2021年浙江省杭州市余杭区中考数学冲刺试卷(一)(Word版 含解析)

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2021年浙江省杭州市余杭区中考数学冲刺试卷(一)(Word版 含解析)

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2021年浙江省杭州市余杭区中考数学冲刺试卷(一)
一.选择题(每小题3分)
1.若|x|=5,|y|=2且x<0,y>0,则x+y=(  )
A.7 B.﹣7 C.3 D.﹣3
2.在一个不透明的盒子中装有4个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同,若从中随机摸出一个球,它是白球的概率为,则黄球的个数为(  )
A.6 B.8 C.10 D.12
3.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )
A. B. C. D.
4.如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图,该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数,众数分别是(  )
A.10.5,16 B.8.5,16 C.8.5,8 D.9,8
5.下列运算不正确的是(  )
A.a2?a3=a5 B.(y3)4=y12
C.(﹣2x)3=﹣8x3 D.x3+x3=2x6
6.代数式+中自变量x的取值范围是(  )
A.x≤2 B.x=3 C.x<2且x≠3 D.x≤2且x≠3
7.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,其中,方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载:“今有人共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数、鸡价各几何?”译文:“假设有几个人共同出钱买鸡,如果每人出九钱,那么多了十一钱;如果每人出六钱,那么少了十六钱.问:有几个人共同出钱买鸡?鸡的价钱是多少?”设有x个人共同买鸡,根据题意列一元一次方程,正确的是(  )
A.9x﹣11=6x+16 B.9x+11=6x﹣16
C. D.
8.如图,△ABC内接于⊙O,弦AB=6,sinC=,则⊙O的半径为(  )
A.5 B.10 C. D.
9.a是不为2的有理数,我们把称为a的“哈利数”.如:3的“哈利数”是=﹣2,﹣2的“哈利数”是,已知a1=3,a2是a1的“哈利数”,a3是a2的“哈利数”,a4是a3的“哈利数”,…,依此类推,则a2019=(  )
A.3 B.﹣2 C. D.
10.如图,点E,F分别为菱形ABCD的边AD,CD的中点,△BEF为等边三角形,BD交EF于点G,则下列结论正确的个数为(  )①△ABD是等边三角形;②∠ABE=∠CBF;③AB=BE;④△DEG∽△CBF.
A.1 B.2 C.3 D.4
二.填空题(满分24分,每小题4分)
11.上海合作组织青岛峰会期间,为推进“一带一路”建设,中国决定在上海合作组织银行联合体框架内,设立300亿元人民币等值专项贷款,将300亿元用科学记数法表示为   元.
12.已知x=2+,则代数式(7﹣4)x2+(2﹣)x﹣的值为   .
13.已知圆锥的侧面展开的扇形面积是24π,扇形的圆心角是60°,则这个圆锥的底面圆的半径是   .
14.若式子+1在实数范围内有意义,则x的取值范围是   .
15.在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(,0),C(0,﹣2),D(,0),则以这四个点为顶点的四边形ABCD是   .
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠BAC,BD=6,则CD的长为   .
三.解答题
17.给出三个多项式:①a2+3ab﹣2b2,②b2﹣3ab,③ab+6b2.请任请选择两个多项式进行加法运算,并把结果分解因式.
18.众志成城抗击新型冠状病毒,某校积极开展网络课程,计划开设“我们一起战疫”系列五个课程(用A,B,C,D,E表示),要求每位学生根据自己需要自主选择其中一个课程(只选一个),为此,随机调查了本校各年级部分学生选择课程的意向,并将调查结果绘制成如图的统计(不完整).
根据统计图中的信息回答下列问题:
(1)求本校调查的学生总人数;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)若该共有1000名学生试估计全校选择C课程的学生人数.
19.如图,已知直线y1=﹣2x经过点P(﹣2,a),点P关于y轴的对称点P′在反比例函数y2=(k≠0)的图象上.
(1)求点P的坐标;
(2)求反比例函数的解析式,并直接写出当y2<2时自变量x的取值范围.
