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17.5 一元二次方程的应用
第17章 一元二次方程
2020-2021学年度沪科版八年级下册
1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点）
2.掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性.（重点、难点）
学习目标
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
2.解方程
(80－2x)(60－2x)＝1500
复习导入
解：(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式 x2－70x＋825＝0．
(2)确认a，b，c的值 a＝1，b＝－70，c＝825
(3)判断b2－4ac的值
b2－4ac＝702－4×1×825＝1600＞0，
(4)代入求根公式
得x1＝55，x2＝15
3.列一元一次方程方程解应用题的步骤？
①审题，
②找等量关系
③列方程，
④解方程，
⑤答.
小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？
新课导入
平均变化率问题与一元二次方程
填空：
1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元.
探究归纳
7%
4324.5
下降率=
下降前的量-下降后的量
下降前的量
探究新知
2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元.
下降率x
第一次降低前的量
5000(1-x)
第一次降低后的量
5000
下降率x
第二次降低后的量
第二次降低前的量
5000(1-x)(1-x)
5000(1-x)2
5000(1-x)
5000(1-x)2
例1 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？
解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得
5 000 ( 1－x )2 = 3000，
解方程，得
x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
注意
下降率不可为负，且不大于1.
例2 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为x.根据题意，得
答：这个增长率为50%.
200+200(1+x) +200(1+x)2=950,
整理方程，得
4x2+12x-7=0，
解这个方程得
x1=-3.5（舍去），x2=0.5.
注意
增长率不可为负，但可以超过1.
方法归纳
建立一元二次方程模型
实际问题
分析数量关系
设未知数
实际问题的解
解一元二次方程
一元二次方程的根
检 验
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
几何图形与一元二次方程
例3 要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）
27cm
21cm
探究新知
分析:这本书的长宽之比 ： 正中央的矩形长宽之比 ： ，上下边衬与左右边衬之比 ： .
9
9
27cm
21cm
解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬宽度之比为：
9
7
7
7
27cm
21cm
解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得
解方程得
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
方程的哪个根合乎实际意义?
为什么?
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得
27cm
21cm
解得
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
方法点拨
例4 如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm?？
根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm
解：若设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为9cm?
整理，得
解得 x1= x2=3
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm?.
例5：如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？
解：设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为 (92–2x)m,
宽(60-x)m.
(92-2x)(60-x)= 6×885.
解得 x1=105(舍去），x2=1.
注意：结果应符合实际意义
答：水渠宽应挖1m.
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
方法点拨
例6 一组学生组织春游，预计共需费用120元.后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元.问原来这组学生的人数是多少?
分析：设原来这组学生的人数是x人，则把体重信息整理成下表：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
总费用/元
人数/人
每人费用/元
原来
现在
解：设原来这组学生的人数是x人，由题意得，
两边同乘以x(x+2)，整理，得，
x2+2x－80=0.
解这个方程，得，
x1=-10，x2=8.
经检验x1=-10，x2=8都是原方程的根，但x1=-10不符合题意，所以取x=8.
答：原来这组学生是8人.
解分式方程应用题时，所得根不仅要检验根是否为增根，还要考虑它是否符合题意.
方法点拨
一元二次方程的应用
增长率
a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
降低率
a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.
平均变化率问题
几何图形
常见几何图形面积是等量关系.
其他类型问题
课堂小结
谢谢聆听

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