资源简介

2021年安徽省亳州市利辛县中考数学第一次联考试卷
一、选择题（共10小题）.
1．下面的各数中，最小的数是（　　）
A．2﹣1 B． C．2 D．﹣（﹣2）
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．（﹣a）3?a4＝﹣a7
C．（a2）3＝a5 D．a6÷a2＝a3
3．我国中东部地区雾霾天气多发，雾霾中的PM2.5对人体危害极大，PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000000025km可入肺颗粒物，将0.0000000025用科学记数法表示为（　　）
A．0.25×10﹣2 B．0.25×10﹣7 C．2.5×10﹣9 D．2.5×10﹣8
4．如图所示放置的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1＝50°，则∠BCD的度数为（　　）
A．50° B．45° C．40° D．30°
6．不等式组﹣2≤x+1＜1的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．某数学兴趣小组为了了解本班学生一周课外阅读的时间，随机调查5名学生，并将所得数据整理如表：
学生 1 2 3 4 5
一周课外阅读时间（小时） 7 5 4 □ 8
表中有一个数字被污染后而模糊不清，但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差和中位数分别为（　　）
A．2，6 B．1.5，4 C．2，4 D．6，6
8．如图，已知等腰△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AB＝BC＝4，则线段DF的长度为（　　）
A．2 B．2 C．4﹣2 D．
9．已知a≠0，函数y＝与y＝ax2﹣a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP+PQ的最小值为（　　）
A．6 B．6 C．3 D．3
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11．计算﹣的结果是　 　．
12．分解因式4x2﹣100＝　 　．
13．如图，正五边形ABCDE的边长为5，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为　 　．
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．当△ABP≌△ADN时，则BP的长为　 　．
三、简答题（本大题共9小题，共90.0分）
15．计算：﹣14﹣+2sin60°+．
16．在抗击新冠肺炎疫情期间，某社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．
①将△ABC关于x轴对称得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
②将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出点A2的坐标．
18．观察下列各式的规律：
①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；
②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；
③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1
…
（1）请按以上规律写出第④个等式　 　．
（2）写出第n个等式　 　并证明．
19．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走6m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，≈1.7）
（1）求屋顶到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．
20．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB2＝AO?AD，求证：四边形ABDC是菱形．
21．新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．
参与度 0.2～0.4 0.4～0.6 0.6～0.8 0.8～1
录播（人数） 4 16 12 8
直播（人数） 2 10 16 12
（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由．
（2）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人？
（3）录播参与度在0.2～0.4有三个男生和一个女生，从中任意抽取二位学生，恰好是一男一女的概率是多少？
22．在这春暖大地百花将开的季节，安徽省利辛县市民健身公园吸引了不少的游客，一个商家发现了商机，设计了一款成本为10元/件的工艺品进行试销．经过一段时间试营业，得到如下数据：
销售单价x（元/件） … 20 30 40 50 60 …
每天销售量（y件） … 50 40 30 20 10 …
（1）猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）利辛县物价部门规定，在不亏本的情况下该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，当销售单价定为多少时，该商家试销该工艺品每天获得的利润最大？最大值为多少？
23．已知四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC平分∠DAB，点F为AB上一点，且CF＝CB．
（1）如图1，求证：CD＝CF；
（2）如图2，连接DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC．
（3）如图3，若点H为线段DG上一点，连接AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1．下面的各数中，最小的数是（　　）
A．2﹣1 B． C．2 D．﹣（﹣2）
解：∵2﹣1＝，≈1.414，﹣（﹣2）＝2，
∴＜1.414＜2，
∴2﹣1＜＜2＝﹣（﹣2）．
故选：A．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．（﹣a）3?a4＝﹣a7
C．（a2）3＝a5 D．a6÷a2＝a3
解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝﹣a7，符合题意；
C、原式＝a6，不符合题意；
D、原式＝a4，不符合题意．
故选：B．
3．我国中东部地区雾霾天气多发，雾霾中的PM2.5对人体危害极大，PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000000025km可入肺颗粒物，将0.0000000025用科学记数法表示为（　　）
A．0.25×10﹣2 B．0.25×10﹣7 C．2.5×10﹣9 D．2.5×10﹣8
解：0.0000000025＝2.5×10﹣9．
故选：C．
