资源简介

1.4.2
三角形的角平分线
1．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(
A　　)
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
2．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是(
C
　　)
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
3．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是(　A　)
A．∠1＝∠2
B．∠1>∠2
C．∠1<∠2
D．无法确定
4.如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰在∠B，∠DAC，∠ECA的平分线的交点处．上述结论中，正确的有(　D　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【点拨】点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，根据角平分线的判定可知①②③④都是正确的．
5.[2020广西玉林期中]如图,直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则供选择的地址有
(　D　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
【点拨】　满足条件的地址有:①三条直线构成的三角形的内角平分线的交点,共1处;②三条直线构成的三角形的两条外角平分线的交点,共3处.故选D.
6.如图,∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P,则下列结论正确的是
(　D　)
A.PA平分∠CPB
B.AP平分BC
C.AP⊥BC
D.AP平分∠CAB
【点拨】　如图,过点P分别作AB,BC,AC的垂线,垂足分别为E,G,D.∵∠ABC,
∠ACB外角的平分线相交于点P,∴EP=GP,GP=DP,∴EP=DP,∴AP平分∠CAB.故选D.
7.点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC的度数为(　C　)
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
【点拨】如图，由题可知，BO，CO为三角形的角平分线，
∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)
＝180°－(∠ABC＋∠ACB)
＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A＝120°.
【答案】C
8．如图，已知O是△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，过点O作OD⊥BC于D，且OD＝2
cm.若△ABC的周长是17
cm，则△ABC的面积为(　C　)
A．12
cm2
B．15
cm2
C．17
cm2
D．34
cm2
【点拨】∵O为△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，
∴O到AB，BC，CA边的距离相等，均等于OD的长，
∴S△ABC＝BC·OD＋AC·OD＋AB·OD
＝OD·(BC＋AC＋AB)＝×2×17＝17(cm2)．
【答案】C
9.【2019·滨州】如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：
①AC＝BD；
②∠AMB＝40°；
③OM平分∠BOC；
④MO平分∠BMC.
其中正确的个数为(　B　)
A．4
B．3
C．2
D．1
【点拨】由SAS证明△AOC≌△BOD，得出AC＝BD，故①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得∠AMB＋∠OAC＝∠AOB＋∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，故②正确；作OG⊥MC于点G，OH⊥MB于点H，则∠OGC＝∠OHD＝90°，由全等三角形的性质得出∠OCG＝∠ODH，由AAS证明△OCG≌△ODH，得出OG＝OH，由角平分线的判定定理可得MO平分∠BMC，故④正确；
由已知条件不能得到OM平分∠BOC，故③错误．
【答案】B
10.如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为12，18，24，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC＝(　C　)
A．1：1：1
B．1：2：3
C．2：3：4
D．3：4：5
【点拨】∵O是△ABC三条角平分线的交点，∴O到AB，BC，AC的距离相等．∵AB，BC，AC的长分别为12，18，24，∴S△OAB:S△OBC:S△OAC＝AB:CB:AC＝12:18:24＝2:3:4.故选C.
【答案】C
二．填空题
11.如图,在等边△ABC中,若∠BAC,∠ABC的平分线AD,BE交于点O,则AO∶OD
=__2∶1___.?
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，CD是∠ACB的平分线，若BD＝2，AC＝8，则△ACD的面积为　8　　.
　　
13.[2019浙江绍兴柯桥区期末]如图,点P是△ABC外的一点,PD⊥BA交BA的延长线于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC交BC的延长线于点F,连接PB,PC,若PD=PE=PF,∠BAC=64°,则∠BPC的度数为__32°__.?
【解析】　∵PD=PE=PF,PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC,∴CP平分∠ACF,BP平分∠ABC,∴∠PCF=∠ACF,
∠PBF=∠ABC,∴∠BPC=∠PCF-∠PBF=(∠ACF-∠ABC)=∠BAC=32°.
如图,已知△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,连接AO并延长交BC于点D,过点O作OH⊥BC于点H,若∠BAC=60°,OH=3,则OA的长为__6__.?
【解析】　如图,过点O作OE⊥AB于点E,∵BO平分∠ABC,OE⊥AB,OH⊥BC,
∴OE=
OH=3,又∵BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,∴AO平分∠BAC,∴∠OAE=
∠BAC=30°,∴在Rt△AOE中,OA=2OE=6.
三．解答题
15．如图，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D.求证：CE＝DE.
证明：∵P是∠AOB的平分线上的一点，
PC⊥OA，PD⊥OB,
∴PC＝PD，∠POC＝∠POD，
∠PCO＝∠PDO＝90°.
∴∠POC＋∠CPE＝90°，
∠POD＋∠DPE＝90°，
∴∠CPE＝∠DPE.在△CPE和△DPE中，
，
∴△CPE≌△DPE(SAS)，
∴CE＝DE.
16．(1)如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，
BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2.求证：OB＝OC.
(2)如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，且OB＝OC.
求证：∠1＝∠2.
(1)证明：∵∠1＝∠2，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，
∴OD＝OE(角平分线上的点到角的两边的距离相等)．
在△OBD和△OCE中，
∴△OBD≌△OCE.∴OB＝OC.
(2)解：在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE.∴OD＝OE.∴∠1＝∠2(角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)．
17．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF.
(1)求证：AD平分∠BAC；
（2）猜想AB＋AC与AE之间的数量关系，并给予证明．
(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∵BD＝CD，BE＝CF
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE＝DF，故AD平分∠BAC.
解：AB＋AC＝2AE.
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD.在△AED与△AFD中，
∵∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，
∴△AED≌△AFD，
∴AE＝AF.
∴AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF＝AE＋AE＝2AE.
