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2021年吉林省长春市中考数学评价与检测试卷（四）
一、选择题（每小题3分.）
1．若运算“1□（﹣2）”的结果为正数，则□内的运算符号为（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
2．在长春市2016年地铁建设中，某工程队挖掘土方为632000立方米，632000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．63.2×104 B．6.32×105 C．0.632×106 D．6.32×106
3．下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（　　）
A． B．
C． D．
4．不等式组的解集为（　　）
A．x≥﹣2 B．﹣2＜x＜3 C．x＞3 D．﹣2≤x＜3
5．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（　　）
A．图形的平移 B．图形的旋转
C．图形的轴对称 D．图形的相似
6．如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝40°，则∠3的度数为（　　）
A．75° B．50° C．35° D．30°
7．已知，如图，在菱形ABCD中．
（1）分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；
（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；
（3）连接BM．
根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（　　）
A．∠ABC＝60° B．如果AB＝2，那么BM＝4
C．BC＝2CM D．S△ABM＝2S△ADM
8．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC的边BC的中点D，且与边AB相交于点E，则四边形ODBE的面积为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．比较大小：﹣　 　﹣1（填“＞”、“＝”或“＜”）
10．如图是利用网格画出的长春市轨道交通线网图，若建立适当的平面直角坐标系，则表示解放大路的点的坐标为（0，﹣4），表示伪皇宫的点的坐标为（4，2），则表示胜利公园的点的坐标是　 　．
11．二次函数y＝2x2+3x﹣2的图象与x轴有　 　个交点．
12．港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术而闻名世界．其主体工程青州航道桥是一座双塔双索面钢箱梁斜拉桥，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，塔高AB为163米，大桥主跨BD的中点为E，记斜拉索与大桥主梁所夹锐角为α，那么用塔高和α的三角函数表示主跨BD的长为　 　米．
13．如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的正方形和正八边形组成，其中正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有　 　个涂有阴影的正方形．（用含n的代数式表示）
14．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是　 　米．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．先化简，再求值÷（x﹣），其中x＝．
16．某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，请用画树状图（或列表）的方法求其中有一天是星期二的概率？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是　 　．
17．寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；
（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？
18．在下面的正方形网格中按要求作图．
（1）在图①中将△ABC平移，使点A与点C重合，得到△CPQ；
（2）在图②中将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△MNC；
（3）在图③中作△FGH，使其与△ABC关于线段DE对称．
19．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，F是弦AD的中点，连接OF并延长OF交⊙O于点E，连接BE交AD于点G，延长AD至点C，使得GC＝BC，连接BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）⊙O的半径为10，sinA＝，求EG的长．
20．下面的两个统计图是中国互联网信息中心发布的第43次《中国互联网络发展状况统计报告》的内容，图①为网民规模和互联网普及率，图②为手机网民规模及其占网民比例．
根据统计图提供信息，回答下列问题：
（1）2008﹣2018年，互联网普及率增加了　 　个百分点，手机网民占网民比例增加了　 　个百分点，相比其他年份，　 　年手机网民占整体网民的增长比例最大．
（2）2008年手机上网人数约占全体国民的　 　%．（精确到个位）
（3）估计2019年网民规模是否会超过64%，请简要说明理由．
21．儿童用药的剂量常常按他们的体重来计算．某种药品，体重10kg的儿童，每次正常服用量为110mg；体重15kg的儿童每次正常服用量为160mg；体重在5～50kg范围内时，每次正常服用量y（mg）是儿童体重x（kg）的一次函数，现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用略高一些，但不能超过正常服用量的1.2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若该药品的一种包装规格为300mg/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？
22．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容．
例4：如图1，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．求证：AD＝ED．
证明：∵CE∥AB（已知），
∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（两直线平行，内错角相等）．
请你将上面的证明过程补充完整．
【深入探究】如图2，在上面例题的图中，过点D作DF⊥AB于点F．若AB＝9，BC＝10，BF＝3，则线段AE的长为　 　．