4．如图所示放置的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
解：从上面看，是两个同心圆．
故选：B．
5．如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1＝50°，则∠BCD的度数为（　　）
A．50° B．45° C．40° D．30°
解：∵l1∥l2，
∴∠1＝∠ABC＝50°．
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB＝90°．
∴∠BCD+∠DBC＝90°，即∠BCD+50°＝90°．
∴∠BCD＝40°．
故选：C．
6．不等式组﹣2≤x+1＜1的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：由﹣2≤x+1，得x≥﹣3；
由x+1＜1，得
x＜0，
不等式组的解集为﹣3≤x＜0，
在数轴上表示为：
故选：A．
7．某数学兴趣小组为了了解本班学生一周课外阅读的时间，随机调查5名学生，并将所得数据整理如表：
学生 1 2 3 4 5
一周课外阅读时间（小时） 7 5 4 □ 8
表中有一个数字被污染后而模糊不清，但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差和中位数分别为（　　）
A．2，6 B．1.5，4 C．2，4 D．6，6
解：∵这组数据的平均数为6，
∴模糊不清的数是：6×5﹣7﹣5﹣4﹣8＝6，
将数据重新排列为4、5、6、7、8，
所以这组数据的中位数为6，
则这组数据的方差为[（7﹣6）2+（5﹣6）2+（6﹣6）2+（4﹣6）2+（8﹣6）2]＝2；
故选：A．
8．如图，已知等腰△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AB＝BC＝4，则线段DF的长度为（　　）
A．2 B．2 C．4﹣2 D．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠DAB，
∴BD＝AD，
∵∠CAD+∠AFE＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∠AFE＝∠BFD，
∴∠AFE＝∠C，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠C＝∠BFD，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴DF＝CD，
∵AB＝BC＝4，
∴BD＝2，
∴DF＝CD＝4﹣2，
故选：C．
9．已知a≠0，函数y＝与y＝ax2﹣a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
解：当a＞0时，函数y＝的图象位于二、四象限，y＝ax2﹣a的开口向上，交y轴的负半轴，没有符合的选项，
当a＜0时，函数y＝的图象位于一、三象限，y＝ax2﹣a的开口向下，交y轴的正半轴，D选项符合；
故选：D．
10．如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP+PQ的最小值为（　　）
A．6 B．6 C．3 D．3
解：如答图：
在BC上取E，使BE＝BQ，连接PE，过A作AH⊥BC于H，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BP＝BP，BE＝BQ，
∴△BPQ≌△BPE（SAS），
∴PE＝PQ，
∴AP+PQ的最小即是AP+PE最小，
当AP+PE＝AH时最小，
在Rt△ABH中，
AB＝6，∠ABC＝60°，
∴AH＝AB?cos60°＝3
∴AP+PQ的最小为3，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11．计算﹣的结果是　　．
解：＝﹣＝．
故答案为：．
12．分解因式4x2﹣100＝　4（x+5）（x﹣5）　．
解：4x2﹣100＝4（x2﹣25）＝4（x+5）（x﹣5）．
故答案为：4（x+5）（x﹣5）．
13．如图，正五边形ABCDE的边长为5，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为　π　．
解：连接CF，DF，
则△CFD是等边三角形，
∴∠FCD＝60°，
在正五边形ABCDE中，∠BCD＝108°，
∴∠BCF＝48°，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．当△ABP≌△ADN时，则BP的长为　4﹣4　．
解：∵△ABP≌△ADN时，
∴∠PAB＝∠DAN＝22.5°，在AB上取一点K使得AK＝PK，设PB＝z，
∴∠KPA＝∠KAP＝22.5°
∵∠PKB＝∠KPA+∠KAP＝45°，
∴∠BPK＝∠BKP＝45°，
∴PB＝BK＝z，AK＝PK＝z，
∴z+z＝4，
∴z＝4﹣4，
∴PB＝4﹣4，
故答案为：4﹣4．
三、简答题（本大题共9小题，共90.0分）
15．计算：﹣14﹣+2sin60°+．
解：原式＝﹣1﹣（2﹣）+2×+3
＝﹣1﹣2+++3
＝2．
16．在抗击新冠肺炎疫情期间，某社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
解：设每次购买酒精x瓶，消毒液y瓶，
依题意得：，
解得：．
答：每次购买酒精20瓶，消毒液30瓶．
17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．
①将△ABC关于x轴对称得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
②将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出点A2的坐标．
解：①如图，△A1B1C1为所作；
②如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标为（﹣2，5）．
18．观察下列各式的规律：
①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；
②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；
③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1
…
（1）请按以上规律写出第④个等式　4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1　．
（2）写出第n个等式　n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1　并证明．
解：（1）第4个算式：4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1；
故答案为：4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1．
（2）第n个算式：n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．
证明：∵左边＝n2+2n﹣（n2+2n+1）＝＝n2+2n﹣n2﹣2n﹣1＝﹣1，
右边＝﹣1，
