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2021年辽宁省铁岭市部分校中考数学第一次适应性试卷
一．选择题（共10小题）.
1．桂林是世界著名的风景旅游城市和历史文化名城，地处南岭山系西南部，广西东北部，行政区域总面积27 809平方公里．将27 809用科学记数法表示应为（　　）
A．0.278 09×105 B．27.809×103
C．2.780 9×103 D．2.780 9×104
2．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知M＝，则M的取值范围是（　　）
A．8＜M＜9 B．7＜M＜8 C．6＜M＜7 D．5＜M＜6
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC交AC于点E，AE＝AC，若线段BC＝30，那么线段DE的长为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
7．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．不能确定
9．如图，将直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2，1），（7，1）．将三角板ABC沿x轴正方向平移，点B的对应点B'刚好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C平移的距离CC'＝（　　）
A．3 B．5 C．7 D．10
10．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．
其中正确的判断有 （　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③
二．填空题（满分24分，每小题3分）
11．有两双完全相同的鞋，从中任取两只，恰好成为一双的概率为　 　．
12．已知△ABC的内角满足|tanA﹣1|+＝0，则∠C＝　 　度．
13．若关于x的一元二次方程（a+4）x2+2x+a2﹣16＝0有一个根为0，则a的值为　 　．
14．已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若AB＝OB＝4，则AD＝　 　．
16．如图，直线AB交双曲线y＝于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段AC的中点，连接OA．若S△OAC＝，则k的值为　 　．
17．如图，PA切⊙O于A，OP交⊙O于B，且PB＝1，PA＝，则阴影部分的面积：S＝　 　．
18．如图，点P在等边三角形ABC的内部，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分别为D，E，F，若PD+PE+PF＝4，且S△ABC＝16，则△ABC的边长为　 　．
三．解答题
19．先化简，再求值：，其中x＝tan60°﹣2．
20．某学校为了解在校生的体能素质情况，从全校八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格）并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是　 　；
（2）扇形统计图中∠α的度数是　 　，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级有学生1500名，如果全部参加这次体育科目测试，那么估计不及格的人数为　 　人；
（4）测试老师从被测学生中随机抽取一名，所抽学生为B级的概率是多少？
四．解答题
21．如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，若CD＝2，tan∠ACO＝，点A的坐标为（m，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）连接OB，点P在直线AC上，且S△AOP＝2S△BOC，求点P的坐标．
22．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分∠CBF，过点A作AD⊥BF于点D．
（1）求证：DA为⊙O的切线；
（2）若BD＝1，tan∠ABD＝2，求⊙O的半径．
五．解答题
23．有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．
（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；
（参考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）
（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．
六．解答题
24．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进行直播销售板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元．设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
七．解答题
25．问题背景
如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
尝试应用
如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．
拓展创新
如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．
八．解答题
26．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题（满分30分，每小题3分）
1．桂林是世界著名的风景旅游城市和历史文化名城，地处南岭山系西南部，广西东北部，行政区域总面积27 809平方公里．将27 809用科学记数法表示应为（　　）
A．0.278 09×105 B．27.809×103
C．2.780 9×103 D．2.780 9×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
解：27 809＝2.780 9×104．故选D．
2．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D符合题意，
故选：D．
3．已知M＝，则M的取值范围是（　　）
A．8＜M＜9 B．7＜M＜8 C．6＜M＜7 D．5＜M＜6
