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一元二次方程单元复习
第17章 一元二次方程
2020-2021学年度沪科版八年级下册
一、本章知识结构图
实际问题
实际问题的答案
数学问题
数学问题的解
降
次
设未知数
列方程
检 验
解 方 程
配方法
公式法
分解因式法
复习导入
1.比较你所学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数与次数．你能写出各种方程的一般形式吗？
所学过的整式方程有：一元一次方程、一元二次方程和二元一次方程．
一元一次方程的未知数的个数为1个，次数为1 ．
一元二次方程的未知数的个数为1个，次数为2 ．
二元一次方程的未知数的个数为2个，次数为1．
一元一次方程的一般形式为： ax + b = 0 ( a≠0 )
一元二次方程的一般形式为： ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )
二元一次方程的一般形式为： ax + by = 0 ( a≠0, b≠0 )
二、回顾与思考
2.一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下适用？体会降次在解一元二次方程中的作用．
配方法、公式法和因式分解法．
配方法、公式法适用于所有的一元二次方程
因式分解法适用于某些一元二次方程
总之解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次
思 想
化为一次方程
得到一元二次方程的解
降次
解一元一次方程
3.求根公式与配方法有什么关系？什么情况下一元二次方程有实数根？
求根公式是通过配方法得到的，即任何一个一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )，都可以通过配方转化为
当b2－4ac≥0时，一元二次方程 有实数根．
ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )
考点一 一元二次方程的定义
例1 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A.
A
1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
4
-2
0
针对训练
考点二 一元二次方程的根的应用
解析 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
例2 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m= .
【易错提示】求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意.
-1
针对训练
2. 一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为 .
-1
【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1；（a-b)2与（a+b)2 要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯
解析 (1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；
（2）先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长．
考点三 一元二次方程的解法
例3 (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（ ）
A. (x-1)2=6 B.(x+2)2=9
C. (x+1)2=6 D.(x-2)2=9
(2) (易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（　）
　A．13 B． 15 C．18 D．13或18
A
A
3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24
A
针对训练
4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0
（要求写出必要解题步骤）.
4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0
（要求写出必要解题步骤）.
考点四 一元二次方程的根的判别式的应用
例4 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. m<2 C. m ≥0 D. m<0
A
【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a,b,c的值.
解析 根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式 >0,即42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解得 ,故选A.
Δ
5.下列所给方程中，没有实数根的是（ ）
A. x2+x=0 B. 5x2-4x-1=0
C.3x2-4x+1=0 D. 4x2-5x+2=0
6.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是　　（写出一个即可）．
D
0
针对训练
考点五 一元二次方程的根与系数的关系
例5 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝ ．
25
解析 根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25.
【重要变形】
针对训练
7. 已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的值等于（ ）
A. 7 B. -2 C. D.
A
考点六 一元二次方程的应用
例6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.
(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？
（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
市场销售问题
解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
单件利润
销售量（件）
每星期利润（元）
正常销售
涨价销售
4
32
x-20
32-2(x-24)
150
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x.
（2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
解得 x1=25, x2=35.
由题意x≤28, ∴x=25,即售价应当为25元.
【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根.
128
例7 菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？
解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得
5(1-x)2=3.2
解得 x1=1.8 (舍去）, x2=0.2=20%.
答：平均每次下调的百分率是20%.
平均变化率问题
几何问题
例8 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.
图1
解析 本题利用图形的变换——平移，把零散的图形面积集中化，再建立方程并求解.
解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米，列方程得
（20-x)(32-x)=540，
整理得 x2-52x+100=0.
解得 x1=50(舍去），x2=2.
答：道路宽为2米.
图2
图1
解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解.
（注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等）
平移转化
方法总结
一元二次方程
一元二次方
程的定义
概念：①整式方程； ②一元； ③二次.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
一元二次方程的解法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
根的判别式及
根与系数的关系
根的判别式： Δ=b2-4ac
根与系数的关系
一元二次方程的应用
营销问题、平均变化率问题
几何问题、数字问题
课堂小结
谢谢聆听

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