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第五章图形与变换第35节相似三角形
■考点1比例线段
1.
比例线段
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例的基本性质
(1)基本性质：?
ad＝bc
；（b、d≠0）
(2)合比性质：?＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)?
＝k
.（b、d、···、n≠0）
3.平行线分线段成比例定理及推论
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线
段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4.黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
■考点2.相似三角形的性质与判定
1.相似三角形的判定
(1)
两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
(2)
两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.
(3)
三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例.
2.相似三角形的性质
(1)对应角
相等
，对应边
成比例
．
(2)周长之比等于
相似比
，面积之比等于
相似比的平方
．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于
相似比
．
3.相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.
■考点3.相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
■考点1比例线段
◇典例：
（2020年湖南省湘潭市）若，则________．
【考点】比例的基本性质
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求职即可；
解：由可设，，k是非零整数，
则．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
（2020年吉林省）如图，．若，，则______．
【考点】平行线分线段成比例定理
【分析】根据平行线分线段成比例得到，由条件即可算出DF的值．
解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（
）
A．1．24米
B．1．38米
C．1．42米
D．1．62米
【考点】黄金分割比
【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．
解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案为：A
【点评】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
◆变式训练
（2020年贵州省毕节市）已知，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】比例的性质
【分析】将代入=+1中即可求出结论．
解：∵，
∴=+1=+1=．
故选D．
【点评】本题考查了比例的性质．
（2020年内蒙古鄂尔多斯市）下列说法正确的是（
）
①的值大于；
②正六边形的内角和是720°，它的边长等于半径；
③从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是；
④甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s2甲＝1.3，s2乙＝1.1，则乙的射击成绩比甲稳定．
A．①②③④
B．①②④
C．①④
D．②③
【考点】正多边形和圆，黄金分割，概率公式
【分析】分别根据黄金数的近似值、多边形的内角和与半径的定义与性质、概率公式、方差的意义分别判断可得．
解：①的值约为0.618，大于，此说法正确；
②正六边形的内角和是720°，它的边长等于半径，此说法正确；
③从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是，此说法错误；
④∵s2甲＝1.3，s2乙＝1.1，∴s2甲＞s2乙，故乙的射击成绩比甲稳定，此说法正确；
故选：B．
【点评】本题考查了黄金数的近似值、多边形的内角和与半径的定义与性质、概率公式、方差的意义；熟练掌握相关知识的性质与意义是解题的关键．
（2020年黑龙江省哈尔滨市）如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质
【分析】根据由平行线易得△AEF∽△ACD，△CEG∽△CAB，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
解：∵，
∴△AEF∽△ACD，
∴，故选项A错误；
∴，
∵，
∴△CEG∽△CAB，
∴，
∴，故选项B错误；，故选项D错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项正确C．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能得出正确的比例式是解此题的关键．
■考点2.相似三角形的性质与判定
◇典例
（2020年贵州省铜仁市）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　）
A．3
B．2
C．4
D．5
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答．
解：∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，
∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，
∵△FHB∽△EAD，
∴，
即＝2，
解得，EA＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质进行解题．
（2020年内蒙古通辽市）如图，交双曲线于点A，且，若矩形的面积是8，且轴，则k的值是(　　　)
A．18
B．50
C．12
D．
【考点】相似三角形的判定和性质，反比例函数表达式，矩形的性质
【分析】过点A和点C分别作x轴的垂线，垂足为E和F，得到△OAE∽△OCF，设点A（m，n），求出AB和BC，利用矩形ABCD的面积为8求出mn，即k值.
解：过点A和点C分别作x轴的垂线，垂足为E和F，
∴AE∥CF，
∴△OAE∽△OCF，
∵OC：OA=5：3，
∴OF：OE=CF：AE=5：3，
设点A（m，n），则mn=k，
∴OE=m，AE=n，
∴OF=，CF=，
∴AB=OF-OE=，BC=CF-AE=，
∵矩形ABCD的面积为8，
∴AB·BC=×=8，
∴mn=18=k，
故选A.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数表达式，矩形的性质，解题的关键是利用相似三角形的性质表示出线段的长.