【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．
解：M＝，
∵2＜＜3，
∴6＜4+＜7，
∴6＜M＜7，
故选：C．
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
5．某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】由于有13名同学参加百米赛跑，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
解：共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小勇需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小勇知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：C．
6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC交AC于点E，AE＝AC，若线段BC＝30，那么线段DE的长为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得DE的长，本题得以解决．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AE＝AC，线段BC＝30，
∴，
解得，DE＝10，
故选：B．
7．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到＝，借助相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】 解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴＝，
∴＝，
故选：D．
8．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．不能确定
【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD＝OE，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的中位线的性质得到OD＝BC，求得∠COB＝60°，得到∠AOC＝120°，于是得到结论．
解：连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，
∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，
∴OD＝OE，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，
∵OA＝OB，
∴OD＝BC，
∴BC＝OE＝OB＝OC，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴＝，
故选：A．
9．如图，将直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2，1），（7，1）．将三角板ABC沿x轴正方向平移，点B的对应点B'刚好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C平移的距离CC'＝（　　）
A．3 B．5 C．7 D．10
【分析】先根据平移的性质得到点B'的纵坐标为1，BB′＝CC′，则利用反比例函数解析式可确定B'（10，1），则BB'＝3，从而得到CC'的长度．
解：∵点A，B的坐标分别为（2，1），（7，1）．将三角板ABC沿x轴正方向平移，
∴点B'的纵坐标为1，BB′＝CC′，
当y＝1时，＝1，解得x＝10，
∴B'（10，1），
∴BB'＝10﹣7＝3，
∴CC'＝3．
故选：A．
10．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．
其中正确的判断有 （　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③
【分析】①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确；
②根据二次函数的性质进行判断；
③根据平移的公式求出平移后的解析式便可；
④因BC边一定，只要其他三边和最小便可，作点B关于y轴的对称点B′，作C点关于x轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，求出B′C′便是其他三边和的最小值．
解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，
∵△＝4﹣4＝0，
∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①结论正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，
又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，
∴y2＞y3＞y1，故②结论错误；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故③结论正确；
④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，
∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，
则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，
∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：+＝+＝，故④结论正确；
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：C．
二．填空题（满分24分，每小题3分）
11．有两双完全相同的鞋，从中任取两只，恰好成为一双的概率为　　．
【分析】设其中一双鞋分别为a，a′；画出树状图，可知共有12种情况，能配成一双的有8种情况，根据概率公式计算即可；
解：设其中一双鞋分别为a，a′；
画树状图得：
∵共有12种情况，能配成一双的有8种情况，
∴取出两只刚好配一双鞋的概率是：＝．
故答案为：．
12．已知△ABC的内角满足|tanA﹣1|+＝0，则∠C＝　105　度．
