2021年山东省泰安市新泰市南部联盟中考数学第一次联考试卷(Word版 含解析)

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2021年山东省泰安市新泰市南部联盟中考数学第一次联考试卷
一、选择题(共12小题).
1.计算:﹣(﹣2)+(﹣2)0的结果是(  )
A.﹣3 B.0 C.﹣1 D.3
2.下列运算正确的是(  )
A.2y3+y3=3y6 B.y2?y3=y6 C.(3y2)3=9y6 D.y3÷y﹣2=y5
3.如图是下列哪个几何体的主视图与俯视图(  )
A. B.
C. D.
4.如图,将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上,若∠2=44°,则∠1的大小为(  )
A.14° B.16° C.90°﹣α D.α﹣44°
5.某中学九年级二班六组的8名同学在一次排球垫球测试中的成绩如下(单位:个)
35 38 42 44 40 47 45 45
则这组数据的中位数、平均数分别是(  )
A.42、42 B.43、42 C.43、43 D.44、43
6.夏季来临,某超市试销A、B两种型号的风扇,两周内共销售30台,销售收入5300元,A型风扇每台200元,B型风扇每台150元,问A、B两种型号的风扇分别销售了多少台?若设A型风扇销售了x台,B型风扇销售了y台,则根据题意列出方程组为(  )
A.
B.
C.
D.
7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则反比例函数y=与一次函数y=ax+b在同一坐标系内的大致图象是(  )
A. B.
C. D.
8.不等式组有3个整数解,则a的取值范围是(  )
A.﹣6≤a<﹣5 B.﹣6<a≤﹣5 C.﹣6<a<﹣5 D.﹣6≤a≤﹣5
9.如图,BM与⊙O相切于点B,若∠MBA=140°,则∠ACB的度数为(  )
A.40° B.50° C.60° D.70°
10.一元二次方程(x+1)(x﹣3)=2x﹣5根的情况是(  )
A.无实数根
B.有一个正根,一个负根
C.有两个正根,且都小于3
D.有两个正根,且有一根大于3
11.如图,将正方形网格放置在平面直角坐标系中,其中每个小正方形的边长均为1,△ABC经过平移后得到△A1B1C1,若AC上一点P(1.2,1.4)平移后对应点为P1,点P1绕原点顺时针旋转180°,对应点为P2,则点P2的坐标为(  )
A.(2.8,3.6) B.(﹣2.8,﹣3.6)
C.(3.8,2.6) D.(﹣3.8,﹣2.6)
12.在同一平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能是(  )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共6小题,满分24分.只要求填写最后结果,每小题填对得4分)
13.一个铁原子的质量是0.000000000000000000000000093kg,将这个数据用科学记数法表示为   kg.
14.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠A=45°,BC=4,则⊙O的直径为   .
15.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A'处,若EA'的延长线恰好过点C,则sin∠ABE的值为   .
16.《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银一枚各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意可列方程组为   .
17.如图,在△ABC中,AC=6,BC=10,tanC=,点D是AC边上的动点(不与点C重合),过D作DE⊥BC,垂足为E,点F是BD的中点,连接EF,设CD=x,△DEF的面积为S,则S与x之间的函数关系式为   .
18.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的y与x的部分对应值如下表:
x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2
y 6 0 ﹣6 ﹣4 6
下列结论:
①a>0;
②当x=﹣2时,函数最小值为﹣6;
③若点(﹣8,y1),点(8,y2)在二次函数图象上,则y1<y2;
④方程ax2+bx+c=﹣5有两个不相等的实数根.
其中,正确结论的序号是   .(把所有正确结论的序号都填上)
三、解答题(本大题共7小题,满分78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
19.先化简,再求值÷(﹣m﹣1),其中m=﹣2.
20.文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元,甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍,若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.
(1)甲乙两种图书的售价分别为每本多少元?
(2)书店为了让利读者,决定甲种图书售价每本降低3元,乙种图书售价每本降低2元,问书店应如何进货才能获得最大利润?(购进的两种图书全部销售完.)
