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浙教版九年级数学下册单元测试卷
第一章 解直角三角形
姓名：___________班级：___________学号：___________
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
在中，，都是锐角，且，，则三个角的大小关系是
A. B.
C. D.
在中，若，，则这个三角形一定是
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
已知锐角满足，则
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
，，的大小关系是
A. B.
C. D.
如图，正六边形螺帽的边长是2 cm，这个扳手的开口a的值应是
A.
B.
C.
D. 1 cm
如图，关于与的同一种三角函数值，有三个结论：，，正确的结论为
A. B. C. D.
如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是和，则该电线杆PQ的高度
A.
B.
C.
D.
九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，其中方田章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积弦矢矢，弧田如图是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则
A. B. C. D.
在长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A、B、C、D四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是
A.
B.
C.
D.
如图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为，且，，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若水面上升1m，水面宽为 ．
A. 　 B. 　　 C. 　 D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
已知中，，，，则______．
在平面直角坐标系中，O是原点，已知点和点，则的值等于________
如果方程的两个根分别是的两条边，最小的角为A，那么tanA的值为 ．
在中，，，，将边AC绕点A旋转得到线段AD，则的值为______ ．
如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C、F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为，则AE长为_______．
公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则________．
如图，在矩形ABCD中，，，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么的值为______．
如图，平面直角坐标系xOy中，点A在反比例函数的图象上，点B在第二象限，，，连接AB交y轴于点若，则点B的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分）
先化简，再求值：，其中
为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车．某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，隧道AB在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点P处测得点A的俯角为，继续飞行1500米到达点Q处，测得点B的俯角为．
填空：______度，______度；
求隧道AB的长度结果精确到1米．
参考数据：，
有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角，，，．
若，求点A离地面的高度AE；
参考值：，，，
调节的大小，使A离地面高度时，求此时C点离地面的高度CF．
如图所示的是--款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂，中臂，底座．
若上臂AB与水平面平行，计算点A到地面的距离．
在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图2，计算这时点A到地面的距离与图1状态相比，这时点A向前伸长了多少？
如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距海里，船C在船A的北偏东方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东方向上．
分别求出A与C，A与D之间的距离AC和如果运算结果有根号，请保留根号．
已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？参考数据：，
定义：过三角形的一个顶点作该三角形的高线和角平分线，这两条线段所夹的角称为该三角形的珍珠角．
如图1，是的珍珠角，，，，请用和表示．
如图2，中，，以AC为直径作交BC于点D，点F在上，AF交DC于点E，求证：是的珍珠角．
在的条件下，如图3，连结OD交AE于点G，，．
求证：；
若，，求的值．
答案和解析
1.【答案】D
解：，，
，．
．
A.
故选D．
2.【答案】A
解：，，
，．
．
为锐角三角形．
故选：A．
3.【答案】C
解：，，
故选C．
4.【答案】D
解：根据锐角三角函数的概念，知
，，．
又，正弦值随着角的增大而增大，
．
故选D．
5.【答案】A
解：如图，
连接AC，过B作于D；
，
是等腰三角形，
；
此多边形为正六边形，
，
，
，，
．
故选A．
6.【答案】A
解：根据图形得：，
，，．
正确．
故选A．
7.【答案】A
解：延长PQ交直线AB于点E，设米．
在直角中，，
则米；
在直角中，米，
米，
则，
解得：．
则米．
在直角中，米．
米．
答：电线杆PQ的高度是米．
故选：A．
8.【答案】B
解：如图，作于H．
由题意：，，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：B．
9.【答案】A
解：如图，作EF平行于长方形的长，GH平行于长方形的宽，交于O，
设正方形边长为x，EF与OD边成的角为，
则GH与OA、OC边成的角为，AB与AJ边成的角为，
在、中，
，
同理得出
解得
将代入
解得，
两边平方相加得，
所以正方形的边长．
故选A．
10.【答案】A
解：设，
在中，
，
．
在中，
，
，
，
，
，，
点P的坐标为，
若水面上升1m后到达BC位置，如图，
过点，的抛物线的解析式可设为，
点P的坐标在抛物线上，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
当时，，
解得：，，
．
故选A．
11.【答案】或
解：作交或BC延长线于点D，
如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在中，，，
，，
在中，，
，
则；
如图2，当AB、AC在AD的同侧时，
由知，，，
则，
综上，或，
故答案为或．
12.【答案】
解：如图，作轴，垂足为C，
在中，，
故答案为．
13.【答案】或
解：解方程得，
，，
当3是直角边时，
最小的角为A，
当3是斜边时，
根据勾股定理，的邻边，
所以的值为或．
14.【答案】或3
解：如图，将边AC绕点A顺时针旋转得到线段AD，将边AC绕点A逆时针旋转得到线段，
，，
，
，A，D三点共线，
是等腰直角三角形，，
，
延长AB交于E，过E作于F，
是等腰直角三角形，
，，，
，
，
设，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的值为或3，
故答案为：或3．
15.【答案】
解：正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为，
设正六边形的边长为r，
，
解得．
则，
如图，过点F作于点D，
，
，
．
故答案为．
16.【答案】
解：大正方形的面积是125，小正方形面积是25，
大正方形的边长为，小正方形的边长为5，
，
，
则．
故答案为．
17.【答案】
解：四边形ABCD为矩形，
，，
矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
，，
在中，，
，
设，则
在中，，
，解得，
，
．
故答案为：．
18.【答案】
解：过B点作轴，过A点作轴，它们的交点为D，则，如图，
轴，轴，
，
设，则，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，，
或舍去，
，，
，，
．
故答案为．
19.【答案】解：原式
．
当时，
原式．
20.【答案】，45；
如图，过点P作于点M，过点Q作于点N，
则，，
在中，，
，
在中，
，
，
米．
答：隧道AB的长度约为2729米．
解：点P处测得点A的俯角为，点Q处测得点B的俯角为．
度，度；
故答案为30，45；
见答案．
21.【答案】解：如图，过O作于点G，
，
，
，
平分，
，
，
在中，，
，
答：点A离地面的高度AE约为132cm；
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
答：C点离地面的高度CF为100cm．
22.【答案】解：如图1，过点C作，垂足为M，则，
，，
，
，，
，
即点A到地面的距离为；
如图2，过点B作BG垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作BG的垂线，垂足分别为E，F，
，，
，，，
，，，
点A到地面的距离为．
由图1可知，点A距底座的距离为，
点A向前伸长的距离为．
23.【答案】
解：如图，作，
由题意得：，，
设海里，
在中，；
在中，
，
解得：．
．
在中，，，则．
过点D作于点F，
设，则，
，
解得：，
．
答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为海里．
由可知，海里，
，
所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．
24.【答案】解：是的角平分线，
，
即，
，
是的高，
，
，，
，
，，
，
；
为的直径，
，
是的高，
，，
，
是的角平分线，
是的珍珠角；
在中，，
在中，，
，
，
，
，
；
如图3，在DC上截取，连结AH，OF．
在和中，
≌，
，，
，，
，
，
，
．
，，
，
∽，
，，
，
即，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，
．
，
，
，
，
，
设，则，在中，由勾股定理得，
，
，
，
，

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