【分析】根据非负数的和为零，可得特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案．
解：由题意，得tanA﹣1＝0，cosB﹣1＝0，
所以tanA＝，cosB＝，
解得∠A＝30°，∠B＝45°，
∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
故答案为与：105．
13．若关于x的一元二次方程（a+4）x2+2x+a2﹣16＝0有一个根为0，则a的值为　4　．
【分析】把x＝0代入方程得出关于a的方程求得a的数值，且二次项系数不能为0，两者结合得出a的数值即可．
解：把x＝0代入关于x的一元二次方程（a+4）x2+2x+a2﹣16＝0，得
a2﹣16＝0，
解得：a＝4或﹣4，
∵a+4≠0，a≠﹣4，
∴a＝4．
故答案为：4．
14．已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　m≥0　．
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m+1，
∵当x12时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣m+1≤1，
解得m≥0．
故m的取值范围是m≥0．
故答案为：m≥0．
15．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若AB＝OB＝4，则AD＝　4　．
【分析】矩形的对角线相等且互相平分，可得到△AOB是等边三角形，那么即可求得BD长，进而利用勾股定理可求得AD长．
解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝OB＝4．
∴OA＝OB＝OD＝OC＝4．
∴BD＝OB+OD＝4+4＝8．
在直角三角形ABD中，AB＝4，BD＝8．
由勾股定理可知AD2＝BD2﹣AB2＝82﹣42＝48．
∴AD＝4，
故答案为：4．
16．如图，直线AB交双曲线y＝于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段AC的中点，连接OA．若S△OAC＝，则k的值为　　．
【分析】设A点坐标为（a，），C点坐标为（b，0），根据线段中点坐标公式得到B点坐标为（，），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到?＝k，得到b＝3a，然后根据三角形面积公式得到?3a?＝，于是可计算出k＝．
解：设A点坐标为（a，），C点坐标为（b，0），
∵B恰为线段AC的中点，
∴B点坐标为（，），
∵B点在反比例函数图象上，
∴?＝k，
∴b＝3a，
∵S△OAC＝，
∴b?＝，
∴?3a?＝，
∴k＝．
故答案为．
17．如图，PA切⊙O于A，OP交⊙O于B，且PB＝1，PA＝，则阴影部分的面积：S＝　（或）　．
【分析】连接OA，延长BO交圆于点E，则∠A＝90°，由切割线定理知AP2＝PB?PE，即可求得圆的半径OB＝OA＝1，得到tanP＝OA：PA＝1：，确定∠P，∠AOB的度数，所以阴影部分的面积＝S△PAO﹣S扇形OAB，代入数值即可求值．
解：连接OA，延长BO交圆于点E，则∠A＝90°，
∵AP2＝PB?PE，
∴PE＝3，BE＝PE﹣PB＝3﹣1＝2，
∴OB＝OA＝1，tanP＝OA：PA＝1：，
∴∠P＝30°，∠AOB＝60°，
∴阴影部分的面积＝S△PAO﹣S扇形OAB＝×1×﹣＝﹣．
18．如图，点P在等边三角形ABC的内部，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分别为D，E，F，若PD+PE+PF＝4，且S△ABC＝16，则△ABC的边长为　8　．
【分析】连接AP，BP，PC，根据S△ABC＝AB×PF+×AC×PE+BC×PD＝×AB×（PF+PE+PD），求解即可．
解：连接AP，BP，PC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵S△ABC＝AB×PF+×AC×PE+BC×PD＝×AB×（PF+PE+PD）＝16，PD+PE+PF＝4
∴AB＝8，
故答案为8．
三．解答题
19．先化简，再求值：，其中x＝tan60°﹣2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由特殊锐角三角函数值得出x的值，代入计算可得．
解：原式＝﹣?
＝﹣
＝﹣，
当x＝tan60°﹣2＝﹣2时，
原式＝﹣＝﹣＝﹣．
20．某学校为了解在校生的体能素质情况，从全校八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格）并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是　40　；
（2）扇形统计图中∠α的度数是　54°　，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级有学生1500名，如果全部参加这次体育科目测试，那么估计不及格的人数为　300　人；
（4）测试老师从被测学生中随机抽取一名，所抽学生为B级的概率是多少？
【分析】（1）根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得抽测的人数；
（2）根据A级的人数除以抽测的人数，可得A级人数所占抽测人数的百分比，根据圆周角乘以A级人数所占抽测人数的百分比，可得A级的扇形的圆心角，根据有理数的减法，可得C及抽测的人数；
（3）根据D级抽测的人数除以抽测的总人数，可得D及所占抽测人数的百分比，根据八年级的人数乘以D及所占抽测人数的百分比，可得答案；
（4）根据B级抽测的人数除以抽测的人数，可得答案．
解：（1）本次抽样测试的学生人数是12÷30%＝40（人），
（2）扇形统计图中∠α的度数是×360°＝54°，
条形统计图为：
，
（3）该校八年级有学生1500名，如果全部参加这次体育科目测试，那么估计不及格的人数为1500×＝300（人），
（4）测试老师从被测学生中随机抽取一名，所抽学生为B级的概率是＝0.3，
故答案为：40，54°，0.3．
四．解答题
21．如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，若CD＝2，tan∠ACO＝，点A的坐标为（m，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）连接OB，点P在直线AC上，且S△AOP＝2S△BOC，求点P的坐标．
【分析】（1）根据Rt△COD中，tan∠ACO＝，CD＝2，即可得到D（0，2），C（4，0），运用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式；
