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2021年广东省茂名市高州市中考数学联考试卷（3月份）
一、精心选一选（每小题3分）
1．2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣ D．
2．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记数法表示为（　　）
A．11×104 B．1.1×105 C．1.1×104 D．0.11×106
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．正三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
4．一组数据1，3，6，1，2的众数和中位数分别是（　　）
A．1，6 B．1，1 C．2，1 D．1，2
5．一个十二边形的内角和等于（　　）
A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
6．下列各式计算正确的是（　　）
A．a?a2＝a3 B．（a+b）2＝a2+b2
C．a8÷a2＝a4 D．a2+a3＝a5
7．在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（　　）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝﹣3
8．如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（　　）
A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2
9．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（　　）
A．4 B．3 C．4.5 D．5
10．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b＝0；
③b2＝4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个互异实根．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、细心填-填（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．分解因式：16﹣x2＝　 　．
12．若代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
13．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的弧长为　 　．（结果保留π）
14．如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB＝120°，则∠ACB＝　 　度．
15．如图，△ABC中，AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为　 　．
16．若a+2b＝8，3a+4b＝18，则2a+3b的值为　 　．
17．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C的坐标分别是（0，3），（3，0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为　 　．
三、用心做一做（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．计算：（）﹣1﹣tan60°﹣（1+）0+．
19．如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
20．先化简，再求值：2a（a+2b）+（a﹣2b）2，其中a＝﹣1，．
四、沉着冷静，缜密思考（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．
22．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：
（1）∠CEB＝∠CBE；
（2）四边形BCED是菱形．
23．某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元．
（1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共50根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
五、灵动智慧，超越自我（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tan∠D＝，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
25．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t；
①当S△ACP＝S△ACN时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使得△ACP是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣ D．
解：根据相反数的定义可知：2的相反数是﹣2．
故选：B．
2．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记数法表示为（　　）
A．11×104 B．1.1×105 C．1.1×104 D．0.11×106
解：110000用科学记数法表示为：1.1×105，
故选：B．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．正三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
解：A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；
D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选：C．
4．一组数据1，3，6，1，2的众数和中位数分别是（　　）
A．1，6 B．1，1 C．2，1 D．1，2
解：∵1出现了2次，出现的次数最多，
∴众数是1，
把这组数据从小到大排列为1，1，2，3，6，最中间的数是2，
则中位数是2；
故选：D．
5．一个十二边形的内角和等于（　　）
A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
解：十二边形的内角和等于：（12﹣2）?180°＝1800°；
故选：D．
6．下列各式计算正确的是（　　）
A．a?a2＝a3 B．（a+b）2＝a2+b2
C．a8÷a2＝a4 D．a2+a3＝a5
解：A、根据同底数幂的乘法法则得，a?a2＝a3，∴原式正确；
B、根据完全平方公式得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴原式错误；
C、根据同底数幂的除法法则得，a8÷a2＝a6，∴原式错误；
D、根据合并同类项法则得，a2和a3不能合并，∴原式错误；
故选：A．
7．在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（　　）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝﹣3
解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣3，n＝2．
故选：B．
8．如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（　　）
A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2
解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），
所以所得的抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2．
故选：D．
9．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（　　）
A．4 B．3 C．4.5 D．5
解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，
∴BC′＝3，
由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，
在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，
∴BF2+9＝（9﹣BF）2，
解得，BF＝4，
故选：A．
10．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b＝0；
③b2＝4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个互异实根．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．
∴当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴＝n，
∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），所以③正确；
