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2021年浙江省杭州市余杭区三校联考中考数学一模试卷
一．选择题（每小题3分）
1．下列整数中，与最接近的是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．下列判断：
①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；
②实数包括无理数和有理数；
③2的算术平方根是；
④无理数是带根号的数．
正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知：点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，则（m+n）2019的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．32019
4．某服装店店主统计一段时间内某品牌男衬衫39号，40号，41号，42号，43号的销售情况如下表所示．
男衬衫号码 39号 40号 41号 42号 43号
销售数量/件 3 12 21 9 5
他决定进货时，增加41号衬衫的进货数量，影响该店主决策的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知a＜b，下列结论中成立的是（　　）
A．﹣a+1＜﹣b+1 B．﹣3a＜﹣3b
C．﹣b+2 D．如果c＜0，那么
7．某市2017年年底自然保护区覆盖率为8%，经过两年努力，该市2019年年底自然保护区覆盖率达到9%，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率．设年均增长率为x，可列方程为（　　）
A．9%（1﹣x）2＝8% B．8%（1﹣x）2＝9%
C．9%（1+x）2＝8% D．8%（1+x）2＝9%
8．将一幅三角尺（Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，在Rt△EDF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），DE'交AC于点M，DF′交BC于点N，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x ﹣1 0 2 3 4
y 5 0 ﹣4 ﹣3 0
下列结论正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．当0≤x≤4时，y≥0
D．若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2
10．如图，⊙O的半径OD⊥AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则cos∠OCE为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（满分18分，每小题3分）
11．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同，其中有红球3个，黄球2个，蓝球若干个，已知随机摸出一个球是红球的概率是，则随机摸出一个球是蓝球的概率是　 　．
13．如图，已知AC∥EF∥BD．如果AE：EB＝2：3，CF＝6．那么CD的长等于　 　．
14．如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N．已知∠BAC＝120°，AB+AC＝16，的长为π，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．当kb＜0时，一次函数y＝kx+b的图象一定经过第　 　象限．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边CD上，把△ADE沿直线AE翻折，使点D落在对角线AC上的点F处，联结BF．如果点E、F、B在同一条直线上，那么DE的长是　 　．
三．解答题
17．我区的数学爱好者申请了一项省级课题﹣﹣《中学学科核心素养理念下渗透数学美育的研究》，为了了解学生对数学美的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按照“理解、了解、不太了解、不知道”四个类型，课题组绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“理解”所占扇形的圆心角是多少度？
（3）我区七年级大约8000名学生，请估计“理解”和“了解”的共有学生多少名？
18．解方程：＝﹣．
19．如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝50°，则当∠ADE＝　 　°时，四边形BECD是菱形．
20．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数，x＜0）的图象交于点A（﹣3，1）和点C（﹣1，3），与y轴交于点B．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
21．老师在上课时，在黑板上写了一道题：
“如图，ABCD是正方形，点E在BC上，DF⊥AE于F，请问图中是否存在一组全等三角形？”
小杰同学经过思考发现：△ADF≌△EAB．
理由如下：因为ABCD是正方形（已知）
所以∠B＝90°且AD＝AB和AD∥BC
又因为DF⊥AE（已知）
即∠DFA＝90°（垂直的意义）
所以∠DFA＝∠B（等量代换）
又AD∥BC
所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
在△ADF和△EAB中
所以△ADF≌△EAB（AAS）
小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．
你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．