（2）先解方程组求得B（6，﹣1），进而得到S△AOP＝2S△BOC＝2××4×1＝4，设P（x，﹣x+2），再分两种情况：①当点P在CD上时，S△AOP＝S△AOD+S△DOP，②当点P'在CA延长线上时，S△AOP'＝S△DOP﹣S△AOD，分别求得点P的坐标为（2，1）或（﹣6，5）．
解：（1）∵Rt△COD中，tan∠ACO＝，
∴CO＝2OD，
又∵CD＝2，
∴OD2+4OD2＝（2）2，
解得OD＝2，CO＝4，
∴D（0，2），C（4，0），
∵直线y＝ax+b（a≠0）与x轴、y轴分别交于C、D两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2，
把点A的坐标（m，3）代入，可得
3＝﹣m+2，解得m＝﹣2，
∴A（﹣2，3），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A，
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）解方程组，可得或，
∴B（6，﹣1），
∴S△AOP＝2S△BOC＝2××4×1＝4，
设P（x，﹣x+2），
分两种情况：
①当点P在CD上时，S△AOP＝S△AOD+S△DOP，
∴4＝×2×2+×2×|x|，解得x＝2，
∴P（2，1）；
②当点P'在CA延长线上时，S△AOP'＝S△DOP'﹣S△AOD
∴4＝×2×|x|﹣×2×2，解得x＝﹣6，
∴P'（﹣6，5）．
综上所述，点P的坐标为（2，1）或（﹣6，5）．
22．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分∠CBF，过点A作AD⊥BF于点D．
（1）求证：DA为⊙O的切线；
（2）若BD＝1，tan∠ABD＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）要证AD是⊙O的切线，连接OA，只证∠DAO＝90°即可．
（2）根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OA；
∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，
∴∠ADB＝∠BAC＝90°，∠DBA＝∠CBA；
∵∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAO＝∠DAB+∠BAO＝∠BAO+∠OAC＝90°，
∴DA为⊙O的切线．
（2）解：∵BD＝1，tan∠ABD＝2，
∴AD＝2，
∴AB＝＝＝，
∴cos∠DBA＝；
∵∠DBA＝∠CBA，
∴BC＝＝＝5．
∴⊙O的半径为2.5．
五．解答题
23．有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．
（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；
（参考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）
（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．
【分析】（1）过O作OG⊥BD于点G，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠EAB＝∠BOG＝28°，再利用锐角三角函数即可解决问题；
（2）根据已知条件证明△AEB∽△CFD，对应边成比例即可求出CF的高度．
解：（1）如图，过O作OG⊥BD于点G，
∵AE⊥BD，
∴OG∥AE，
∵BO＝DO，
∴OG平分∠BOD，
∴∠BOG＝∠BOD＝×56°＝28°，
∴∠EAB＝∠BOG＝28°，
在Rt△ABE中，AB＝AO+BO＝70+80＝150（cm），
∴AE＝AB?cos∠EAB＝150×cos28°≈150×0.88＝132（cm），
答：点A离地面的高度AE约为132cm；
（2）∵OG∥AE，
∴∠EAB＝∠BOG，
∵CF⊥BD，
∴CF∥OG，
∴∠DCF＝∠DOG，
∵∠BOG＝∠DOG，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△AEB∽△CFD，
∴＝，
∴CF＝＝＝100（cm），
答：C点离地面的高度CF为100cm．
六．解答题
24．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进行直播销售板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元．设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
【分析】（1）分两种情况讨论，由日获利＝销售单价×数量，可求解；
（2）分两种情况讨论，由二次函数的性质，分别求出6≤x≤10和10＜x≤30时的最大利润，即可求解．
解：（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000，
∴x≤10，
∴当6≤x≤10时，W＝（x﹣6+1）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x﹣27000，
当10＜x≤30时，W＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000，
综上所述：W＝；
（2）当6≤x≤10时，W＝﹣100x2+5500x﹣27000＝﹣100（x﹣）2+48625，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝，
∴当6≤x≤10时，y随x的增大而增大，即当x＝10时，W最大值＝18000元，
当10＜x≤30时，W＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28，
∴当x＝28时，W有最大值为46400元，
∵46400＞18000，
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元．
七．解答题
25．问题背景
如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
尝试应用
如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．
拓展创新