左边＝右边，
∴等式成立．
故答案为：n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．
19．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走6m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，≈1.7）
（1）求屋顶到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．
解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，
∴AG⊥EF，EG＝EF，∠AEG＝∠ACB＝35°，
在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°，
∵tan∠AEG＝tan35°＝，EG＝6，
∴AG＝6×0.7＝4.2（米）；
答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2米；
（2）过E作EH⊥CB于H，
设EH＝x，
在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°，
∵tan∠EDH＝，
∴DH＝，
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°，
∵tan∠ECH＝，
∴CH＝，
∵CH﹣DH＝CD＝6，
∴﹣＝6，
解得：x≈7.14（米），
∴AB＝AG+BG＝7.14+4.2＝11.34≈11（米），
答：房屋的高AB约为11米．
20．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB2＝AO?AD，求证：四边形ABDC是菱形．
【解答】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OC，
∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∵OB＝OA＝OC，
∴O在BC的垂直平分线上，
∴AO垂直平分BC，
∴BD＝CD；
（2）如图2，连接OB，
∵AB2＝AO?AD，
∴＝，
∵∠BAO＝∠DAB，
∴△ABO∽△ADB，
∴∠OBA＝∠ADB，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠OAB＝∠BDA，
∴AB＝BD，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ABDC是菱形．
21．新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．
参与度 0.2～0.4 0.4～0.6 0.6～0.8 0.8～1
录播（人数） 4 16 12 8
直播（人数） 2 10 16 12
（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由．
（2）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人？
（3）录播参与度在0.2～0.4有三个男生和一个女生，从中任意抽取二位学生，恰好是一男一女的概率是多少？
解：（1）“直播”教学方式学生的参与度更高，
理由：“直播”参与度在0.6以上的人数为28人，“录播”参与度在0.6以上的人数为20人，参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数，
所以“直播”教学方式学生的参与度更高；
（2）“录播”总学生数为800×＝200（人），“直播”总学生数为800×＝600（人），
所以“录播”参与度在0.4以下的学生数为200×＝20（人），
“直播”参与度在0.4以下的学生数为600×＝30（人），
所以参与度在0.4以下的学生共有20+30＝50（人）．
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽到一男一女的结果数为6，
所以恰好抽到一男一女的概率为＝．
22．在这春暖大地百花将开的季节，安徽省利辛县市民健身公园吸引了不少的游客，一个商家发现了商机，设计了一款成本为10元/件的工艺品进行试销．经过一段时间试营业，得到如下数据：
销售单价x（元/件） … 20 30 40 50 60 …
每天销售量（y件） … 50 40 30 20 10 …
（1）猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）利辛县物价部门规定，在不亏本的情况下该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，当销售单价定为多少时，该商家试销该工艺品每天获得的利润最大？最大值为多少？
解：（1）根据表格中的数据，猜想y与x成一次函数关系，
设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），把（20，50）和（30，40）分别代入，得：
，
解得，
∴y与x成一次函数关系，函数关系式为y＝﹣x+70；
（2）设每天的利润为w元，由题意得：
w＝（﹣x+70）（x﹣10）
＝﹣x2+80x﹣700
＝﹣（x﹣40）2+900，
∵二次项系数为负，对称轴为直线x＝40，
∴当x＜40时，w随x的增大而增大．
∵在不亏本的情况下该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，
∴10≤x≤35，
∴当x＝35时，w最大＝875，
∴当销售单价定为35元时，该商家试销该工艺品每天获得的利润最大，最大值为875元．
23．已知四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC平分∠DAB，点F为AB上一点，且CF＝CB．
（1）如图1，求证：CD＝CF；
（2）如图2，连接DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC．
（3）如图3，若点H为线段DG上一点，连接AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
在△ADC和△ABC中
∴△ADC≌△ABC（SAS），
∴CD＝CB，
∵CF＝CB，
∴CD＝CF；
（2）解：∵△ADC≌△ABC，
∴∠ADC＝∠B，
∵CF＝CB，
∴∠CFB＝∠B，
∴∠ADC＝∠CFB，
∴∠ADC+∠AFC＝180°，
∵四边形AFCD的内角和等于360°，
∴∠DCF+∠DAF＝180°，
∵CD＝CF，
∴∠CDG＝∠CFD，
∵∠DCF+∠CDF+∠CFD＝180°，
∴∠DAF＝∠CDF+∠CFD＝2∠CDG，
∵∠DAB＝2∠DAC，
∴∠CDG＝∠DAC，
∵∠DCG＝∠ACD，
∴△DGC∽△ADC；
（3）解：∵△DGC∽△ADC，
∴∠DGC＝∠ADC，＝，
∵∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，
∴∠HAG＝∠DGC，，
∴∠HAG＝∠AHG，＝，
∴HG＝AG，
∵∠GDC＝∠DAC＝∠FAG，∠DGC＝∠AGF，
∴△DGC∽△AGF，
∴＝＝，
∴＝．

展开更多......

收起↑