20.随着生活水平的提高,人们对饮用水品质的要求越来越高,某公司根据市场需求代理A,B两种型号的净水器,其中A型净水器每台的进价为2000元,B型净水器每台的进价为1800元,该公司计划购进A,B两种型号的净水器共50台进行试销,设购进A型净水器x台,购进这批净水器的总费用为y元.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)已知购进这批净水器的总费用不超过98000元,试销时A型净水器每台售价2500元,B型净水器每台售价2180元,公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a(a<120)元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金,若公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润不超过23000元,求a的取值范围.
21.如图所示,⊙O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,
(1)求证:△ABD是等腰三角形;
(2)求CD的长.
22.已知:如图,矩形ABCD中,点E在边AB上,∠DEB的平分线EF交BC的延长线于点F,且AB=BF,连接DF.
(1)若tan∠FDC=,AD=1,求DF的长;
(2)求证:DE=BE+CF.
23.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴负半轴于点A、B(点A在点B左边),交y轴于点C,OA=OC=4.
(1)求抛物线解析式;
(2)点P为对称轴右侧x轴下方的抛物线上一点,射线AP关于x轴对称图形(射线AQ)交抛物线于点Q,若点P的横坐标为t,点Q的横坐标为d,求d与t的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,射线BQ、AP分别交抛物线对称轴于点D、E,过点Q作x轴的平行线QF,在对称轴左侧作∠DEF交QF于点F,∠DEF=2∠BDE,QF+EF=,连接DF,求∠QDF的度数.
参考答案
一.选择题(满分30分,每小题3分)
1.若|x|=5,|y|=2且x<0,y>0,则x+y=(  )
A.7 B.﹣7 C.3 D.﹣3
解:∵|x|=5,|y|=2,
∴x=±5,y=±2,
∵x<0,y>0,
∴x=﹣5,y=2,
∴x+y=﹣3.
故选:D.
2.在一个不透明的盒子中装有4个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同,若从中随机摸出一个球,它是白球的概率为,则黄球的个数为(  )
A.6 B.8 C.10 D.12
解:设黄球有x个,根据题意,得:
=,
解得:x=8,
即黄球有8个,
故选:B.
3.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )
A. B. C. D.
解:A、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确;
B、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项错误;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;
故选:A.
4.如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图,该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数,众数分别是(  )
A.10.5,16 B.8.5,16 C.8.5,8 D.9,8
解:将这组数据从小到大的顺序排列后,处于中间位置的那个数,由中位数的定义可知,这组数据的中位数是9;
众数是一组数据中出现次数最多的数,即8;
故选:D.
5.下列运算不正确的是(  )
A.a2?a3=a5 B.(y3)4=y12
C.(﹣2x)3=﹣8x3 D.x3+x3=2x6
解:A.a2?a3=a2+3=a5,故本选项不合题意;
B.(y3)4=y3×4=y12,故本选项不合题意;
C.(﹣2x)3=(﹣2)3x3=﹣8x3,故本选项不合题意;
D.x3+x3=2x3,故本选项符合题意.
故选:D.
6.代数式+中自变量x的取值范围是(  )
A.x≤2 B.x=3 C.x<2且x≠3 D.x≤2且x≠3
解:由题意得,2﹣x≥0且x﹣3≠0,
解答x≤2且x≠3,
所以,自变量x的取值范围是x≤2.
故选:A.
7.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,其中,方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载:“今有人共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数、鸡价各几何?”译文:“假设有几个人共同出钱买鸡,如果每人出九钱,那么多了十一钱;如果每人出六钱,那么少了十六钱.问:有几个人共同出钱买鸡?鸡的价钱是多少?”设有x个人共同买鸡,根据题意列一元一次方程,正确的是(  )
A.9x﹣11=6x+16 B.9x+11=6x﹣16
C. D.
解:设有x个人共同买鸡,根据题意得:
9x﹣11=6x+16,
故选:A.
8.如图,△ABC内接于⊙O,弦AB=6,sinC=,则⊙O的半径为(  )
A.5 B.10 C. D.