【拓展提升】已知一个顶角为120°、腰长为20cm的等腰三角形纸板，把它剪开成两个部分，再重新拼接成一个新的三角形纸板（不重叠），则这个新的三角形纸板周长的最大值为　 　cm．
23．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°．点P是线段AC上不与点A重合的动点，过点P作PQ⊥AC交AB边于点Q．将△APQ绕点P顺时针旋转90°得到△A'PQ'，设线段AP的长为4t．
（1）直接用含t的代数式表示线段PQ的长．
（2）当点B落在线段A'Q'上时，求t的值．
（3）设△A'PQ'与△ABC重叠部分的面积为S，当重叠部分为四边形时，求S与t的函数关系式．
（4）若点M是AB边的中点，N是A'Q'的中点，当直线MN与△ABC一直角边所在直线夹角恰好等于∠A时，直接写出t的值．
24．已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1（a≠0）
（1）把二次函数C1的表达式化成y＝a（x﹣h）2+b（a≠0）的形式，并写出顶点坐标；
（2）已知二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）．
①求a的值；
②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．若运算“1□（﹣2）”的结果为正数，则□内的运算符号为（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
解：若运算“1□（﹣2）”的结果为正数，则□内的运算符号为“﹣”，
故选：B．
2．在长春市2016年地铁建设中，某工程队挖掘土方为632000立方米，632000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．63.2×104 B．6.32×105 C．0.632×106 D．6.32×106
解：将632000用科学记数法表示为：6.32×105．
故选：B．
3．下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（　　）
A． B．
C． D．
解：A．主视图的底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
B．主视图和左视图均为底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项符合题意；
C．主视图底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；
D．主视图底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；
故选：B．
4．不等式组的解集为（　　）
A．x≥﹣2 B．﹣2＜x＜3 C．x＞3 D．﹣2≤x＜3
解：，
解①得：x＞3，
解②得：x≥﹣2，
所以不等式组的解集为：x＞3．
故选：C．
5．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（　　）
A．图形的平移 B．图形的旋转
C．图形的轴对称 D．图形的相似
解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似，
故选：D．
6．如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝40°，则∠3的度数为（　　）
A．75° B．50° C．35° D．30°
解：∵a∥b，
∴∠1＝∠4＝75°，
∴∠2+∠3＝∠4，
∵∠1＝75°，∠2＝40°，
∴∠3＝75°﹣40°＝35°．
故选：C．
7．已知，如图，在菱形ABCD中．
（1）分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；
（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；
（3）连接BM．
根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（　　）
A．∠ABC＝60° B．如果AB＝2，那么BM＝4
C．BC＝2CM D．S△ABM＝2S△ADM
解：A．连接AC，由作图知，AF是CD的垂直平分线，则AC＝AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠ABC＝∠ADC，
∴AC＝AD＝CD，
∴∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝60°，
故A选项正确；
B．∵AB＝2，
∴AD＝2，
∵AM垂直平分CD，
∴DM＝CD＝1，∠AMD＝90°，
∴AM＝，
∵AB∥CD，
∴∠BAM＝∠AMD＝90°，
∴BM＝，
故B选项错误；
C．∵BC＝CD，CD＝2CM，
∴BC＝2CM，
故C选项正确；
D．∵，
AB?AM，
∴S△ABM＝2S△ADM，
故D选项正确．
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC的边BC的中点D，且与边AB相交于点E，则四边形ODBE的面积为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
解：连接OB，如图所示：
∵OB是矩形OABC的对角线，
∴S△OAB＝S△OBC
又∵点D、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴，
又∵CD＝BD，OC是△OCD和△OBD的高，
∴S△OCD＝S△OAB＝1，
又∵S△OBC＝S△OCD+S△OBD，
∴S△OAB＝S△OBC＝2
又∵S△OBE＝S△OAB﹣S△OAE，
∴S△OBE＝2﹣1＝1，
又∵S四边形OEBD＝S△ODE+S△OBE，
∴S四边形OEBD＝1+1＝2，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．比较大小：﹣　＜　﹣1（填“＞”、“＝”或“＜”）
解：|﹣|≈1.4，|﹣1|＝1，
∵1.4＞1，
∴﹣＜﹣1．
故答案为：＜．
10．如图是利用网格画出的长春市轨道交通线网图，若建立适当的平面直角坐标系，则表示解放大路的点的坐标为（0，﹣4），表示伪皇宫的点的坐标为（4，2），则表示胜利公园的点的坐标是　（0，0）　．
解：如图所示：胜利公园的点的坐标是：（0，0）．
故答案为：（0，0）．
11．二次函数y＝2x2+3x﹣2的图象与x轴有　2　个交点．
解：∵△＝32﹣4×2×（﹣2）＝25＞0，
∴二次函数y＝2x2+3x﹣2的图象与x轴有2个交点．
故答案为2．
