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18.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
第18章 勾股定理
2020-2021学年度沪科版八年级下册
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.（重点）
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）
学习目标
2.一个三角形满足什么条件是直角三角形？
①有一个内角是90°，那么这个三角形就是直角三角形;
②如果一个三角形中，有两个角的和是90°，那么这个三角形就是直角三角形.
我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系，来判断是否为直角三角形呢？
1. 直角三角形有哪些性质？
(1)有一个角是直角；
(2)两锐角互余；
(3)勾股定理；
(4)直角三角形30°角的性质.
新课导入
B
C
A
问题1 勾股定理的内容是什么?
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
b
c
a
问题2 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c=5
c=6.5
c=8.5
思考 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？
复习导入



同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
情景导入
思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?
大禹治水
相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角.
　据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
相传，大禹治水
时也用这类似的
方法确定直角.
合作探究
活动：探究勾股定理的逆定理的证明及应用
探究新知
如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形．
具体做法：把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第４个结和第8个结钉牢（拉直绳子），这时构成了一个三角形，其中有一个角是直角 .
　　 实验操作： 下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？
① 2.5，6，6.5； ② 4，7.5，8.5．
动手画一画　
（1）这二组数都满足
吗？
（2）它们都是直角三角形吗？
（3）提出你的猜想：
命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
命题2与上节命题1的题设和结论有何关系?
由上面的几个例子你有什么发现？
命题1：
直角三角形
a2+b2=c2
命题2：
直角三角形
a2+b2=c2
题设
结论
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
勾股定理
如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c满足a2+b2=c2.
勾股定理的逆命题
互逆命题
△ABC≌ △ △A′B′C′ 　　
？
证明结论 　
∠C是直角　　　
△ABC是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
　已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
　求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边
分别为a,b的Rt△A′B′C′
　已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
　求证：△ABC是直角三角形．
证明：作Rt△A′B′C′，
使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)
∴∠C= ∠C′=900 △ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
A
C
B
a
b
c
a2+b2=c2
直角三角形
特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角 ，最长边所对角为直角.
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15;
(2) a=13 b=14 c=15;
(4) a:b: c=3:4:5;
(3) a=1 b=2 c= ;
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方.
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15;
解：
（1）因为152+202=625，252=625，所以152+202=252，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠A是直角.
(2) a=13 b=14 c=15;
解：
（2）因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.
(4) a:b: c=3:4:5;
解：
（4）设a=3k,b=4k,c=5k,因为（3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
解：
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(3) a=1 b=2 c= ;
奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25；
9，40，41；等等
偶数类：4，3，5；6，8，10；8，15，17；
10，24，26；等等
解题小结：
勾股数：
像15，20，25这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到
的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
B
A
课堂练习
3.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式
，则△ABC的形状是
________________．
等腰直角三角形
4.一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm;
12
5.已知△ABC，AB=n?-1，BC=2n，AC=n?+1(n为大
于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，
哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵AB?+BC?=(n?-1)?+(2n)?
=n4 -2n?+1+4n?
=n4 +2n?+1
=(n?+1)?
=AC?，
∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.
6.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10， AD=CD= ,求四边形ABCD 的面积.
∴ △ ABC是直角三角形且∠B是直角.
∴ △ ADC是直角三角形且∠ D是直角，
∴S 四边形 ABCD=
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是
否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
课堂小结
谢谢聆听

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