解:过B作直径BD,连接AD,如图,则BD=3cm,
∵BD为直径,
∴∠BAD=90°,
∵∠D=∠C,
∴sinD=sinC==,
∵AB=6,
∴BD=10,
∴⊙O的半径为5,
故选:A.
9.a是不为2的有理数,我们把称为a的“哈利数”.如:3的“哈利数”是=﹣2,﹣2的“哈利数”是,已知a1=3,a2是a1的“哈利数”,a3是a2的“哈利数”,a4是a3的“哈利数”,…,依此类推,则a2019=(  )
A.3 B.﹣2 C. D.
解:∵a1=3,
∴a2==﹣2,
a3=,
a4==,
a5==3,
∴该数列每4个数为一周期循环,
∵2019÷4=504…3,
∴a2019=a3=,
故选:C.
10.如图,点E,F分别为菱形ABCD的边AD,CD的中点,△BEF为等边三角形,BD交EF于点G,则下列结论正确的个数为(  )①△ABD是等边三角形;②∠ABE=∠CBF;③AB=BE;④△DEG∽△CBF.
A.1 B.2 C.3 D.4
解:①如图,连接AC,与BD交于点O,设BD与EF交于G,AC与BE交于H,则AC⊥BD,
∵BE=BF,ED=DF,
∴BD是EF的垂直平分线,
∴EG=FG,∠EBG=∠EBF=30°,
Rt△BEG中,设EG=x,
则BE=2x,BG=x,
∵点E,F分别为菱形ABCD的边AD,CD的中点,
∴EG∥AO,E为AD的中点,
∴G是OD的中点,
∴AO=2EG=2x,OD=OB=2OG=BG=x,
∵OH∥GE,
∴△BHO∽△BEG,
∴==,
∴==,
∴OH=x,BH=x,
∴AH=AO﹣OH=2x﹣x=x,
∴AH=BH,
∴∠HAB=∠ABH,
∵∠BHC=∠HAB+∠ABH=60°,
∴∠HAB=∠ABH=30°,
∴∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形,
所以①正确;
②∵AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∴∠ABC=180°﹣60°=120°,
∵∠ABE=30°,∠EBF=60°,
∴∠CBF=120°﹣60°﹣30°=30°,
∴∠ABE=∠CBF,
所以②正确;
③∵∠ABE=30°,∠BAE=60°,
∴∠AEB=90°,
在Rt△ABE中,cos30°==,
∴AB=BE,
所以③错误;
④由①知,∠ABE=∠CBF=30°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠A=∠C,
∴△DEG∽△CBF,
所以④正确.
所以结论正确有①②④.
故选:C.
二.填空题(满分24分,每小题4分)
11.上海合作组织青岛峰会期间,为推进“一带一路”建设,中国决定在上海合作组织银行联合体框架内,设立300亿元人民币等值专项贷款,将300亿元用科学记数法表示为 3×1010 元.
解:300亿元=3×1010元.
故答案为:3×1010.
12.已知x=2+,则代数式(7﹣4)x2+(2﹣)x﹣的值为 2﹣ .
解:∵x=2+,
∴(7﹣4)x2+(2﹣)x﹣
=(7﹣4)(2+)2+(2﹣)(2+)﹣
=(7﹣4)(7+4)+(4﹣3)﹣
=49﹣48+1﹣
=2﹣.
故答案为:2﹣.
13.已知圆锥的侧面展开的扇形面积是24π,扇形的圆心角是60°,则这个圆锥的底面圆的半径是 2 .
解:设扇形的半径为r,圆锥的底面半径为R.
由题意,=24π,
解得r=12或﹣12(舍弃),
∵扇形的弧长=圆锥底面圆的周长,
∴=2?π?R,
∴R=2,
故答案为:2.
14.若式子+1在实数范围内有意义,则x的取值范围是 x≠1 .
解:∵式子+1在实数范围内有意义,
∴x﹣1≠0,解得:x≠1.
故答案为:x≠1.