22．如图，已知A（﹣1，0），一次函数y＝﹣x+2的图象交坐标轴于点B、C，二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A、C、B．点Q是二次函数图象上一动点．
（1）当S△QAB＝5S△AOC时，求点Q是坐标；
（2）过点Q作直线l∥BC，当直线l与二次函数的图象有且只有一个公共点时，求出此时直线l对应的一次函数的表达式并求出此时直线l与直线BC之间的距离．
23．已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．
（1）求证：直线OD是⊙E的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；
①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标　 　（直接写出）；
②求的最大值．
参考答案
一．选择题（每小题3分，满分30分）
1．下列整数中，与最接近的是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：∵43＝64，53＝125，
∴与最接近的是5．
故选：C．
2．下列判断：
①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；
②实数包括无理数和有理数；
③2的算术平方根是；
④无理数是带根号的数．
正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0，故原题说法错误；
②实数包括无理数和有理数，故原题说法正确；
③2的算术平方根是，故原题说法正确；
④无理数是无限不循环小数，故原题说法错误，例如＝2是有理数．
故选：B．
3．已知：点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，则（m+n）2019的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．32019
解：∵点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，
∴m﹣1＝2，n﹣1＝﹣3，
∴m＝3，n＝﹣2，
∵（m+n）2019＝1，
故选：B．
4．某服装店店主统计一段时间内某品牌男衬衫39号，40号，41号，42号，43号的销售情况如下表所示．
男衬衫号码 39号 40号 41号 42号 43号
销售数量/件 3 12 21 9 5
他决定进货时，增加41号衬衫的进货数量，影响该店主决策的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：C．
5．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴cosB＝＝，
设BC＝x，AB＝3x，则AC＝2x，
∴tanA＝＝＝．
故选：C．
6．已知a＜b，下列结论中成立的是（　　）
A．﹣a+1＜﹣b+1 B．﹣3a＜﹣3b
C．﹣b+2 D．如果c＜0，那么
解：A、a＜b则﹣a+1＞﹣b+1，故原题说法错误；
B、a＜b则﹣3a＞﹣3b，故原题说法错误；
C、a＜b则﹣a+2＞﹣b+2，故原题说法正确；
D、如果c＜0，那＞，故原题说法错误；
故选：C．
7．某市2017年年底自然保护区覆盖率为8%，经过两年努力，该市2019年年底自然保护区覆盖率达到9%，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率．设年均增长率为x，可列方程为（　　）
A．9%（1﹣x）2＝8% B．8%（1﹣x）2＝9%
C．9%（1+x）2＝8% D．8%（1+x）2＝9%
解：设该市总面积为1，该市这两年自然保护区的年均增长率为x，根据题意得
1×8%×（1+x）2＝1×9%，
即8%（1+x）2＝9%．
故选：D．
8．将一幅三角尺（Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，在Rt△EDF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），DE'交AC于点M，DF′交BC于点N，则的值为（　　）
A． B． C． D．
解：∵点D为斜边AB的中点，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠ACD＝∠A＝30°，∠BCD＝∠B＝60°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠CPD＝60°，
∴∠MPD＝∠NCD，
∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），
∴∠PDM＝∠CDN＝α，
∴△PDM∽△CDN，
∴＝，
在Rt△PCD中，∵tan∠PCD＝tan30°＝，
∴＝tan30°＝．
故选：D．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x ﹣1 0 2 3 4
y 5 0 ﹣4 ﹣3 0
下列结论正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．当0≤x≤4时，y≥0
D．若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2
解：由表格可得，
该抛物线的对称轴为直线x＝＝2，故选项B正确；
该抛物线的开口向上，故选项A错误；
当0≤x≤4时，y≤0，故选项C错误；
由二次函数图象具有对称性可知，若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2或x2＜x1，故选项D错误；
故选：B．
10．如图，⊙O的半径OD⊥AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则cos∠OCE为（　　）