◆变式训练
（2020年天津市）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】全等三角形的性质,旋转的性质,相似三角形的判定与性质
【分析】本题可通过旋转的性质得出△ABC与△DEC全等，故可判断A选项；可利用相似的性质结合反证法判断B，C选项；最后根据角的互换，直角互余判断D选项．
解：由已知得：△ABC△DEC，则AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A选项错误；
∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，
故△AEF△ABC，则，
假设BC=EF，则有AE=AB，
由图显然可知AEAB，故假设BC=EF不成立，故B选项错误；
假设∠AEF=∠D，则∠CED=∠AEF=∠D，
故△CED为等腰直角三角形，即△ABC为等腰直角三角形，
因为题干信息△ABC未说明其三角形性质，故假设∠AEF=∠D不一定成立，故C选项错误；
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
又∵∠A=∠D，
∴∠B+∠D=90°．
故AB⊥DF，D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具，另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用．
（2020年浙江省杭州市）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②求λ的值．
【考点】正方形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定与性质
【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；
（2）①要证明点G为CD边的中点，只要证明△ADG≌△FGC即可，然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FGC的条件，从而可以证明结论成立；
②根据题意和三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．
解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，
∴BE＝EC＝1，
∴AE＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；
（2）①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FCG中
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
即点G为CD的中点；
②设CD＝2a，则CG＝a，
由①知，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GDF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴，
∵GC＝a，FC＝2a，
∴，
∴，
∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，
∴λ＝．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理的应用、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．
■考点3.相似三角形的应用
◇典例
（2020年山西省）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（
）
A．图形的平移
B．图形的旋转
C．图形的轴对称
D．图形的相似
【考点】相似三角形的应用
【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；
解：根据题意画出如下图形：可以得到，则
即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度
故选：D.
【点评】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.
◆变式训练
（2020年甘肃省天水市）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是(　　　)
A．
B．
C．
D．
【考点】相似三角形的应用
【分析】先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．
解：∵，
∴AC=1.2m+12.8m=14m
∵标杆和建筑物CD均垂直于地面
∴BE//CD
∴△ABE∽△ACD
∴,即,解得CD=17.5m．
故答案为A．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．
（2020年四川省泸州市）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】等腰三角形的性质,勾股定理的应用,黄金分割
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，
∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，
故选：A.
【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。
（2020年辽宁省营口市）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行线分线段成比例定理
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答．
解：∵DE//AB，
∴
∴的值为．
故答案为A．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键．
（2020年黑龙江省大庆市）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（
）
A．或
B．15
C．
D．
【考点】勾股定理，相似三角形的性质
【分析】判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．
解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则，
若m是斜边，则；
在第二个直接三角形中，若n是直角边，则，
若n是斜边，则；
又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10不能同时取，
即当m=5，，，
当，n=10，，
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键．
（2020年海南省）如图，在矩形中，点在边上，和交于点若，则图中阴影部分的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质
【分析】过G作GN⊥BC于N，交EF于Q，同样也垂直于DA，利用相似三角形的性质可求出NG，GQ，以及EF的长，再利用三角形的面积公式可求出△BCG和△EFG的面积，用矩形ABCD的面积减去△BCG的面积减去△EFG的面积，即可求阴影部分面积．
解：过作GN⊥BC于N，交EF于Q，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△EFG∽△CBG，
∵，
∴EF：BC=1：2，
∴GN：GQ=BC：EF=2：1，
又∵NQ=CD=6，
∴GN=4，GQ=2，
∴S△BCG=×10×4=20，
∴S△EFG=×5×2=5，
∵S矩形BCDA=6×10=60，
∴S阴影=60-20-5=35．
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系．
（2020年湖南省娄底市）若，则________．
【考点】比例的基本性质
【分析】根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可．
解：由可得，，
代入．
故答案为．
【点评】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键．
（2020年山东省菏泽市）如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则的长为_______．
【考点】矩形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理
【分析】由矩形的性质求得BD，进而求得PD
，再由AB∥CD得，求得CQ，然后由勾股定理解得BQ即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，，，