21.端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个,购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同.已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍.
(1)求A、B两种粽子的单价各是多少?
(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个,已知A、B两种粽子的进价不变.求A种粽子最多能购进多少个?
22.如图,矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8,E是DC的中点,反比例函数y=的图象经过点E,与AB交于点F.
(1)若点B坐标为(﹣6,0),求m的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式;
(2)若AF﹣AE=2,求反比例函数的表达式.
23.已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB=AB,且S△OAB=.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)若点P为x轴上一点,△ABP是等腰三角形,求点P的坐标.
24.为弘扬泰山文化,某校举办了“泰山诗文大赛”活动,从中随机抽取部分学生的比赛成绩,根据成绩(成绩都高于50分),绘制了如下的统计图表(不完整):
组别 分数 人数
第1组 90<x≤100 8
第2组 80<x≤90 a
第3组 70<x≤80 10
第4组 60<x≤70 b
第5组 50<x≤60 3
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)求出a,b的值;
(2)计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数;
(3)若该校共有1800名学生,那么成绩高于80分的共有多少人?
25.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣4,0)、B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,﹣2),连接AE.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,求△ADE面积的最大值;
(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P点的坐标,若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对4分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分)
1.计算:﹣(﹣2)+(﹣2)0的结果是(  )
A.﹣3 B.0 C.﹣1 D.3
解:﹣(﹣2)+(﹣2)0
=2+1
=3,
故选:D.
2.下列运算正确的是(  )
A.2y3+y3=3y6 B.y2?y3=y6 C.(3y2)3=9y6 D.y3÷y﹣2=y5
解:2y3+y3=3y3,A错误;
y2?y3=y5,B错误;
(3y2)3=27y6,C错误;
y3÷y﹣2=y3﹣(﹣2)=y5,
故选:D.
3.如图是下列哪个几何体的主视图与俯视图(  )
A. B.
C. D.
解:由已知主视图和俯视图可得到该几何体是圆柱体的一半,只有选项C符合题意.
故选:C.
4.如图,将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上,若∠2=44°,则∠1的大小为(  )
A.14° B.16° C.90°﹣α D.α﹣44°
解:如图,∵矩形的对边平行,
∴∠2=∠3=44°,
根据三角形外角性质,可得∠3=∠1+30°,
∴∠1=44°﹣30°=14°,
故选:A.
5.某中学九年级二班六组的8名同学在一次排球垫球测试中的成绩如下(单位:个)
35 38 42 44 40 47 45 45
则这组数据的中位数、平均数分别是(  )
A.42、42 B.43、42 C.43、43 D.44、43
解:把这组数据排列顺序得:35 38 40 42 44 45 45 47,
则这组数据的中位数为:=43,
=×(35+38+42+44+40+47+45+45)=42,
故选:B.
6.夏季来临,某超市试销A、B两种型号的风扇,两周内共销售30台,销售收入5300元,A型风扇每台200元,B型风扇每台150元,问A、B两种型号的风扇分别销售了多少台?若设A型风扇销售了x台,B型风扇销售了y台,则根据题意列出方程组为(  )
A.
B.
C.
D.
解:设A型风扇销售了x台,B型风扇销售了y台,
则根据题意列出方程组为:.
故选:C.
7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则反比例函数y=与一次函数y=ax+b在同一坐标系内的大致图象是(  )
A. B.
C. D.
解:由二次函数开口向上可得:a>0,对称轴在y轴左侧,故a,b同号,则b>0,
故反比例函数y=图象分布在第一、三象限,一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限.
故选:C.
8.不等式组有3个整数解,则a的取值范围是(  )
A.﹣6≤a<﹣5 B.﹣6<a≤﹣5 C.﹣6<a<﹣5 D.﹣6≤a≤﹣5
解:不等式组,
由﹣x<﹣1,解得:x>4,
由4(x﹣1)≤2(x﹣a),解得:x≤2﹣a,
故不等式组的解集为:4<x≤2﹣a,
由关于x的不等式组有3个整数解,
解得:7≤2﹣a<8,
解得:﹣6<a≤﹣5.
