资源简介

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《3.4乘法公式（2）》教案
课题
3.4
乘法公式（3）
单元
三
学科
数学
年级
七年级下册
学习目标
1.
掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算；2．能运用完全平方公式解决有关问题．
重点
掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算；
难点
理解完全平方公式的结构特征是难点．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
1、导入新课一、创设情景，引出课题
复习导入
使用平方差公式(a+b)(a-b)=a?-b?
时，关键在于找准_a__与_b__，公式左边积的两个因式中相同的项看作a，互为相反数的项中带正号的项看作b。想一想：下列各式能用平方差公式计算吗？（1）(2x+y)(y-2x)（2）(2x+y)(2x+y)（1）可以
（2）不可以运用多项式与多项式相乘的法则计算下列各式：1、(a+b)2
(2+x)2(2x+y)2观察上述1、2两题的计算结果，你发现有什么规律？你能用你的发现来猜测第3题的结果吗？(2x)2+2×2x?y+y2
思考自议通过面积拼图，理解完全平方公式；
通过面积拼图，理解平方差公式。
合作探究
提炼概念
两数和的平方,等于这两数的平方和,加上这两数积的2倍。(a+b)2
=a2+2ab+b2(a+b)2
=a2+2ab+b2
的图形理解你能用右图形的面积直观的表示两数和的平方公式呢?可以编为顺口溜：首平方，尾平方，首尾两倍中间放。提问:（a－b）2等于什么？是否可以写成[a＋（-b）]2?
你能继续做下去吗？(a-b)2=
a2
-
2ab+b2??????算式首代表什么尾代表什么首2±2首尾+尾2(x+3)2(-m+n)2(a-2b)2??????算式首代表什么尾代表什么首2±2首尾+尾2(x+3)2x3x2+2?x?3+(3)2(-m+n)2-mn(-m)2+2(-m)?n+n2(a-2b)2a2ba2-2a?2b+(2b)2归纳：（首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2提示:
以上两个公式统称完全平方公式.
平方差公式和完全平方公式也称乘法公式.典例精讲例3
运用完全平方公式计算：(1)(x+2y)2;
(2)(2a-5)2;(3)
(-2s+t)2;
(4)
(-3x-4y)2.解：（1）原式=x2+2×x×2y+（2y）2=x2+4xy+4y2（2）原式=（2a）2-2×2a×5+52=4a2-20a+25（3）原式=（-2s）2+2（-2s）t+t2=4s2-4st+t2（4）原式=（-3x）2-2（-3x）4y+（4y）2
=9x2+24xy+16y2例4：一花农有两块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，现将这两块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少m?。解：设原正方形苗圃的边长为a
(m)，边长增加1.5m后，新正方形的边长为(a+1.5)
m。(a+1.5)2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25当a=30.1时，3a+2.25=3×30.1+2.25=92.55当a=29.5时，3a+2.25=3×29.5+2.25=90.75答：两块茶花苗圃的面积分别增加了92.55m2，90.75m2。
掌握完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式的和，其中两项是左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，其符号取决于左边二项式中间的符号．
理解完全平方公式的结构特征是难点．领悟体会公式中的a，b可以表示数，也可以表示单项式、多项式等。
当堂检测
三、巩固训练1．下列等式不成立的是
(　
　)A．(a＋b)2＝(－a－b)2B．(a－b)2＝(b－a)2C．(a－b)2＝a2－b2D．(a＋b)2＝(b＋a)2【解析】
A正确，(－a－b)2＝[－(a＋b)]2＝(a＋b)2；B正确，(b－a)2＝[－(a－b)]2＝(a－b)2；C不正确，因为(a－b)2＝a2－2ab＋b2；D正确，故选择C.
2.