∵抛物线与直线y＝n有一个公共点，
∴抛物线与直线y＝n﹣1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
二、细心填-填（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．分解因式：16﹣x2＝　（4+x）（4﹣x）　．
解：16﹣x2＝（4+x）（4﹣x）．
12．若代数式有意义，则x的取值范围是　x≥2　．
解：∵代数式有意义，
∴x﹣2≥0，
∴x≥2．
故答案为x≥2．
13．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的弧长为　2π　．（结果保留π）
解：根据弧长的公式l＝，
得到：l＝＝2π，
故答案是：2π．
14．如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB＝120°，则∠ACB＝　60　度．
解：∵∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝120°×＝60°，
故答案为：60．
15．如图，△ABC中，AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为　10　．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝10，
故答案为：10．
16．若a+2b＝8，3a+4b＝18，则2a+3b的值为　13　．
解：联立得：，
①+②得：4a+6b＝26，即2（2a+3b）＝26，
则2a+3b＝13．
故答案为：13．
17．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C的坐标分别是（0，3），（3，0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为　　．
解：过B点作BD⊥x轴于D，如图，
∵A，C的坐标分别是（0，3），（3，0）．
∴OA＝OC＝3，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴AC＝OC＝3，∠ACO＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝45°，
∵△BCD为等腰直角三角形，
∴CD＝BD＝BC，
∵AC＝2BC，
∴BC＝，
∴CD＝BD＝×＝，
∴OD＝3+＝，
∴B（，），
∵函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，
∴k＝×＝．
故答案为．
三、用心做一做（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．计算：（）﹣1﹣tan60°﹣（1+）0+．
解：原式＝3﹣﹣1+
＝2．
19．如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图，点M即为所求，
20．先化简，再求值：2a（a+2b）+（a﹣2b）2，其中a＝﹣1，．
解：原式＝2a2+4ab+a2﹣4ab+4b2
＝3a2+4b2，
当a＝1，b＝时；
原式＝3×（﹣1）2+4×（）2＝15．
四、沉着冷静，缜密思考（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．
解：（1）本次调查的学生总人数为：18÷20%＝90，
在线听课的人数为：90﹣24﹣18﹣12＝36，
补全的条形统计图如右图所示；
（2）扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是：360°×＝48°，
即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是48°；
（3）2100×＝560（人），
答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有560人．
22．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：
（1）∠CEB＝∠CBE；
（2）四边形BCED是菱形．
【解答】证明；（1）∵△ABC≌△ABD，
∴∠ABC＝∠ABD，
∵CE∥BD，
∴∠CEB＝∠DBE，
∴∠CEB＝∠CBE．
（2））∵△ABC≌△ABD，
∴BC＝BD，
∵∠CEB＝∠CBE，
∴CE＝CB，
∴CE＝BD
∵CE∥BD，
∴四边形CEDB是平行四边形，
∵BC＝BD，
∴四边形CEDB是菱形．
23．某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元．
（1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共50根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
解：（1）设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，
根据题意，得：
，
解得：，
答：一根A型跳绳售价是10元，一根B型跳绳的售价是36元；
（2）设购进A型跳绳m根，总费用为W元，
根据题意，得：W＝10m+36（50﹣m）＝﹣26m+1800，
∵﹣26＜0，
∴W随m的增大而减小，
又∵m≤3（50﹣m），解得：m≤37.5，
而m为正整数，
∴当m＝37时，W最小＝﹣26×37+1800＝838，
此时50﹣37＝13，
答：当购买A型跳绳37只，B型跳绳13只时，最省钱．
五、灵动智慧，超越自我（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tan∠D＝，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
解：（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F，
∵AO平分∠CAB，
OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC＝OF，
∴AB是⊙O的切线；
（2）如图，连接CE，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ECO+∠OCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ECO＝90°，
∴∠ACE＝∠OCD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠ACE＝∠ODC，
∵∠CAE＝∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴＝，
∴∠ACE+∠ECO＝90°，
∵tan∠D＝，
∴＝，
∴＝；
（3）由（2）可知：＝，
∴设AE＝x，AC＝2x，
∵△ACE∽△ADC，
∴＝，
∴AC2＝AE?AD，
∴（2x）2＝x（x+6），
解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），
∴AE＝2，AC＝4，
由（1）可知：AC＝AF＝4，
∠OFB＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△OFB∽△ACB，
∴＝，
设BF＝a，
∴BC＝，
∴BO＝BC﹣OC＝﹣3，
在Rt△BOF中，
BO2＝OF2+BF2，
∴（﹣3）2＝32+a2，
解得：a＝或a＝0（不合题意，舍去），
∴AB＝AF+BF＝．
25．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t；
①当S△ACP＝S△ACN时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使得△ACP是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设直线AC的函数关系式为y＝kx+n，将A（﹣1，0），C（2，3）代入得：
，解得，
∴直线AC的函数关系式为y＝x+1，
将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线函数关系式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①在函数关系式y＝﹣x2+2x+3中令x＝0得y＝3，
∴N（0，3），
过N作AC的平行线与抛物线交点即为P，设所作直线为y＝x+m，
将N（0，3）代入y＝x+m得3＝m，
∴所作平行线为y＝x+3，
由得（与N重合舍去）或，
∴P（1，4），
②若△ACP是以AC为斜边的直角三角形，
过A作AE∥y轴，过C作CF∥y轴，过P作EF∥x轴，交点分别为E、F，如答图：
∵∠APC＝90°，
∴∠EPA＝90°﹣∠FPC＝∠PCF，
而∠E＝∠F＝90°，
∴△AEP∽△PFC，
∴，
∵点P的横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），
又A（﹣1，0），C（2，3），
∴AE＝﹣t2+2t+3，PF＝2﹣t，EP＝t﹣（﹣1）＝t+1，CF＝（﹣t2+2t+3）﹣3＝﹣t2+2t，
∴，解得t＝或t＝，
∵P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，
∴﹣1＜t＜2，
∴t＝，
∴P（，）．

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