故选:B.
9.如图,BM与⊙O相切于点B,若∠MBA=140°,则∠ACB的度数为(  )
A.40° B.50° C.60° D.70°
解:连接OB,OA,如图,
∵BM与⊙O相切于点B,
∴OB⊥BM,
∴∠OBM=90°,
∴∠OBA=∠ABM﹣∠OBM=140°﹣90°=50°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=50°,
∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°,
∴∠ACB=∠AOB=40°.
故选:A.
10.一元二次方程(x+1)(x﹣3)=2x﹣5根的情况是(  )
A.无实数根
B.有一个正根,一个负根
C.有两个正根,且都小于3
D.有两个正根,且有一根大于3
解:(x+1)(x﹣3)=2x﹣5
整理得:x2﹣2x﹣3=2x﹣5,
则x2﹣4x+2=0,
(x﹣2)2=2,
解得:x1=2+>3,x2=2﹣,
故有两个正根,且有一根大于3.
故选:D.
11.如图,将正方形网格放置在平面直角坐标系中,其中每个小正方形的边长均为1,△ABC经过平移后得到△A1B1C1,若AC上一点P(1.2,1.4)平移后对应点为P1,点P1绕原点顺时针旋转180°,对应点为P2,则点P2的坐标为(  )
A.(2.8,3.6) B.(﹣2.8,﹣3.6)
C.(3.8,2.6) D.(﹣3.8,﹣2.6)
解:由题意将点P向下平移5个单位,再向左平移4个单位得到P1,
∵P(1.2,1.4),
∴P1(﹣2.8,﹣3.6),
∵P1与P2关于原点对称,
∴P2(2.8,3.6),
故选:A.
12.在同一平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能是(  )
A.
B.
C.
D.
解:A、二次函数图象开口向上,对称轴在y轴右侧,
∴a>0,b<0,
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限,且与二次函数交于y轴负半轴的同一点,
故A错误;
B、∵二次函数图象开口向下,对称轴在y轴左侧,
∴a<0,b<0,
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限,且与二次函数交于y轴负半轴的同一点,
故B错误;
C、二次函数图象开口向上,对称轴在y轴右侧,
∴a>0,b<0,
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限,且与二次函数交于y轴负半轴的同一点,
故C正确;
∵D、二次函数图象开口向上,对称轴在y轴右侧,
∴a>0,b<0,
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限,且与二次函数交于y轴负半轴的同一点,
故D错误;
故选:C.
二、填空题(本大题共6小题,满分24分.只要求填写最后结果,每小题填对得4分)
13.一个铁原子的质量是0.000000000000000000000000093kg,将这个数据用科学记数法表示为 9.3×10﹣26 kg.
解:0.000000000000000000000000093=9.3×10﹣26,
故答案为:9.3×10﹣26.
14.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠A=45°,BC=4,则⊙O的直径为 4 .
解:如图,连接OB,OC,
∵∠A=45°,
∴∠BOC=90°,
∴△BOC是等腰直角三角形,
又∵BC=4,
∴BO=CO=BC?cos45°=2,
∴⊙O的直径为4,
故答案为:4.
15.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A'处,若EA'的延长线恰好过点C,则sin∠ABE的值为  .
解:由折叠知,A'E=AE,A'B=AB=6,∠BA'E=90°,
∴∠BA'C=90°,
在Rt△A'CB中,A'C==8,
设AE=x,则A'E=x,
∴DE=10﹣x,CE=A'C+A'E=8+x,
在Rt△CDE中,根据勾股定理得,(10﹣x)2+36=(8+x)2,
∴x=2,
∴AE=2,
在Rt△ABE中,根据勾股定理得,BE==2,
∴sin∠ABE==,
故答案为:.
16.《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银一枚各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意可列方程组为  .
解:设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,由题意得:

故答案为:.
