，
∴又为等腰三角形．
∴海里，
∴海里．
故测量船从A处航行到B的路程为海里．
23．
（1）证明：连接、，如图，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴点是的中点，点为的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线；
（2）∵半径为1，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵点是的中点，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
24．（1）；（2）；（3）4
（1）∵抛物线经过点，
，
解得，
∵顶点在轴正半轴，
，
∴抛物线的解析式为．
（2）如图2，连接交于，过点作轴于，
∵点，
，
，
由翻折的性质得，，
，
，
，
设，则，
由勾股定理得，，
，
，
，
∴点的横坐标为，
∵点在抛物线上，
，
解得（舍去），，
，
∴点的坐标为．
（3）如图3，过点作轴的平行线，过点作于，过点作于，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
，
∵抛物线向下平移个单位，
∴平移后的抛物线为，
易求直线的解析式为，
联立，
消掉得，，
，
，
，
，
整理得，，
解得（舍去），
∴当时，．

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