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17.3 一元二次方程根的判别式
第17章 一元二次方程
2020-2021学年度沪科版八年级下册
1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念；
2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况；
3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围.（重点、难点）
学习目标
用公式法求下列方程的根:
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
1)把方程化为一般形式确定a , b , c 的值
3)带入求根公式 计算方程的根
2)计算 的值
复习导入
温故而知新
一般地，对于一元二次方程

如果 ，那么方程的两个根为
问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？
新课导入
回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) .
解：二次项系数化为1，得 x2 + x + = 0 .
配方，得 x2 + x +( )2 -( )2 - = 0,
移项，得 (x + )2 =
问题1：接下来能用直接开平方解吗？
一元二次方程根的判别式
探究新知
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？
(x + )2 ≥ 0 , 4a2 ＞0 .
当 b2– 4ac＞0 时, x1= , x2=
当 b2– 4ac=0 时, x1=x2=
当 b2- 4ac ＜0 时,不能开方(负数没有平方根),
所以原方程没有实数根.
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac.
> 0
= 0
< 0
≥ 0
要点归纳
按要求完成下列表格：
练一练
的值
0
4
根的情况
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
3.判别根的情况，得出结论.
1.化为一般式，确定a,b,c的值.
要点归纳
根的判别式使用方法
2.计算 的值，确定 的符号.
根的判别式的应用
应用1：用根的判别式判断一元二次方程根的情况
例1:已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
B
探究新知
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
应用2：根据方程根的情况确定字母的取值范围
例2:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k>-1 B.k>-1且k≠0
C.k<1 D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即 ，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
B
应用3：不解方程判断一元二次方程的根的情况
例3:不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3,
∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0,
∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
∴方程有两个相等的实数根．
例3:不解方程，判断下列方程的根的情况．
(3) 7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0,
∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.
∴方程无实数根．
根的判别式：b2-4ac
判别式大于0，方程有两个不相等的实数根
判别式小于0，方程没有实根
判别式等于0，方程有两个相等的实根
课堂小结
谢谢聆听

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