17.如图,在△ABC中,AC=6,BC=10,tanC=,点D是AC边上的动点(不与点C重合),过D作DE⊥BC,垂足为E,点F是BD的中点,连接EF,设CD=x,△DEF的面积为S,则S与x之间的函数关系式为 S=x2 .
解:在Rt△CDE中,tanC=,CD=x
∴DE=x,CE=x,
∴BE=10﹣x,
∴S△BED=×(10﹣x)?x=﹣x2+3x.
∵DF=BF,
∴S=S△BED=x2,
故答案为S=x2.
18.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的y与x的部分对应值如下表:
x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2
y 6 0 ﹣6 ﹣4 6
下列结论:
①a>0;
②当x=﹣2时,函数最小值为﹣6;
③若点(﹣8,y1),点(8,y2)在二次函数图象上,则y1<y2;
④方程ax2+bx+c=﹣5有两个不相等的实数根.
其中,正确结论的序号是 ①③④ .(把所有正确结论的序号都填上)
解:将(﹣4,0)(0,﹣4)(2,6)代入y=ax2+bx+c得,
,解得,,
∴抛物线的关系式为y=x2+3x﹣4,
a=1>0,因此①正确;
对称轴为x=﹣,即当x=﹣时,函数的值最小,因此②不正确;
把(﹣8,y1)(8,y2)代入关系式得,y1=64﹣24﹣4=36,y2=64+24﹣4=84,因此③正确;
方程ax2+bx+c=﹣5,也就是x2+3x﹣4=﹣5,即方程x2+3x+1=0,由b2﹣4ac=9﹣4=5>0可得x2+3x+1=0有两个不相等的实数根,因此④正确;
正确的结论有:①③④,
故答案为:①③④.
三、解答题(本大题共7小题,满分78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
19.先化简,再求值÷(﹣m﹣1),其中m=﹣2.
解:原式=÷(﹣)
=÷
=?
=﹣,
当m=﹣2时,
原式=﹣
=﹣
=﹣1+2.
20.文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元,甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍,若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.
(1)甲乙两种图书的售价分别为每本多少元?
(2)书店为了让利读者,决定甲种图书售价每本降低3元,乙种图书售价每本降低2元,问书店应如何进货才能获得最大利润?(购进的两种图书全部销售完.)
解:(1)设乙种图书售价每本x元,则甲种图书售价为每本1.4x元
由题意得:
解得:x=20
经检验,x=20是原方程的解
∴甲种图书售价为每本1.4×20=28元
答:甲种图书售价每本28元,乙种图书售价每本20元
(2)设甲种图书进货a本,总利润W元,则
W=(28﹣20﹣3)a+(20﹣14﹣2)(1200﹣a)=a+4800
∵20a+14×(1200﹣a)≤20000
解得a≤
∵w随a的增大而增大
∴当a最大时w最大
∴当a=533本时,w最大
此时,乙种图书进货本数为1200﹣533=667(本)
答:甲种图书进货533本,乙种图书进货667本时利润最大.
21.端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个,购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同.已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍.
(1)求A、B两种粽子的单价各是多少?
(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个,已知A、B两种粽子的进价不变.求A种粽子最多能购进多少个?
解:(1)设B种粽子单价为x元/个,则A种粽子单价为1.2x元/个,
根据题意,得:+=1100,
解得:x=2.5,
经检验,x=2.5是原方程的解,且符合题意,
∴1.2x=3.
答:A种粽子单价为3元/个,B种粽子单价为2.5元/个.
(2)设购进A种粽子m个,则购进B种粽子(2600﹣m)个,
依题意,得:3m+2.5(2600﹣m)≤7000,
解得:m≤1000.
答:A种粽子最多能购进1000个.
22.如图,矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8,E是DC的中点,反比例函数y=的图象经过点E,与AB交于点F.
(1)若点B坐标为(﹣6,0),求m的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式;
(2)若AF﹣AE=2,求反比例函数的表达式.