15.在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(,0),C(0,﹣2),D(,0),则以这四个点为顶点的四边形ABCD是 菱形 .
解:∵A(0,2),B(,0),C(0,﹣2),D(,0),
∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴?ABCD是菱形.
故答案为:菱形.
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠BAC,BD=6,则CD的长为 3 .
解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=60°,
又AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=30°,
∴∠BAD=∠B=30°,
∴AD=BD=6,
∴CD=AD=3,
故答案是:3.
三.解答题
17.给出三个多项式:①a2+3ab﹣2b2,②b2﹣3ab,③ab+6b2.请任请选择两个多项式进行加法运算,并把结果分解因式.
解:①+②得:a2+3ab﹣2b2+b2﹣3ab=a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
①+③得:a2+3ab﹣2b2+ab+6b2=a2+4ab+4b2=(a+2b)2.
②+③得:b2﹣3ab+ab+6b2=7b2﹣2ab=b(7b﹣2a).
18.众志成城抗击新型冠状病毒,某校积极开展网络课程,计划开设“我们一起战疫”系列五个课程(用A,B,C,D,E表示),要求每位学生根据自己需要自主选择其中一个课程(只选一个),为此,随机调查了本校各年级部分学生选择课程的意向,并将调查结果绘制成如图的统计(不完整).
根据统计图中的信息回答下列问题:
(1)求本校调查的学生总人数;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)若该共有1000名学生试估计全校选择C课程的学生人数.
解:(1)由条形图、扇形图知,调查学生中选课程B的有70人,占调查人数的35%,
所以本校调查的总人数为:70÷35%=200(人).
答:本校调查的学生总人数为200人.
(2)调查学生中:选课程D的人数为200×10%=20(人),
选课程A的人数为200﹣70﹣40﹣20﹣10=60(人).
补全的条形统计图如图所示:
(3)调查学生中,选课程C的学生占调查学生的比为:40÷200=20%,
所以估计全校学生中选择课程C的人数为:1000×20%=200(人).
19.如图,已知直线y1=﹣2x经过点P(﹣2,a),点P关于y轴的对称点P′在反比例函数y2=(k≠0)的图象上.
(1)求点P的坐标;
(2)求反比例函数的解析式,并直接写出当y2<2时自变量x的取值范围.
解:(1)将M(﹣2,a)代入y=﹣2x中得:a=﹣2×(﹣2)=4,
∴P(﹣2,4),
(2)∵P(﹣2,4),
∴P'(2,4),
将(2,4)代入y=中得:k=8
∴反比例函数的解析式为y=,
由图象得:当y2<2时自变量x的取值范围:x<0或x>4.
20.随着生活水平的提高,人们对饮用水品质的要求越来越高,某公司根据市场需求代理A,B两种型号的净水器,其中A型净水器每台的进价为2000元,B型净水器每台的进价为1800元,该公司计划购进A,B两种型号的净水器共50台进行试销,设购进A型净水器x台,购进这批净水器的总费用为y元.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)已知购进这批净水器的总费用不超过98000元,试销时A型净水器每台售价2500元,B型净水器每台售价2180元,公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a(a<120)元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金,若公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润不超过23000元,求a的取值范围.
解:(1)根据题意得:y=2000x+1800(50﹣x)=200x+90000;
(2)200x+90000≤98000,
解得:x≤40,
设公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为w元,
则w=(2500﹣2000﹣a)x+(2180﹣1800)(50﹣x)=(120﹣a)x+19000,
∵a<120,
∴120﹣a>0,w随x的增大而增大,
∴当x=40时,w取得最大值,
∴40(120﹣a)+19000≤23000,
解得:a≥20,
∴a的取值范围是20≤a<120.
21.如图所示,⊙O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,
(1)求证:△ABD是等腰三角形;
(2)求CD的长.