A． B． C． D．
解：如图，过点E作EH⊥DO交DO的延长线于H，设OA＝r．
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝4，
在Rt△ACO中，∵∠ACO＝90°，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
∴OA＝OE＝5，OC＝3，
∵∠H＝∠ACO，∠EOH＝∠AOC，AO＝EO，
∴△EOH≌△AOC（AAS），
∴EH＝AC＝4，OH＝OC＝3，CH＝6，
∴EC＝＝2，
∴cos∠OCE＝＝＝，
故选：B．
二．填空题（满分18分，每小题3分）
11．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≤5　．
解：由题意得：5﹣x≥0，
解得：x≤5，
故答案为：x≤5．
12．一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同，其中有红球3个，黄球2个，蓝球若干个，已知随机摸出一个球是红球的概率是，则随机摸出一个球是蓝球的概率是　　．
解：设口袋中蓝球的个数有x个，根据题意得：
＝，
解得：x＝4，
则随机摸出一个球是蓝球的概率是：＝．
故答案为：．
13．如图，已知AC∥EF∥BD．如果AE：EB＝2：3，CF＝6．那么CD的长等于　15　．
解：∵AC∥EF∥BD，
∴＝＝，
∴FD＝CF＝×6＝9，
∴CD＝CF+FD＝6+9＝15．
故答案为15．
14．如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N．已知∠BAC＝120°，AB+AC＝16，的长为π，则图中阴影部分的面积为　24﹣3﹣3π　．
解：如图，连接OM、ON，
∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．
∴OM⊥AB，ON⊥AC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠MON＝60°，
∴∠MOB+∠NOC＝120°，
∵的长为π，
∴＝π，
∴r＝3，
∴OM＝ON＝r＝3，
连接OA，
在Rt△AON中，∠AON＝30°，ON＝3，
∴AN＝，
∴AM＝AN＝，
∴BM+CN＝AB+AC﹣（AM+AN）＝16﹣2，
∴S阴影＝S△OBM+S△OCN﹣（S扇形MOE+S扇形NOF）
＝3×（BM+CN）﹣（）
＝（16﹣2）﹣3π
＝24﹣3﹣3π．
故答案为：24﹣3﹣3π．
15．当kb＜0时，一次函数y＝kx+b的图象一定经过第　一、四　象限．
解：∵kb＜0，
∴k、b异号．
当k＞0，b＜0时，y＝kx+b图象经过第一、三、四象限；
当k＜0，b＞0时，y＝kx+b图象经过第一、二、四象限；
综上，一次函数y＝kx+b的图象一定经过第一、四象限．
故答案为：一、四．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边CD上，把△ADE沿直线AE翻折，使点D落在对角线AC上的点F处，联结BF．如果点E、F、B在同一条直线上，那么DE的长是　3﹣　．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝2，∠D＝90°，
∴∠DEA＝∠EAB，
设DE＝a，则CE＝2﹣a，
∵把△ADE沿直线AE翻折，使点D落在对角线AC上的点F处，
∴DE＝EF＝a，∠DEA＝∠FEA，
∵∠EAB＝∠FEA，
∴AB＝BE＝2，
∴BF＝BE＝2﹣a，
∵AB∥CD，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
∴，
∴a＝3+（舍去），a＝3﹣，
∴DE＝3﹣，
故答案为：3﹣．
三．解答题
17．我区的数学爱好者申请了一项省级课题﹣﹣《中学学科核心素养理念下渗透数学美育的研究》，为了了解学生对数学美的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按照“理解、了解、不太了解、不知道”四个类型，课题组绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“理解”所占扇形的圆心角是多少度？
（3）我区七年级大约8000名学生，请估计“理解”和“了解”的共有学生多少名？
解：（1）本次调查共抽取学生为：＝400（名），
∴不太了解的学生为：400﹣120﹣160﹣20＝100（名），
补全条形统计图如下：
（2）“理解”所占扇形的圆心角是：×360°＝108°；
（3）8000×（40%+）＝5600（名），
所以“理解”和“了解”的共有学生5600名．
18．解方程：＝﹣．
解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得，2﹣（x+1）2＝﹣（x﹣1），
解得 x1＝0，x2＝﹣1，
检验：当x＝0时，（x+1）（x﹣1）＝﹣1≠0，当x＝﹣1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝﹣1不是原方程的解，
∴x＝0是原方程的解．
19．如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝50°，则当∠ADE＝　90　°时，四边形BECD是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，
，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
∴OE＝OD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：当∠ADE＝90°时，四边形BECD是菱形，理由如下：
∵∠A＝50°，∠ADE＝90°，
∴∠AED＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBE＝∠A＝50°，
∴∠BOE＝90°，
∴BC⊥DE，
∴四边形BECD是菱形，