如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．
【分析】问题背景
由等边三角形的性质得出∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，证得△ACD≌△AEB（SAS），由旋转的概念可得出答案；
尝试应用
证明△ADE≌△ACB（SAS），由全等三角形的性质得出∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，得出∠BDF＝30°，由直角三角形的性质得出BF＝DF，则可得出答案；
拓展创新
过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，由直角三角形的性质求出BE，PE的长，则可得出答案．
【解答】问题背景
解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，
即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；
尝试应用
∵△ACD和△ABE都是等边三角形，
∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，
∴∠CAB＝∠DAE，
∴△ADE≌△ACB（SAS），
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADF＝90°，
∵∠ADC＝∠ACD＝60°，
∴∠DCF＝∠CDF＝30°，
∴CF＝DF，
∵BD⊥BC，
∴∠BDF＝30°，
∴BF＝DF，
设BF＝x，则CF＝DF＝2x，DE＝3x，
∴；
拓展创新
∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，
∴CD＝AB＝1，
如图，过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，
∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，
∴∠PAC＝90°，PA＝AC，
∵∠EAD＝90°，
∴∠PAE＝∠CAD，
∴△CAD≌△PAE（SAS），
∴PE＝CD＝1，
∵AB＝2，AE＝AD＝1，
∴BE＝＝＝，
∴BP≤BE+PE＝+1，
∴BP的最大值为+1．
八．解答题
26．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）先确定C（0，6），设交点式y＝a（x+1）（x﹣6），然后把C点坐标代入求出a的值即可；
（2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，先利用待定系数法求出AC所在直线解析式，再将二次函数解析式配方得到其对称轴方程，继而可得答案；
（3）设P点坐标为（x，﹣x2+5x+6），根据两点间的距离公式得到PC2＝x2+（﹣x2+5x）2，PA2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，AC2＝72，讨论：当∠PAC＝90°，利用勾股定理得到（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+72＝x2+（﹣x2+5x）2；当∠PCA＝90°，利用勾股定理得到72+x2+（﹣x2+5x）2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2；当∠APC＝90°，利用勾股定理得到（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+x2+（﹣x2+5x）2＝72，然后分别解方程即可得到对应的P点坐标．
解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx+6＝6，则C（0，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣6），
把C（0，6）代入得a?1?（﹣6）＝6，解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣6），即y＝﹣x2+5x+6；
（2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，
设AC所在直线的解析式为y＝mx+n，
将A（6，0），C（0，6）代入，得：，
解得：，
则AC所在直线解析式为y＝﹣x+6，
又y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
在直线y＝﹣x+6中当x＝时，y＝，
则M的坐标为（，）；
（3）设P点坐标为（x，﹣x2+5x+6），
存在4个点P，使△ACP为直角三角形．
PC2＝x2+（﹣x2+5x）2，PA2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，AC2＝62+62＝72，
当∠PAC＝90°，∵PA2+AC2＝PC2，
∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+72＝x2+（﹣x2+5x）2，
整理得x2﹣4x﹣12＝0，解得x1＝6（舍去），x2＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，﹣8）；
当∠PCA＝90°，∵PC2+AC2＝PA2，
72+x2+（﹣x2+5x）2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，
整理得x2﹣4x＝0，解得x1＝0（舍去），x2＝4，此时P点坐标为（4，10）；
当∠APC＝90°，∵PA2+AC2＝PC2，
∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+x2+（﹣x2+5x）2＝72，
整理得x3﹣10x2+20x+24＝0，
x3﹣10x2+24x﹣4x+24＝0，
x（x2﹣10x+24）﹣4（x﹣6）＝0，
x（x﹣4）（x﹣6）﹣4（x﹣6）＝0，
（x﹣6）（x2﹣4x﹣4）＝0，
而x﹣6≠0，
所以x2﹣4x﹣4＝0，解得x1＝2+2，x2＝2﹣2，
此时P点坐标为（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）；
综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）．

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