∴∠BAD=∠BCD=90?，AB=CD=5，BC=AD=12，AB∥CD，
∴，又=5，
∴PD=8，
∵AB∥DQ，
∴，即
解得：CQ=3，
在Rt△BCQ中，BC=12，CQ=3，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，会利用平行线成比例定理列相关比例式是解答的关键．
（2020年上海市）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是____．
【考点】直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质
【分析】根据勾股定理得到AC=10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，证明△AOE∽△ACD即可求出与AD相切时的AO值；如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，证明△COF∽△CAB即可求出BC相切时的AO值，最后即可得到结论．
解：在矩形ABCD中，∵∠D=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，
如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，
则OE⊥AD，∴OE//CD，
∴△AOE∽△ACD，
∴，
∴，
∴AO=；
如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，
则OF⊥BC，∴OF//AB，
∴△COF∽△CAB，
∴，
∴，
∴OC=，
∴AO=，
∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜AO＜．
故答案为：＜AO＜．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
（2020年辽宁省营口市）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为_____．
【考点】规律型：图形的变化类，相似三角形的判定与性质
【分析】解直角三角形求出A1B1，A2B2，A3B3，…，探究规律利用规律即可解决问题．
解：在Rt△OA1B1中，
∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1?tan60°＝，
∵A1B1∥A2B2，
∴，
∴，
∴A2B2＝（1+），
同法可得，A3B3＝（1+）2，
……
由此规律可知，A2020B2020＝（1+）2019，
故答案为：（1+）2019．
【点评】本题考查解直角三角形，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
（2020年广西北部湾经济区）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】相似三角形的应用
【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得．
解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴．
设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，
∴
解得：x=20
所以，AN=20．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．
（2020年浙江省衢州市）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD=∠CBA．
（2）求OE的长．
【考点】垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质
【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可；
（2）证明△AEC∽△BCA，推出，求出EC即可解决问题．
（1）证明：∵AE=DE，OC是半径，
∴，
∴∠CAD=∠CBA；
（2）解：如图：
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AE=DE，
∴OC⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ACB，
∴△AEC∽△BCA，
∴，
∴，
∴CE=3.6，
∵OC=AB=5，
∴OE=OC﹣EC=5﹣3.6=1.4．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，证明△AEC∽△BCA是解题关键．
1、
选择题
（2020年山东省潍坊市）如图，在中，，以点O为圆心，2为半径的圆与交于点C，过点C作交于点D，点P是边上的动点．当最小时，的长为（
）
A．
B．
C．1
D．
【考点】轴对称---最短路线问题，平行线分线段成比例
【分析】延长CO交于点E，连接EP，交AO于点P，则PC+PD的值最小，利用平行线份线段成比例分别求出CD，PO的长即可．
解：延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，如图，
∵CD⊥OB，
∴∠DCB=90°,
又，
∴∠DCB=∠AOB，
∴CD//AO
∴
∵OC=2，OB=4，
∴BC=2,
∴，解得，CD=；
∵CD//AO，
∴，即，解得，PO=
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称---最短距离问题，同时考查了平行线分线段成比例，掌握轴对称性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
（2020年四川省遂宁市）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理
【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键．
（2020年海南省）如图，在中，的平分线交于点交的延长线于点于点，若，则的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【分析】先根据平行四边形的性质说明△ABE是等腰三角形、求得BE、EC，再结合BG⊥AE，运用勾股定理求得AG，进一步求得AE和△ABE的周长，然后再说明△ABE∽△FCE且相似比为，最后根据相似三角形的周长之比等于相似比列方程求解即可．
解：∵
∴AD∥BC，AB//DF
∴∠DAE=∠BEA
∵∠DAE=∠BAE
∴∠BAE=∠BEA
∴BE=AB=10,即EC=BC-BE=5
∵BG⊥AE
∴AG=EG=AE
∵在Rt△ABG中，AB=10,BG=8
∴
∴AE=2AG=12
∴△ABE的周长为AB+BE+AE=10+10+12=32
∵AB∥DF
∴△ABE∽△FCE且相似比为
∴
,解得=16．
故答案为A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解答本题的关键．
（2020年内蒙古呼和浩特市）如图，把某矩形纸片沿，折叠（点E、H在边上，点F，G在边上），使点B和点C落在边上同一点P处，A点的对称点为、D点的对称点为，若，为8，的面积为2，则矩形的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质
【分析】设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出D′H＝x，由S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，可解得x=2，分别求出PE和PH，从而得出AD的长.
解：∵四边形ABC是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
设AB=CD=x，
由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，
∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，
又∵，∠A′PF=∠D′PG=90°，
∴∠A′P
D′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°，
∴∠A′PE=∠D′HP，
∴△A′EP∽△D′PH，
∴A′P2：D′H2=8：2，
∴A′P：D′H=2：1，
∵A′P=x，
∴D′H=x，
∵S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，即，
∴x=2（负根舍弃），
∴AB=CD=2，D′H=DH=，D′P=A′P=CD=2，A′E=2D′P=4，
∴PE=，PH=，
∴AD==，
故选D.