【解答】(1)证明:连接OD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
由圆周角定理得,∠AOD=2∠ACD,∠BOD=2∠BCD,
∴∠AOD=∠BOD,
∴DA=DB,即△ABD是等腰三角形;
(2)解:作AE⊥CD于E,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD=AB=5,
∵AE⊥CD,∠ACE=45°,
∴AE=CE=AC=3,
在Rt△AED中,DE==4,
∴CD=CE+DE=3+4=7.
22.已知:如图,矩形ABCD中,点E在边AB上,∠DEB的平分线EF交BC的延长线于点F,且AB=BF,连接DF.
(1)若tan∠FDC=,AD=1,求DF的长;
(2)求证:DE=BE+CF.
【解答】(1)解:∵tan∠FDC=,
∴=,设FC=x,DC=2x,
∵AB=BF,AD=1,
∴2x=1+x,
解得:x=1,
∴FC=1,DC=2,
∴DF的长为:==;
(2)证明:过点F作FN⊥DE于点N,
∵∠DEB的平分线EF交BC的延长线于点F,FN⊥DE,FB⊥AB,
∴FN=FB(角平分线上的点到角的两边距离相等),
在Rt△FEN和Rt△FEB中

∴Rt△FEN≌Rt△FEB(HL),
∴NE=BE,
在Rt△FDN和Rt△DFC中

∴Rt△FDN≌Rt△DFC(HL),
∴FC=DN,
∴DE=NE+DN=BE+CF.
23.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴负半轴于点A、B(点A在点B左边),交y轴于点C,OA=OC=4.
(1)求抛物线解析式;
(2)点P为对称轴右侧x轴下方的抛物线上一点,射线AP关于x轴对称图形(射线AQ)交抛物线于点Q,若点P的横坐标为t,点Q的横坐标为d,求d与t的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,射线BQ、AP分别交抛物线对称轴于点D、E,过点Q作x轴的平行线QF,在对称轴左侧作∠DEF交QF于点F,∠DEF=2∠BDE,QF+EF=,连接DF,求∠QDF的度数.
解:(1)∵OA=OC=4,
∴A(﹣4,0),C(0,﹣4),
将A(﹣4,0),C(0,﹣4)代入y=﹣x2+bx+c中,得,
解得b=﹣5,c=﹣4,
∴y=﹣x2﹣5x﹣4;
(2)如图1,作QG⊥x轴于点G,作PH⊥x轴于点H,
tan∠PAO=,tan∠QAO=,
∵∠PAO=∠QAO,
∴,
∵点P的横坐标为t,点Q的横坐标为d,
∴P(t,﹣t2﹣5t﹣4),Q(d,﹣d2﹣5d﹣4),
则PH=t2+5t+4,AH=t+4,QG=﹣d2﹣5d﹣4,AG=d+4,
∴,即,
∴t+1=﹣d﹣1,
∴d=﹣t﹣2;
(3)如图2,连接BD,
∵DE⊥x轴于点M,
∴∠AME=90°,
∵抛物线的对称轴:x=﹣,
∴AM=4﹣=,
由(2)知:tan∠EAM=t+1,
在Rt△AME中,tan∠EAM=,
∴ME=AM?tan∠EAM=(t+1),
在Rt△DBM中,tan∠DBM=,
∴DM=BM?tan∠DBM=(2﹣t),
∴DM+EM==QF+EF,
设∠BDE=α,则∠DEF=2α,
作FN⊥DQ于点N,
在△FQN中,∠NFQ+∠NQF=90°,
设DE交FQ于点T.
∵FQ∥x轴,
∴∠DTF=∠DMA=90°,
在△DQT中,∠TDQ+∠NQF=90°,
∴∠NFQ=∠BDE=α,
在△EFT中,∠EFT=90°﹣2α,∠EFK=∠EFT+∠NFQ=90°﹣2α+α=90°﹣α,
在△EFK中,∠EKF=180°﹣∠FEK﹣∠EFK=180°﹣2α﹣(90°﹣α)=90°﹣α,
∴∠EFK=∠EKF,
∴EF=EK,
∴DK=FQ,
∴△FQN≌△DKN,(SAS)
∴FN=DN,
∴∠QDF=∠DFN=45°.

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