12．港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术而闻名世界．其主体工程青州航道桥是一座双塔双索面钢箱梁斜拉桥，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，塔高AB为163米，大桥主跨BD的中点为E，记斜拉索与大桥主梁所夹锐角为α，那么用塔高和α的三角函数表示主跨BD的长为　　米．
解：由题意可得，
BD＝，
故答案为：
13．如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的正方形和正八边形组成，其中正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有　（3n+2）　个涂有阴影的正方形．（用含n的代数式表示）
解：∵第1个图案中有5个涂有阴影的正方形，
第2个图案中有8＝3×2+2个涂有阴影的正方形，
第3个图案中有11＝3×3+2个涂有阴影的正方形，
…
∴第n个图案中有 （3n+2）个涂有阴影的正方形，
故答案为：（3n+2）．
14．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是　7　米．
解：建立坐标系，如图所示：
由题意得：A（0，1.68），B（2，2），点B为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，
把A（0，1.68）代入得：
4a+2＝1.68，
解得a＝﹣0.08，
∴y＝﹣0.08（x﹣2）2+2，
令y＝0，得﹣0.08（x﹣2）2+2＝0，
解得x1＝7，x2＝﹣3（舍），
∴小丁此次投掷的成绩是7米．
故答案为：7．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．先化简，再求值÷（x﹣），其中x＝．
解：÷（x﹣）
＝÷
＝
＝，
当x＝，原式＝．
16．某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，请用画树状图（或列表）的方法求其中有一天是星期二的概率？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是　　．
解：（1）把星期一、星期二、星期三、星期四分别记为：1、2、3、4，
画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12个等可能的结果，甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的结果有6个，
∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为＝；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；
其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），
∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是，
故答案为：．
17．寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；
（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？
解：（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，
根据题意得：，
∴，
∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；
（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，
根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，
∴z≤25，
∴最多可以购买25副围棋；
18．在下面的正方形网格中按要求作图．
（1）在图①中将△ABC平移，使点A与点C重合，得到△CPQ；
（2）在图②中将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△MNC；
（3）在图③中作△FGH，使其与△ABC关于线段DE对称．
解：（1）如图，△CPQ为所作；
（2）如图，△MNC为所作；
（3）如图，△FGH为所作．
19．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，F是弦AD的中点，连接OF并延长OF交⊙O于点E，连接BE交AD于点G，延长AD至点C，使得GC＝BC，连接BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）⊙O的半径为10，sinA＝，求EG的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，F是弦AD的中点，
∴OF⊥AD，
∴∠EFG＝90°，
∴∠E+∠FGE＝90°，
∵BC＝GC，
∴∠BGC＝∠GBC，
∵∠FGE＝∠BGC，
∴∠GBC＝∠FGE，
∵OE＝OB，
∴∠ABE＝∠E，
∴∠ABE+∠GBC＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵sinA＝，OA＝10，
∴AF＝8，OF＝6，BC＝GC＝15，AC＝25，
∴AG＝10，EF＝4，
∴FG＝2，
由勾股定理，得EG＝2．
20．下面的两个统计图是中国互联网信息中心发布的第43次《中国互联网络发展状况统计报告》的内容，图①为网民规模和互联网普及率，图②为手机网民规模及其占网民比例．
根据统计图提供信息，回答下列问题：
（1）2008﹣2018年，互联网普及率增加了　37　个百分点，手机网民占网民比例增加了　59.1　个百分点，相比其他年份，　2009　年手机网民占整体网民的增长比例最大．
（2）2008年手机上网人数约占全体国民的　9　%．（精确到个位）
（3）估计2019年网民规模是否会超过64%，请简要说明理由．
解：（1）2008﹣2018年，互联网普及率由22.6%增长到59.6%，增长了37个百分点；
手机网民占网民比例由39.5%增长到98.6%，增长了59.1个百分点，
由图②知，相比其他年份，2009年手机网民占整体网民的增长比例最大，
故答案为：37、59.1、2009；
（2）2008年手机上网人数约占全体国民的39.5%×22.6%≈9%，
故答案为：9；
（3）估计2019年网民规模是不会超过64%，
∵2018年网名规模为59.6%，近几年涨幅约为2%～4%，
∴估计2019年网民规模不会超过64%．
21．儿童用药的剂量常常按他们的体重来计算．某种药品，体重10kg的儿童，每次正常服用量为110mg；体重15kg的儿童每次正常服用量为160mg；体重在5～50kg范围内时，每次正常服用量y（mg）是儿童体重x（kg）的一次函数，现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用略高一些，但不能超过正常服用量的1.2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若该药品的一种包装规格为300mg/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