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
（2020年江苏省无锡市）如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为（
）
A．①④
B．②④
C．①③
D．②③
【考点】等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定
【分析】①通过分析图形，由线段在边上运动，可得出，即可判断出与不可能相等；
②假设与相似，设，利用相似三角形的性质得出的值，再与的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；
③过P作PE⊥BC于E，过F作DF⊥AB于F，利用函数求四边形面积的最大值，设，可表示出，，可用函数表示出，，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值；
④作点D关于直线的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，此时四边形P′CDQ′的周长为：，其值最小，再由D1Q′=DQ′=D2
P′，，且∠AD1D2=120°，∠D2AC=90°，可得的最小值，即可得解．
解：①∵线段在边上运动，，
∴,
∴与不可能相等，
则①错误；
②设，
∵，，
∴，即，
假设与相似，
∵∠A=∠B=60°，
∴，即，
从而得到，解得或（经检验是原方程的根），
又，
∴解得的或符合题意，
即与可能相似，
则②正确；
③如图，过P作PE⊥BC于E，过D作DF⊥AB于F，
设，
由，，得，即，
∴，
∵∠B=60°，
∴，
∵，∠A
=60°，
∴,
则，
，
∴四边形面积为：,
又∵，
∴当时，四边形面积最大，最大值为：，
即四边形面积最大值为，
则③正确；
④如图，作点D关于直线的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，
此时四边形P′CDQ′的周长为：，其值最小，
∴D1Q′=DQ′=D2
P′，，
且∠AD1D2=180∠D1AB=180∠DAB
=120°，
∴∠D1AD2=∠D2AD1==30°，∠D2AC=90°，
在△D1AD2中，∠D1AD2=30°，，
∴，
在Rt△AD2C中，
由勾股定理可得，，
∴四边形P′CDQ′的周长为：
，
则④错误，
所以可得②③正确，
故选：D．
【点评】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解．
（2020年新疆）如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线，交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB=CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（
）
A．
B．5
C．
D．10
【考点】三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】利用D为AB的中点，DE//BC，证明DE是中位线，求得的面积，利用相似三角形的性质求解的面积，由勾股定理可得答案．
解：是AB的中点，
是的中位线，
故选A．
【点评】本题考查了三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
（2020年广西河池市）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】勾股定理,圆周角定理,相似三角形的判定与性质
【分析】连接BC，因为AB是直径，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，可证△ACE∽△CBF，根据相似三角形的判定和性质定理可得，并用勾股定理求出BC的长度，代入公式，求出AC的长度，即可得到结论．
解：如图所示，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CFB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴，
∵FB＝FE＝2，FC＝1，
∴CE＝CF+EF＝3，BC＝，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考察了圆周角定理的应用、相似三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于找出一对相似的三角形，其线段互相成比例，并求出各线段的长度．
（2020年云南省昆明市）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
【考点】相似三角形的判定
【分析】根据题意，得出ABC的三边之比，并在直角坐标系中找出与ABC各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来．
解：ABC的三边之比为，
如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况：
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个，
故选：C．
【点评】本题考察了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来．
（2020年贵州省遵义市）如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（　　）
A．9
B．12
C．15
D．18
【考点】相似三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义
【分析】由得到相似三角形，利用相似三角形的性质得到三角形之间的面积关系，利用反比例函数系数的几何意义可得答案．
解：
四边形MNQP的面积为3，
故选D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义，掌握以上知识是解题的关键．
（2020年黑龙江省绥化市）如图，在中，为斜边的中线，过点D作于点E，延长至点F，使，连接，点G在线段上，连接，且．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确结论的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】菱形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质
【分析】根据直角三角形的性质知DA=DB=DC，根据等腰三角形的性质结合菱形的判定定理可证得四边形ADCF为菱形，继而推出四边形DBCF为平行四边形，可判断①②；利用邻补角的性质结合已知可证得∠CFE
=∠FGE，即可判断③；由③的结论可证得△FEG△FCD，推出，即可判断④．
解：∵在中，为斜边的中线，
∴DA=DB=DC，
∵于点E，且，
∴AE=EC，
∴四边形ADCF为菱形，
∴FC∥BD，FC=AD=BD，
∴四边形DBCF为平行四边形，故②正确；
∴DF=BC，
∴DE=BC，故①正确；
∵四边形ADCE为菱形，
∴CF=CD，
∴∠CFE=∠CDE，
∵∠CDE+∠EGC=180，而∠FGE+∠EGC=180，
∴∠CDE=∠FGE，∠CFE
=∠FGE，
∴EF=EG，故③正确；
∵∠CDF=∠FGE，∠CFD=∠EFG，
∴△FEG△FCD，
∴，即，
∴，
∴BC
=DF，故④正确；
综上，①②③④都正确，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题．
1、
填空题
（2020年四川省乐山市）把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点．则=_________．
【考点】含30?角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理
【分析】连接CE，设CD=2x，利用两个直角三角形的性质求得AD=4x，AC=2x，BC=x，AB=3，再由已知证得CE∥AB，则有，由角平分线的性质得，进而求得的值.