解:(1)点B坐标为(﹣6,0),AD=3,AB=8,E为CD的中点,
∴点A(﹣6,8),E(﹣3,4),
函数图象经过E点,
∴m=﹣3×4=﹣12,
设AE的解析式为y=kx+b,

解得,
∴一次函数的解析式为y=﹣x;
(2)AD=3,DE=4,
∴AE==5,
∵AF﹣AE=2,
∴AF=7,
BF=1,
设E点坐标为(a,4),则F点坐标为(a﹣3,1),
∵E,F两点在函数y=图象上,
∴4a=a﹣3,解得a=﹣1,
∴E(﹣1,4),
∴m=﹣1×4=﹣4,
∴y=﹣.
23.已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB=AB,且S△OAB=.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)若点P为x轴上一点,△ABP是等腰三角形,求点P的坐标.
解:(1)过点A作AD⊥x轴于点D
∵S△AOB=∴,
∴AD=3,
∵B(5,0),
∴AB=OB=5,
在Rt△ABD中,BD=.
∴OD=9,
∴A(9,3),
∵经过点A,
∴,
∴m=27,
∴反比例函数表达式为.
∵y=kx+b经过点A,点B,
∴,
解得:,
∴一次函数表达式为;
(2)本题分三种情况
①当以AB为腰,且点B为顶角顶点时,如图:
∵BP=OB=5,
∴点P的坐标为P1(0,0)、P2(10,0),
②当以AB为腰,且以点A为顶角顶点时,如图:点B关于AD的对称点即为所求
∵BD=DP3=4,
∴P3(13,0),
③当以AB为底时,如图:作线段AB的中垂线交x轴于点P4,交AB于点E,则点P4即为所求
由(1)得,C(0,),
在Rt△OBC中,
BC=,
∵cos∠ABP4=cos∠OBC,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
24.为弘扬泰山文化,某校举办了“泰山诗文大赛”活动,从中随机抽取部分学生的比赛成绩,根据成绩(成绩都高于50分),绘制了如下的统计图表(不完整):
组别 分数 人数
第1组 90<x≤100 8
第2组 80<x≤90 a
第3组 70<x≤80 10
第4组 60<x≤70 b
第5组 50<x≤60 3
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)求出a,b的值;
(2)计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数;
(3)若该校共有1800名学生,那么成绩高于80分的共有多少人?
解:(1)抽取学生人数10÷25%=40(人),
第2组人数 40×30%=12(人),
第4组人数 40×50%﹣10﹣3=7(人),
∴a=12,b=7;
(2)=27°,
∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°;
(3)成绩高于80分:1800×50%=900(人),
∴成绩高于80分的共有900人.
25.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣4,0)、B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,﹣2),连接AE.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,求△ADE面积的最大值;
(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P点的坐标,若不存在,请说明理由.
解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A(﹣4,0)、B(2,0),C(0,6),
∴,
解得,
所以二次函数的解析式为:y=,
(2)由A(﹣4,0),E(0,﹣2),可求AE所在直线解析式为y=,
过点D作DG⊥x轴于G,交AE于点F,交x轴于点G,过点E作EH⊥DF,垂足为H,如图
设D(m,),则点F(m,),
∴DF=﹣()=,
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH
=×DF×(AG+EH)
=×4×DF
=2×()
=,
∴当m=时,△ADE的面积取得最大值为.
(3)y=的对称轴为x=﹣1,
设P(﹣1,n),又E(0,﹣2),A(﹣4,0),
可求PA2=9+n2,PE2=1+(n+2)2,AE2=16+4=20,
当PA2=PE2时,9+n2=1+(n+2)2,
解得,n=1,此时P(﹣1,1);
当PA2=AE2时,9+n2=20,
解得,n=,此时点P坐标为(﹣1,);
当PE2=AE2时,1+(n+2)2=20,
解得,n=﹣2,此时点P坐标为:(﹣1,﹣2).
综上所述,
P点的坐标为:(﹣1,1),(﹣1,),(﹣1,﹣2).

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