故答案为：90．
20．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数，x＜0）的图象交于点A（﹣3，1）和点C（﹣1，3），与y轴交于点B．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
解：（1）反比例函数（m≠0，x＜0）的图象过点A（﹣3，1），
∴m＝﹣3×1＝﹣3，
∴反比例函数（x＜0）；
∵一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象过点A（﹣3，1）与点C（﹣1，3），
∴，解得，
∴一次函数解析式为y1＝x+4；
（2）当x＝0，y＝x+4＝4，则B（0，4），
∴△AOB的面积＝×4×3＝6．
21．老师在上课时，在黑板上写了一道题：
“如图，ABCD是正方形，点E在BC上，DF⊥AE于F，请问图中是否存在一组全等三角形？”
小杰同学经过思考发现：△ADF≌△EAB．
理由如下：因为ABCD是正方形（已知）
所以∠B＝90°且AD＝AB和AD∥BC
又因为DF⊥AE（已知）
即∠DFA＝90°（垂直的意义）
所以∠DFA＝∠B（等量代换）
又AD∥BC
所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
在△ADF和△EAB中
所以△ADF≌△EAB（AAS）
小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．
你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．
解：小杰错误的原因是AD和AB不是对应边，在证明两个三角形全等时，误以为对应边了，
作BH⊥AE于点F，
则△ADF≌△BAH，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAB＝90°，
∴∠HAB+∠FAD＝90°，
∵DF⊥AE，BH⊥AE，
∴∠DFA＝∠AHB＝90°，
∴∠HAB+∠HBA＝90°，
∴∠FAD＝∠HBA，
在△ADF和△BAH中，
∴△ADF≌△BAH（AAS）．
22．如图，已知A（﹣1，0），一次函数y＝﹣x+2的图象交坐标轴于点B、C，二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A、C、B．点Q是二次函数图象上一动点．
（1）当S△QAB＝5S△AOC时，求点Q是坐标；
（2）过点Q作直线l∥BC，当直线l与二次函数的图象有且只有一个公共点时，求出此时直线l对应的一次函数的表达式并求出此时直线l与直线BC之间的距离．
解：（1）∵一次函数y＝﹣x+2的图象交坐标轴于点B、C，
∴B（4，0），C（0，2）
∴S△AOC＝＝1，
∵S△QAB＝5S△AOC，
∴S△QAB＝（4+1）×|yQ|＝5，
则|yQ|＝2，
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将A、B、C代入得，解得
∴二次函数解析式为，
令y＝2，则2＝﹣2+x+2，解得x＝0或3，
令y＝﹣2，则﹣2＝﹣2+x+2，解得x＝，
∴Q点的坐标为（0，2）或（3，2）或Q（，﹣2）或Q（，﹣2）
（2）由B（4，0），C（0，2）可知直线BC的解析式为y＝﹣+2，
根据题意设：，
则中△＝32﹣8b＝0 解得b＝4，
∴直线l为：，
∴D（0，4），
∴CD＝4﹣2＝2，
如图，∵BC＝＝2，
∵△DCE∽△BCO，
∴＝，即＝，
∴DE＝
∴此时直线l与直线BC之间的距离为d＝．
23．已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．
（1）求证：直线OD是⊙E的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；
①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标　，F2（5，0）　（直接写出）；
②求的最大值．
解：（1）证明：如图1，连接DE，
∵BC为圆的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDA＝90°
∵OA＝OB
∴OD＝OB＝OA
∴∠OBD＝∠ODB
∵EB＝ED
∴∠EBD＝∠EDB
∴∠EBD+∠OBD＝∠EDB+∠ODB
即：∠EBO＝∠EDO
∵CB⊥x轴
∴∠EBO＝90°
∴∠EDO＝90°
∵点D在⊙E上
∴直线OD为⊙E的切线．
（2）①如图2，当F位于AB上时，过F作F1N⊥AC于N，
∵F1N⊥AC
∴∠ANF1＝∠ABC＝90°
∴△ANF∽△ABC
∴
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，即AB：BC：AC＝6：8：10＝3：4：5
∴设AN＝3k，则NF1＝4k，AF1＝5k
∴CN＝CA﹣AN＝10﹣3k
∴tan∠ACF＝＝＝，解得：k＝
∴
即F1（，0）
如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2M⊥CA于M，
∵△AMF2∽△ABC
∴设AM＝3k，则MF2＝4k，AF2＝5k
∴CM＝CA+AM＝10+3k
∴tan∠ACF＝
解得：
∴AF2＝5k＝2
OF2＝3+2＝5
即F2（5，0）
故答案为：F1（，0），F2（5，0）．
②方法1：如图4，过G作GH⊥BC于H，
∵CB为直径
∴∠CGB＝∠CBF＝90°
∴△CBG∽△CFB
∴
∴BC2＝CG?CF
∴＝＝＝≤
∴当H为BC中点，即GH＝BC时，的最大值＝．
方法2：设∠BCG＝α，则sinα＝，cosα＝，
∴sinαcosα＝
∵（sinα﹣cosα）2≥0，即：sin2α+cos2α≥2sinαcosα
∵sin2α+cos2α＝1，
∴sinαcosα≤，即≤
∴的最大值＝．

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