解：连接CE，设CD=2x，
在RtΔACD和RtΔABC中，∠BAC=∠CAD=30?，
∴∠D=60?，AD=4x，AC=，
BC==x，AB=x，
∵点E为AD的中点，
∴CE=AE=DE==2x，
∴ΔCED为等边三角形，
∴∠CED=60?，
∵∠BAD=∠BAE+∠CAD=30?+30?=60?，
∴∠CED=∠BAD，
∴AB∥CE，
∴，
在ΔBAE中，∵∠BAE=∠CAD=30?
∴AF平分∠BAE，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了含30?的直角三角形、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、角平分线的性质等知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，找到相关知识的联系，确定解题思路，进而探究、推理并计算.
（2020年山西省）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．
【考点】勾股定理,相似三角形的判定与性质
【分析】过点F作FH⊥AC于H，则∽，设FH为x，由已知条件可得，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的长．
解：如解图，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∵，
∴∽
∴
∴，
设为，则，由勾股定理得，
又∵，
∴，
则，
∵且，
∴∽，
∴，
即，
解得，
∴．
∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点评】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形．
（2020年辽宁省铁岭、葫芦岛市）如图，，正方形，正方形，正方形，正方形，…，的顶点，在射线上，顶点，在射线上，连接交于点，连接交于点，连接交于点，…，连接交于点，连接交于点，…，按照这个规律进行下去，设与的面积之和为与的面积之和为与的面积之和为，…，若，则等于__________．（用含有正整数的式子表示）
【考点】正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质
【分析】先证得△ADC△，推出CD=，，同理得到，，由△△，推出△ED边D上的高为，计算出，同理计算得出，，找到规律，即可求解
解：∵正方形，正方形，且，
∴△和△都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
同理，
∵正方形，正方形，边长分别为2，4，
∴AC∥，∥，
∴，
∴，
∴，，
同理：，，
∵∥，
∴△△，
设△和△的边和上的高分别为和，
∴，
∵，
∴，，
∴；
同理求得：
；
；
．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质在规律型问题中的应用，数形结合并善于发现规律是解题的关键．
（2020年辽宁省盘锦市）如图，在矩形中，，点和点分别为上的点，将沿翻折，使点落在上的点处，过点作交于点，过点作交于点．若四边形与四边形的面积相等，则的长为__________．
【考点】相似三角形的判定与性质，矩形的判定和性质
【分析】设，则，根据矩形的性质易知四边形ABHE和是矩形，由其面积相等可得AE长，由翻折的性质可知ME、MF长，由勾股定理可知MC长，利用的性质可求得x值，即CF长.
解：四边形ABCD为矩形
设，则，
又
四边形ABHE是矩形，同理可得四边形是矩形
矩形的面积，矩形ABHE的面积，且
四边形与四边形的面积相等
由翻折得，，
在中，由勾股定理得
又
，即，化简得
解得
所以的长为.
故答案为：.
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质及矩形的判定和性质，灵活的利用矩形的性质及翻折的性质表示线段长是解题的关键.
（2020年江苏省苏州市）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则_________．
【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，点的坐标
【分析】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，先证CDE≌CDB（ASA），进而可得DE＝DB＝4－n，再证AOE∽CDE，进而可得，由此计算即可求得答案．
解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，
∴∠DCE＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCA＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DCB，
∵CD⊥y轴，
∴∠CDE＝∠CDB＝90°，
又∵CD＝CD，
∴CDE≌CDB（ASA），
∴DE＝DB，
∵B（0，4），C（3，n），
∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，
∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，
∴OE＝OD－DE
＝n－（4－n）
＝2n－4，
∵A（－4，0），
∴AO＝4，
∵CD∥AO，
∴AOE∽CDE，
∴
，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点的坐标的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
（2020年江苏省南通市）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____．
【考点】相似三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．
解：∵，
，
，
∴，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．
（2020年广西柳州市）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）
【考点】矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【分析】①根据折叠、矩形的性质进行推理即可；②根据等高三角形的面积比等于底边的比计算分析即可；③由矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定定理计算分析即可；④由矩形的性质可得CD的长，根据CE＝CD﹣ED求得CE的值，则可求得答案．
解：①由折叠的性质可知：∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠EBG＝∠GBH+∠EBF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝45°．
故①正确；
②由折叠的性质可知：BF＝BC＝10，BH＝AB＝6，
∴HF＝BF﹣BH＝4，
∴＝＝＝，
∴2S△BFG＝5S△FGH；
故②正确；
③∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABF中，AF＝＝8，
设GF＝x，即HG＝AG＝8﹣x，
在Rt△HGF中，HG2+HF2＝GF2，
即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，
∴AG＝3，
∴FD＝2；
同理可得ED＝，
∴＝＝2，
＝＝，
∴≠，
∴△ABG与△DEF不相似，
故③错误；
④∵CD＝AB＝6，ED＝，
∴CE＝CD﹣ED＝，
∴＝，
∴4CE＝5ED．
故④正确．