18.[2020黑龙江哈尔滨南岗区期末]已知:在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.
(1)如图1,求∠BDC的度数;
(2)如图2,连接AD,作DE⊥AB于点E,若DE=2,AC=7,求△ADC的面积.
　解：(1)∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°.
∵CD平分∠ACB,
∴∠DCB=∠ACB=×40°=20°,
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-30°-20°=130°.
(2)如图,过点D作DF⊥AC于点F,DH⊥BC于点H,
∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DH⊥BC,
∴DH=DE=2.
∵CD平分∠ACB,DF⊥AC,DH⊥BC,
∴DF=DH=2,
∴△ADC的面积=DF·AC=×2×7=7.
19．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：
(1)CO平分∠ACD；
(2)OA⊥OC；
(3)AB＋CD＝AC.
（1）证明：如图，过点O作OE⊥AC于点E.
∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，∴OB＝OE.
∵点O为BD的中点，∴OB＝OD.∴OE＝OD.
又∵∠D＝90°，∠OEC＝90°，
∴CO平分∠ACD.
（2）解：在Rt△ABO和Rt△AEO中，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)．∴∠AOB＝∠AOE＝∠BOE.
同理，∠COD＝∠COE＝∠DOE.∵∠AOC＝∠AOE＋∠COE，
∴∠AOC＝∠BOE＋∠DOE＝×180°＝90°.∴OA⊥OC.
（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB＝AE.同理可得CD＝CE.
∵AE＋CE＝AC，
∴AB＋CD＝AC.
20.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,AD,CE相交于点F.
(1)请判断FE与FD之间的数量关系,并说明理由;
(2)如图2,如果∠ACB不是直角,其他条件不变,(1)中所得结论是否仍然成立?请说明理由.
证明：(1)FE=FD.理由如下:
过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥BC于点N,
则∠FME=∠FND=90°,
∵AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,∠ACB=90°,∠B=60°,
∴∠BAC=90°-∠B=30°,∠ACE=∠ACB=45°,
∴∠BAD=∠BAC=15°,
∴∠FEM=∠BAC+∠ACE=30°+45°=75°,∠FDN=∠B+∠BAD=60°+15°=75°,
∴∠FEM=∠FDN.
∵∠BAC,∠BCA的平分线AD,CE交于点F,
∴点F在∠ABC的平分线上,
又∵FM⊥AB,FN⊥BC,∴FM=FN,
∴△FEM≌△FDN,
∴FE=FD.
(2)成立.理由如下:
过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥BC于点N,
则FM=FN,∠FME=∠FND=90°,
∵∠FDN=∠B+∠BAD=60°+∠BAC,∠FEM=∠BAC+∠ACE=∠BAC+(180°-∠B-∠BAC)=∠BAC+(180°-60°-∠BAC)=60°+∠BAC,∴∠FEM=∠FDN,
∴△FEM≌△FDN,
∴FE=FD.1.4.2
三角形的角平分线
1．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(
　　)
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
2．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是(
　　)
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
3．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是(　　)
A．∠1＝∠2
B．∠1>∠2
C．∠1<∠2
D．无法确定
4.如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰在∠B，∠DAC，∠ECA的平分线的交点处．上述结论中，正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5.[2020广西玉林期中]如图,直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则供选择的地址有
(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
6.如图,∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P,则下列结论正确的是
(　　)
A.PA平分∠CPB
B.AP平分BC
C.AP⊥BC
D.AP平分∠CAB
7.点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC的度数为(　　)
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
8．如图，已知O是△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，过点O作OD⊥BC于D，且OD＝2
cm.若△ABC的周长是17
cm，则△ABC的面积为(　　)
A．12
cm2
B．15
cm2
C．17
cm2
D．34
cm2
9.【2019·滨州】如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：
①AC＝BD；
②∠AMB＝40°；
③OM平分∠BOC；
④MO平分∠BMC.
其中正确的个数为(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
10.如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为12，18，24，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC＝(　　)
A．1：1：1
B．1：2：3
C．2：3：4
D．3：4：5
二．填空题
11.如图,在等边△ABC中,若∠BAC,∠ABC的平分线AD,BE交于点O,则AO∶OD
=_____.?
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，CD是∠ACB的平分线，若BD＝2，AC＝8，则△ACD的面积为　　　.
　　
13.[2019浙江绍兴柯桥区期末]如图,点P是△ABC外的一点,PD⊥BA交BA的延长线于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC交BC的延长线于点F,连接PB,PC,若PD=PE=PF,∠BAC=64°,则∠BPC的度数为_________.?
如图,已知△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,连接AO并延长交BC于点D,过点O作OH⊥BC于点H,若∠BAC=60°,OH=3,则OA的长为____.?
三．解答题
15．如图，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D.求证：CE＝DE.
16．(1)如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，
BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2.求证：OB＝OC.
(2)如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，且OB＝OC.
求证：∠1＝∠2.
17．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF.
(1)求证：AD平分∠BAC；
（2）猜想AB＋AC与AE之间的数量关系，并给予证明．
18.[2020黑龙江哈尔滨南岗区期末]已知:在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.
(1)如图1,求∠BDC的度数;
(2)如图2,连接AD,作DE⊥AB于点E,若DE=2,AC=7,求△ADC的面积.
　
19．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：
(1)CO平分∠ACD；
(2)OA⊥OC；
(3)AB＋CD＝AC.
20.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,AD,CE相交于点F.
(1)请判断FE与FD之间的数量关系,并说明理由;
(2)如图2,如果∠ACB不是直角,其他条件不变,(1)中所得结论是否仍然成立?请说明理由.

展开更多......

收起↑