，
解得，，
即y与x之间的函数关系式是y＝10x+10（5≤x≤50）；
（2）当y＝300时，300＝10x+10，得x＝29，
当y＝＝250时，250＝10x+10，得x＝24，
故24≤x≤29，
即体重在24≤x≤29范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．
22．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容．
例4：如图1，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．求证：AD＝ED．
证明：∵CE∥AB（已知），
∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（两直线平行，内错角相等）．
请你将上面的证明过程补充完整．
【深入探究】如图2，在上面例题的图中，过点D作DF⊥AB于点F．若AB＝9，BC＝10，BF＝3，则线段AE的长为　4　．
【拓展提升】已知一个顶角为120°、腰长为20cm的等腰三角形纸板，把它剪开成两个部分，再重新拼接成一个新的三角形纸板（不重叠），则这个新的三角形纸板周长的最大值为　（20+20+20）　cm．
解：【教材呈现】如图13.2.13中，
∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，∠BAD＝∠E，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ADB和△EDC中，
，
∴△ADB≌△EDC（AAS），
∴AD＝ED．
【深入探究】
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∵BD＝5，BF＝3，AB＝9，
∴AF＝AB﹣BF＝9﹣3＝6，DF＝＝＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴AE＝2AD＝4．
故答案为：4．
【拓展提升】取AC的中点R，连接BR．过点A作AT∥BC交BR的延长线于T，过点T作TH⊥BA交BA的延长线于H．则△ART≌△CRB，此时△ABT的周长最大．
∵AB＝AC＝20cm，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠C＝30°，
∴AT＝BC＝2?AB?cos30°＝20（cm），
∵AT∥BC，
∴∠HAT＝∠ABC＝30°，
∴HT＝AT＝10（cm），AH＝TH＝30（cm），
∴BH＝AB+AH＝50（cm），
∴BT＝＝＝20（cm），
∴△ABT的周长为（20+20+20）cm．
故答案为：（20+20+20）．
23．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°．点P是线段AC上不与点A重合的动点，过点P作PQ⊥AC交AB边于点Q．将△APQ绕点P顺时针旋转90°得到△A'PQ'，设线段AP的长为4t．
（1）直接用含t的代数式表示线段PQ的长．
（2）当点B落在线段A'Q'上时，求t的值．
（3）设△A'PQ'与△ABC重叠部分的面积为S，当重叠部分为四边形时，求S与t的函数关系式．
（4）若点M是AB边的中点，N是A'Q'的中点，当直线MN与△ABC一直角边所在直线夹角恰好等于∠A时，直接写出t的值．
解：（1）∵PQ⊥AC，∠ACB＝90°，
∴∠APQ＝∠ACB＝90°，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ACB，
∴，
∴，
∵AC＝4，BC＝3，AP的长为4t，
∴，
∴PQ＝3t，
∴线段PQ的长为3t；
（2）如图1，
由题意得：A'P＝AP＝4t，PQ'＝PQ＝3t，AC＝4，BC＝3，
∴CQ'＝AP+PQ'﹣AC＝+3t﹣4＝7t﹣4，
∵PQ⊥AC，∠ACB＝90°，
∴PQ∥BC，
∴△BCQ′∽△APQ′，
∴，即，
解得：t＝，
∴t的值是；
（3）当点Q′与点C重合时，如图2，
PC＝PQ＝AC﹣AP，即3t＝4﹣4t，
解得：t＝，
当0＜t≤时，如图5，
∵PQ∥BC，
∴，
∵AP＝4t，PQ＝3t，
∴AQ′＝7t，AQ＝5t，
∴AG＝t，GQ′＝t，
∴S＝×t×t﹣×4t×3t＝t2﹣6t2＝t2；
当＜t≤时，如图3，重叠部分不是四边形；
当≤t＜1时，如图4，
∵A'P＝4t，PQ＝3t，AC＝4，BC＝3，
∴S＝×3×4﹣×4t×3t＝6﹣6t2；
∴S与t的函数关系式为：当0＜t≤时，S＝t2；当≤t＜1时，S＝6﹣6t2；
（4）当MN在A′Q′上时，MN与BC的夹角为∠A，如图6，
∵AP＝4t，PQ＝3t，
∴QA′＝A′P﹣PQ＝4t﹣3t＝t，
∴QM＝t，AQ＝5t，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∵点M是AB边的中点，
∴AM＝，
∵AQ+QM＝AM，
∴5t+t＝，
∴t＝．
24．已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1（a≠0）
（1）把二次函数C1的表达式化成y＝a（x﹣h）2+b（a≠0）的形式，并写出顶点坐标；
（2）已知二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）．
①求a的值；
②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．
解：（1）y1＝ax2+2ax+a﹣1＝a（x+1）2﹣1，
∴顶点为（﹣1，﹣1）；
（2）①∵二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）．
∴a（﹣3+1）2﹣1＝1，
∴a＝；
②∵A（﹣3，1），对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，1），
当k＞0时，
二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象经过A（﹣3，1）时，1＝9k﹣3k，解得k＝，
二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象经过B（1，1）时，1＝k+k，解得k＝，
∴≤k＜，
当k＜0时，∵二次函数C2：y2＝kx2+kx＝k（x+）2﹣k，
∴﹣k＝1，
∴k＝﹣4，
综上，二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，k的取值范围是≤k＜或k＝﹣4．

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