综上所述，正确的结论的序号为①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
（2020年上海市）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．
【考点】相似三角形的应用
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BDAC，
∴△ACE∽△DBE，
∴，
∴，
∴AC=7(米)，
故答案为：7(米)
．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的关键．
1、
解答题
（2020年江苏省南京市）如图，在和中，D、分别是AB、上一点，．
（1）当时，求证：
证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格　
（2）当时，判断与是否相似，并说明理由
【考点】相似三角形的判定和性质，平行线的性质，比例的性质
【分析】（1）根据证得△△，推出，再证明结论；
（2）作DE∥BC，∥，利用三边对应成比例证得△，再推出，证得，即可证明△△．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴△△，
∴，
∵，
∴△△，
故答案为：，；
（2）如图，过点D、分别作DE∥BC，∥，
DE交AC于点E，交于点，
∵DE∥BC，
∴△△，
∴，
同理：，
又，
∴，
∴，
同理：，
∴，
即，
∴，
又，
∴，
∴△△，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
同理：，
∴，
又，
∴△△．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，比例的性质，正确作出辅助线是解答第2问的关键．
（2020年上海市）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB?AE，求证：AG=DF．
【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理
【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CDBH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．
(2)
由BE2=AB?AE，得到=，再利用AGBC，平行线分线段成比例定理得到=，再结合已知条件即可求解．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．
∵DF=BE，
∴△CDF≌△CBE(SAS)，
∴∠DCF=∠BCE．
∵CDBH，
∴∠H=∠DCF，
∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCH．
(2)∵BE2=AB?AE，
∴=，
∵AGBC，
∴=，
∴=，
∵DF=BE，BC=AB，
∴BE=AG=DF，
即AG=DF．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（2020年山东省济宁市）如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上．
(1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB．
【考点】尺规作图，相似三角形的性质，三角形外角的性质
【分析】（1）根据相似三角形的性质可得∠CPD=∠BAP，故作∠CPD=∠BAP，∠CPD与AC的交点为D即可；
（2）利用外角的性质以及（1）中∠CPD=∠BAP可得∠CPD
=∠ABC，再根据平行线的判定即可.
解：（1）∵△PCD∽△ABP，
∴∠CPD=∠BAP，
故作∠CPD=∠BAP即可，
如图，即为所作图形，
（2）∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP=2∠ABC，
∴∠BAP
=∠ABC，
∴∠BAP=∠CPD=∠ABC，
即∠CPD
=∠ABC，
∴PD∥AB.
【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的性质，外角的性质，难度不大，解题的关键是掌握尺规作图的基本作法.
（2020年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）在平行四边形中，E为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图1，在上找出一点M，使点M是的中点；
（2）如图2，在上找出一点N，使点N是的一个三等分点．
【考点】平行四边形的性质，作图—复杂作图，相似三角形的性质
【分析】（1）连接对角线AC,BD，再连接E与对角线的交点，与BC的交点即为M点；
（2）连接CE交BD即为N点，根据相似三角形的性质可得,于是DN=BD．
解：（1）如图1，点M即为所求；
（2）如图2，点N即为所求．
【点评】此题主要考查平行四边形与相似三角形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的特点．
（2020年内蒙古呼伦贝尔市）如图，是的外接圆，直线与相切于点，连接交于点．
（1）求证：平分；
（2）若的平分线交于点，且，，求的长．
【考点】垂径定理，圆周角定理，圆周角、弧、弦的关系，切线的性质，相似三角形的判定和性质
【分析】（1）连接OE，利用垂径定理、圆周角、弧、弦的关系证得结论；
（2）根据题意证明BE=EF，得到BE的长，再证明△EBD∽△EAB得到，
求出AE，从而得到AF．
解：（1）连接OE．
∵直线EG与⊙O相切于E，
∴OE⊥EG．
∵EG∥BC，
∴OE⊥BC，
∴，
∴∠BAE=∠CAE．
∴AE平分∠BAC；
（2）如图，∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠4，
∵∠1=∠5，
∴∠4=∠5，
∵BF平分∠ABC，
∴∠2=∠3，
∵∠6=∠3+∠4=∠2+∠5，即∠6=∠EBF，
∴EB=EF，
∵DE=3，DF=2，
∴BE=EF=DE+DF=5，
∵∠5=∠4，∠BED=∠AEB，
∴△EBD∽△EAB，
∴，即，
∴AE=，
∴AF=AE-EF=-5=．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆周角、弧、弦的关系，切线的性质，相似三角形的判定和性质，掌握定理并熟练运用是解题必备的能力．
（2020年辽宁省沈阳市）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与边和边的延长线交于点，，与边交于点，垂足为点．
（1）求证：；
（2）若，，请直接写出的长为__________．
【考点】矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定
【分析】(1)利用矩形的性质和线段垂直平分线的性质证明三角形全等即可．
(2)分别由勾股定理和线段垂直平分线求AC、AO，再证明∽，得到，求出AE即可．
(1)证明：∵是的垂直平分线，
∴．
∵矩形，
∴即
∴．
在和中
∴．
(2)解：由勾股定理
∵MN是AC的垂直平分线
∴
∵
∴
∵
∴∽，
∴，即
解得．
【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理和相似三角形的性质与判定，解答关键是根据相似三角形构造方程求解．
（2020年江苏省苏州市）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质
【分析】根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；
根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE=
.再根据相似三角形的性质求解即可.