指出下列各式中的错误，并加以改正：(1)
(2a?1)2＝2a2?2a+1;(2)
(2a+1)2＝4a2
+1；(3)
(?a?1)2＝?a2?2a?1.解:
(1)第一数被平方时,
未添括号;第一数与第二数乘积的2倍
少乘了一个2
;
应改为:
(2a?1)2＝
(2a)2?2?2a?1+1;
(2)
少了第一数与第二数乘积的2倍
(丢了一项);
应改为:
(2a+1)2＝
(2a)2+2?2a?1
+1;
(3)
第一数平方未添括号,
第一数与第二数乘积的2倍
错了符号;
第二数的平方
这一项错了符号;
应改为:
(?a?1)2＝(?a)2?2?(?a
)?1+12;3.计算：(1)(－x＋1)2；(2)(－2x－3)2.【解析】
(1)直接用公式；(2)先把(－2x－3)2化为(2x＋3)2.解：(1)(－x＋1)2＝(－x)2＋2(－x)·1＋12＝x2－2x＋1.或(－x＋1)2＝(1－x)2＝12－2×1·x＋x2＝1－2x＋x2.(2)(－2x－3)2＝[－(2x＋3)]2＝(2x＋3)2＝4x2＋12x＋9.【点悟】在运用完全平方公式时，如果底数中两项都含有负号，应首先处理负号．4．化简：(2x＋3y－1)(2x＋3y＋1)解：原式＝[(2x＋3y)－1][(2x＋3y)＋1]＝(2x＋3y)2－1＝4x2＋9y2＋12xy－1.5.小红用5块工艺布料制作靠垫面子,如图甲,其中四周的4块由如图乙的长方形布料裁成4块得到,正中的一块从另一块布料裁得.正中一块正方形布料应裁取多大的面积(接缝忽略不计).
课堂小结
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放我们把完全平方和公式与完全平方差公式统称为完全平方公式（也叫乘法公式）(a+b)2
=a2+2ab+b2(a-b)2
=a2
-2ab+b2在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边,
做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。
a
a
b
b
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精品试卷·第
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浙教版
七年级下
3.4乘法公式（2）
新知导入
回顾
&
思考
应用平方差公式的注意事项:
使用平方差公式(a+b)(a-b)=a?-b?
时，关键在于
找准_a__与_b__，公式左边积的两个因式中相同的
项看作a，互为相反数的项中带正号的项看作b。
想一想：下列各式能用平方差公式计算吗？
（1）(2x+y)(y-2x)
（2）(2x+y)(2x+y)
运用多项式与多项式相乘的法则计算下列各式：
1、(a+b)2
=(a+b)(a+b)
2、(2+x)2
=(2+x)(2+x)
=
22+2x+2x+x2
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
3、(2x+y)2
=(2x)2+2×2x?y+y2
观察上述1、2两题的计算结果，你发现有什么规律？你能用你的发现来猜测第3题的结果吗？
新知导入
新知讲解
提炼概念
两数和的平方,等于这两数的平方和,加上这两数积的2倍。
(a+b)2
=a2+2ab+b2
探究
(a+b)2
=a2+2ab+b2
的图形理解
a
a
b
b
你能用右图形的面积直观的表示两数和的平方公式呢?
可以编为顺口溜：
首平方，尾平方，首尾两倍中间放。
提问:（a－b）2等于什么？是否可以写成[a＋（-b）]2?
你能继续做下去吗？
(a-b)2=
a2
-
2ab+b2的图形理解
(a-b)?
a?
ab
ab
b?
b
b
a
a
(a?b)2=
[a+(?b)]2
=
a2
+2a(-b)+
(?b)2
=
a2
–2ab+
b2
探究
(a-b)2=
a2
-
2ab+b2
算式
首代表什么
尾代表什么
首2±2首尾+尾2
(x+3)2
(-m+n)2
(a-2b)2
可以编为顺口溜：首平方，尾平方，首尾两倍中间放。
（首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2
算式
首代表什么
尾代表什么
首2±2首尾+尾2
(x+3)2
x
3
x2+2?x?3+(3)2
(-m+n)2
-m
n
(-m)2+2(-m)?n+n2
(a-2b)2
a
2b
a2-2a?2b+(2b)2
提炼概念
两数和的完全平方公式
(a+b)2
=
a2+2ab+b2
.
两数差的完全平方公式
(a?b)2
=
a2?2ab+b2
.
提示:
以上两个公式统称完全平方公式.
平方差公式和完全平方公式也称乘法公式.
典例精讲
新知讲解
(1)(x+2y)2;
(2)(2a-5)2;
(3)
(-2s+t)2;
(4)
(-3x-4y)2.