证明：（1）∵四边形是矩形，
∴，．
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
解：（2）∵，
∴．
∵，是的中点，
∴．
∴在中，．
又∵，
∴，
∴．
【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.
（2020年江苏省南通市）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
【考点】翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，一元二次方程的应用
【分析】（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．证明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性质求解即可．
（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．设EG=x，则BG=4-x．证明△EGP∽△PHD，推出，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再证明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性质求解即可．
解：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，
由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，
在Rt△EPD中，∵EM＝MD，
∴PM＝EM＝DM，
∴∠3＝∠MPD，
∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，
∵∠ADP＝2∠3，
∴∠1＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠DPC，
∴∠1＝∠DPC，
∵∠MOP＝∠C＝90°，
∴△POM∽△DCP，
∴，
∴．
（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x
∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，
∴△EGP∽△PHD，
∴，
∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，
∴（3x）2+（4+x）2＝122，
解得：x＝（负值已经舍弃），
∴BG＝4﹣＝，
在Rt△EGP中，GP＝，
∵GH∥BC，
∴△EGP∽△EBF，
∴，
∴，
∴BF＝3．
【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
（2020年湖南省湘潭市）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边的重心为点，求与的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
①若正方形的边长为4，求的长度；
②若，求正方形的面积．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）连接DE，利用相似三角形证明，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；
（2）根据（1）的证明可求解；
（3）①证明△CME∽△ABM得，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；
②分别求出S△BMC和S△ABM
即可.
解：（1）连接DE，如图，
∵点O是的重心，
，是，C边上的中线，
为，边上的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，
，，
；
（2）由（1）可知，是定值；
是定值；
（3）①∵四边形ABCD是正方形，
，，
为CD的中点，
，即；
②，且
∴，
，
，
，
，
又
∴正方形ABCD的面积为：6+6=12．
【点睛】本题考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是灵活运用三角形重心的性质．
5第五章图形与变换第35节相似三角形
1.比例线段
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例的基本性质
(1)基本性质：?
ad＝
；（b、d≠0）
(2)合比性质：?＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)?
＝
.（b、d、···、n≠0）
3.平行线分线段成比例定理及推论
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线
段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.21世纪教育网版权所有
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4.黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
■考点1比例线段
◇典例：
（2020年湖南省湘潭市）若，则________．
【考点】比例的基本性质
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求职即可；
解：由可设，，k是非零整数，
则．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
（2020年吉林省）如图，．若，，则______．
【考点】平行线分线段成比例定理
【分析】根据平行线分线段成比例得到，由条件即可算出DF的值．
解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（
）
A．1．24米
B．1．38米
C．1．42米
D．1．62米
【考点】黄金分割比
【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．
解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案为：A
【点评】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
◆变式训练
（2020年贵州省毕节市）已知，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年内蒙古鄂尔多斯市）下列说法正确的是（
）
①的值大于；
②正六边形的内角和是720°，它的边长等于半径；
③从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是；
④甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s2甲＝1.3，s2乙＝1.1，则乙的射击成绩比甲稳定．
A．①②③④
B．①②④
C．①④
D．②③
（2020年黑龙江省哈尔滨市）如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
■考点2.相似三角形的性质与判定
◇典例
（2020年贵州省铜仁市）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　）
A．3
B．2
C．4
D．5
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答．
解：∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，
∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，
∵△FHB∽△EAD，
∴，
即＝2，
解得，EA＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质进行解题．
（2020年内蒙古通辽市）如图，交双曲线于点A，且，若矩形的面积是8，且轴，则k的值是(　　　)
A．18
B．50
C．12
D．
【考点】相似三角形的判定和性质，反比例函数表达式，矩形的性质
【分析】过点A和点C分别作x轴的垂线，垂足为E和F，得到△OAE∽△OCF，设点A（m，n），求出AB和BC，利用矩形ABCD的面积为8求出mn，即k值.
解：过点A和点C分别作x轴的垂线，垂足为E和F，
∴AE∥CF，
∴△OAE∽△OCF，
∵OC：OA=5：3，
∴OF：OE=CF：AE=5：3，
设点A（m，n），则mn=k，
∴OE=m，AE=n，
∴OF=，CF=，
∴AB=OF-OE=，BC=CF-AE=，
∵矩形ABCD的面积为8，
∴AB·BC=×=8，
∴mn=18=k，
故选A.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数表达式，矩形的性质，解题的关键是利用相似三角形的性质表示出线段的长.
◆变式训练
（2020年天津市）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年浙江省杭州市）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②求λ的值．
■考点3.相似三角形的应用
◇典例
（2020年山西省）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（
）
A．图形的平移
B．图形的旋转
C．图形的轴对称
D．图形的相似
【考点】相似三角形的应用
【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；
解：根据题意画出如下图形：可以得到，则
即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度
故选：D.
【点评】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.
◆变式训练
（2020年甘肃省天水市）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是(　　　)
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省泸州市）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年辽宁省营口市）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年黑龙江省大庆市）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（
）
A．或
B．15
C．
D．
（2020年海南省）如图，在矩形中，点在边上，和交于点若，则图中阴影部分的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年湖南省娄底市）若，则________．
（2020年山东省菏泽市）如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则的长为_______．
（2020年上海市）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是____．
（2020年辽宁省营口市）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为_____．
（2020年广西北部湾经济区）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年浙江省衢州市）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD=∠CBA．
（2）求OE的长．
1、
选择题
（2020年山东省潍坊市）如图，在中，，以点O为圆心，2为半径的圆与交于点C，过点C作交于点D，点P是边上的动点．当最小时，的长为（
）
A．
B．
C．1
D．
（2020年四川省遂宁市）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年海南省）如图，在中，的平分线交于点交的延长线于点于点，若，则的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年内蒙古呼和浩特市）如图，把某矩形纸片沿，折叠（点E、H在边上，点F，G在边上），使点B和点C落在边上同一点P处，A点的对称点为、D点的对称点为，若，为8，的面积为2，则矩形的长为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年江苏省无锡市）如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为（
）
A．①④
B．②④
C．①③
D．②③
（2020年新疆）如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线，交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB=CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（
）
A．
B．5
C．
D．10
（2020年广西河池市）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年云南省昆明市）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
（2020年贵州省遵义市）如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（　　）
A．9
B．12
C．15
D．18
（2020年黑龙江省绥化市）如图，在中，为斜边的中线，过点D作于点E，延长至点F，使，连接，点G在线段上，连接，且．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确结论的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
1、
填空题
（2020年四川省乐山市）把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点．则=_________．
（2020年山西省）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．
（2020年辽宁省铁岭、葫芦岛市）如图，，正方形，正方形，正方形，正方形，…，的顶点，在射线上，顶点，在射线上，连接交于点，连接交于点，连接交于点，…，连接交于点，连接交于点，…，按照这个规律进行下去，设与的面积之和为与的面积之和为与的面积之和为，…，若，则等于__________．（用含有正整数的式子表示）
（2020年辽宁省盘锦市）如图，在矩形中，，点和点分别为上的点，将沿翻折，使点落在上的点处，过点作交于点，过点作交于点．若四边形与四边形的面积相等，则的长为__________．
（2020年江苏省苏州市）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则_________．
（2020年江苏省南通市）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____．
（2020年广西柳州市）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）
（2020年上海市）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．
1、
解答题
（2020年江苏省南京市）如图，在和中，D、分别是AB、上一点，．
（1）当时，求证：
证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格　
（2）当时，判断与是否相似，并说明理由
（2020年上海市）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB?AE，求证：AG=DF．
（2020年山东省济宁市）如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上．
(1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB．
（2020年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）在平行四边形中，E为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图1，在上找出一点M，使点M是的中点；
（2）如图2，在上找出一点N，使点N是的一个三等分点．
（2020年内蒙古呼伦贝尔市）如图，是的外接圆，直线与相切于点，连接交于点．
（1）求证：平分；
（2）若的平分线交于点，且，，求的长．
（2020年辽宁省沈阳市）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与边和边的延长线交于点，，与边交于点，垂足为点．
（1）求证：；
（2）若，，请直接写出的长为__________．
（2020年江苏省苏州市）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
（2020年江苏省南通市）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
（2020年湖南省湘潭市）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边的重心为点，求与的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
①若正方形的边长为4，求的长度；
②若，求正方形的面积．
12

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