例3
运用完全平方公式计算：
解：（1）原式=x2+2×x×2y+（2y）2=x2+4xy+4y2
（2）原式=（2a）2-2×2a×5+52=4a2-20a+25
（3）原式=（-2s）2+2（-2s）t+t2=4s2-4st+t2
（4）原式=（-3x）2-2（-3x）4y+（4y）2
=9x2+24xy+16y2
例4：一花农有两块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，现将这两块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少m?。
解：设原正方形苗圃的边长为a
(m)，边长增加1.5m后，新正方形的边长为(a+1.5)
m。
(a+1.5)2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25
当a=30.1时，3a+2.25=3×30.1+2.25=92.55
当a=29.5时，3a+2.25=3×29.5+2.25=90.75
答：两块茶花苗圃的面积分别增加了92.55m2，90.75m2。
1．下列等式不成立的是
(　
　)
A．(a＋b)2＝(－a－b)2
B．(a－b)2＝(b－a)2
C．(a－b)2＝a2－b2
D．(a＋b)2＝(b＋a)2
【解析】
A正确，(－a－b)2＝[－(a＋b)]2＝(a＋b)2；B正确，(b－a)2＝[－(a－b)]2＝(a－b)2；C不正确，因为(a－b)2＝a2－2ab＋b2；D正确，故选择C.
课堂练习
课堂练习
2.
指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1)
(2a?1)2＝2a2?2a+1;
(2)
(2a+1)2＝4a2
+1；
(3)
(?a?1)2＝?a2?2a?1.
解:
(1)第一数被平方时,
未添括号;第一数与第二数乘积的2倍
少乘了一个2
;
应改为:
(2a?1)2＝
(2a)2?2?2a?1+1;
(2)
少了第一数与第二数乘积的2倍
(丢了一项);
应改为:
(2a+1)2＝
(2a)2+2?2a?1
+1;
(3)
第一数平方未添括号,
第一数与第二数乘积的2倍
错了符号;
第二数的平方
这一项错了符号;
应改为:
(?a?1)2＝(?a)2?2?(?a
)?1+12;
　3.计算：
(1)(－x＋1)2；(2)(－2x－3)2.
【解析】
(1)直接用公式；(2)先把(－2x－3)2化为(2x＋3)2.
解：(1)(－x＋1)2＝(－x)2＋2(－x)·1＋12＝x2－2x＋1.
或(－x＋1)2＝(1－x)2＝12－2×1·x＋x2＝1－2x＋x2.
(2)(－2x－3)2＝[－(2x＋3)]2＝(2x＋3)2
＝4x2＋12x＋9.
【点悟】在运用完全平方公式时，如果底数中两项都含有负号，应首先处理负号．
4．化简：
(2x＋3y－1)(2x＋3y＋1)；
解：原式＝[(2x＋3y)－1][(2x＋3y)＋1]
＝(2x＋3y)2－1
＝4x2＋9y2＋12xy－1.
5.小红用5块工艺布料制作靠垫面子,如图甲,其中四周的4块由如图乙的长方形布料裁成4块得到,正中的一块从另一块布料裁得.正中一块正方形布料应裁取多大的面积(接缝忽略不计).
分析:中间面积
=总面积-周围面积
答:中间正方形的面积应取
课堂总结
1.这节课你有什么样的收获？
2.还有哪些疑问？
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
我们把完全平方和公式与完全平方差公式统称为完全平方公式（也叫乘法公式）
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边,
做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同:平方差公式是两数和与两数差的积
完全平方公式的两数和的平方
结果不同：
平方差公式的结果
是两项，
即
(a+b)(a?b)＝a2?b2.
完全平方公式的结果
是三项，
即
(a
?b)2＝a2
?2ab+b2;
说能出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
作业布置
教材78页1-6题
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3.4乘法公式（2）学案
课题
3.4乘法公式（2）
单元
第三单元
学科
数学
年级
七年级下册
学习目标
1.
掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算；2．能运用完全平方公式解决有关问题．
重点
掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算；
难点
理解完全平方公式的结构特征是难点．
教学过程
导入新课
【思考】复习导入想一想：下列各式能用平方差公式计算吗？（1）(2x+y)(y-2x)（2）(2x+y)(2x+y)运用多项式与多项式相乘的法则计算下列各式：1、(a+b)2
(2+x)2(2x+y)2观察上述1、2两题的计算结果，你发现有什么规律？你能用你的发现来猜测第3题的结果吗？(2x)2+2×2x?y+y2
新知讲解
提炼概念两数和的平方,等于这两数的平方和,加上这两数积的2倍。(a+b)2
=a2+2ab+b2可以编为顺口溜：首平方，尾平方，首尾两倍中间放。(a-b)2=
a2
-
2ab+b2
??????算式首代表什么尾代表什么首2±2首尾+尾2(x+3)2(-m+n)2(a-2b)2??????算式首代表什么尾代表什么首2±2首尾+尾2(x+3)2x3x2+2?x?3+(3)2(-m+n)2-mn(-m)2+2(-m)?n+n2(a-2b)2a2ba2-2a?2b+(2b)2归纳：（首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2例3
运用完全平方公式计算：(1)(x+2y)2;
(2)(2a-5)2;(3)
(-2s+t)2;
(4)
(-3x-4y)2.解：（1）原式=x2+2×x×2y+（2y）2=x2+4xy+4y2（2）原式=（2a）2-2×2a×5+52=4a2-20a+25（3）原式=（-2s）2+2（-2s）t+t2=4s2-4st+t2（4）原式=（-3x）2-2（-3x）4y+（4y）2
=9x2+24xy+16y2例4：一花农有两块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，现将这两块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少m?。解：设原正方形苗圃的边长为a
(m)，边长增加1.5m后，新正方形的边长为(a+1.5)
m。(a+1.5)2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25当a=30.1时，3a+2.25=3×30.1+2.25=92.55当a=29.5时，3a+2.25=3×29.5+2.25=90.75答：两块茶花苗圃的面积分别增加了92.55m2，90.75m2。
课堂练习
巩固训练1．下列等式不成立的是
(　
　)A．(a＋b)2＝(－a－b)2B．(a－b)2＝(b－a)2C．(a－b)2＝a2－b2D．(a＋b)2＝(b＋a)2【解析】
A正确，(－a－b)2＝[－(a＋b)]2＝(a＋b)2；B正确，(b－a)2＝[－(a－b)]2＝(a－b)2；C不正确，因为(a－b)2＝a2－2ab＋b2；D正确，故选择C.2.
指出下列各式中的错误，并加以改正：(1)
(2a?1)2＝2a2?2a+1;(2)
(2a+1)2＝4a2
+1；(3)
(?a?1)2＝?a2?2a?1.解:
(1)第一数被平方时,
未添括号;第一数与第二数乘积的2倍
少乘了一个2
;
应改为:
(2a?1)2＝
(2a)2?2?2a?1+1;
(2)
少了第一数与第二数乘积的2倍
(丢了一项);
应改为:
(2a+1)2＝
(2a)2+2?2a?1
+1;
(3)
第一数平方未添括号,
第一数与第二数乘积的2倍
错了符号;
第二数的平方
这一项错了符号;
应改为:
(?a?1)2＝(?a)2?2?(?a
)?1+12;3.计算：(1)(－x＋1)2；(2)(－2x－3)2.【解析】
(1)直接用公式；(2)先把(－2x－3)2化为(2x＋3)2.解：(1)(－x＋1)2＝(－x)2＋2(－x)·1＋12＝x2－2x＋1.或(－x＋1)2＝(1－x)2＝12－2×1·x＋x2＝1－2x＋x2.(2)(－2x－3)2＝[－(2x＋3)]2＝(2x＋3)2＝4x2＋12x＋9.【点悟】在运用完全平方公式时，如果底数中两项都含有负号，应首先处理负号．4．化简：(2x＋3y－1)(2x＋3y＋1)解：原式＝[(2x＋3y)－1][(2x＋3y)＋1]＝(2x＋3y)2－1＝4x2＋9y2＋12xy－1.5.小红用5块工艺布料制作靠垫面子,如图甲,其中四周的4块由如图乙的长方形布料裁成4块得到,正中的一块从另一块布料裁得.正中一块正方形布料应裁取多大的面积(接缝忽略不计).
课堂小结
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放我们把完全平方和公式与完全平方差公式统称为完全平方公式（也叫乘法公式）(a+b)2
=a2+2ab+b2(a-b)2
=a2
-2ab+b2在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边,
做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。
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精品试卷·第
2
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