资源简介 2021年北京市门头沟区高考数学一模试卷 一、选择题(共10小题). 1.复数z=i(1﹣i)的模|z|=( ) A. B.2 C.1 D.4 2.集合A={x|x>0},B={x||x|≤2},则A∩B=( ) A.R B.[﹣2,+∞) C.(0,2] D.(0,+∞) 3.二项式(x2﹣)5展开式中,x4的系数是( ) A.﹣40 B.10 C.40 D.﹣10 4.某四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥最长的棱长为( ) A.2 B. C.4 D. 5.数列{an}中,a1=1,an+1=﹣2an,数列{bn}满足bn=|an|,则数列{bn}的前n项和Sn=( ) A. B. C.2n﹣1 D.(﹣2)n﹣1 6.京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构,风格更加简约,摩天轮直径88米,最高点A距离地面100米,匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响,乘客与地面的距离超过34米时,可视为最佳观赏位置,在运行的一圈里最佳观赏时长为( ) A.10分钟 B.12分钟 C.14分钟 D.16分钟 7.“ln(x+1)<0”的一个必要而不充分条件是( ) A.﹣1<x< B.x>0 C.﹣1<x<0 D.x<0 8.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称.若,则cos(α﹣β)=( ) A. B. C.1 D. 9.已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,点A为抛物线C上横坐标为3的点,过点A的直线交x轴的正半轴于点B,且△ABF为正三角形,则p=( ) A.1 B.2 C.9 D.18 10.在平面直角坐标系中,从点P(﹣3,2)向直线kx﹣y﹣2﹣k=0作垂线,垂足为M,则点Q(2,4)与点M的距离|MQ|的最小值是( ) A. B. C. D.17 二、填空题共5小题,每小题5分,满分25分。 11.在△ABC中,∠B=,AB=1,BC=2,则AC的长为 . 12.在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点M是该正方体表面及其内部的一动点,且BM∥平面AD1C,则动点M的轨迹所形成区域的面积是 . 13.已知双曲线C的中心在坐标原点,且经过点P(,),下列条件中哪一个条件能确定唯一双曲线C,该条件的序号是 ;满足该条件的双曲线C的标准方程是 . 条件①:双曲线C的离心率e=2; 条件②:双曲线C的渐近线方程为y=; 条件⑧:双曲线C的实轴长为2. 14.函数在区间上单调,且,则ω的最小值为 . 15.正△ABC的边长为1,中心为O,过O的动直线l与边AB,AC分别相交于点M、N,,,.给出下列四个结论: ①; ②若,则; ③不是定值,与直线1的位置有关; ④△AMN与△ABC的面积之比的最小值为. 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16.第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办,为了普及冬奥知识,京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛,从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本,得到他们的分数统计如表: 分数段 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 人数 1 2 2 8 3 3 1 我们规定60分以下为不及格;60分及以上至70分以下为及格;70分及以上至80分以下为良好;80分及以上为优秀. (Ⅰ)从这20名学生中随机抽取2名学生,恰好2名学生都是优秀的概率是多少? (Ⅱ)将上述样本统计中的频率视为概率,从全校学生中随机抽取2人,以X表示这2人中优秀人数,求X的分布列与期望. 17.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,AB=PA,PA⊥底面ABCD,∠ABC=,E是PC上任一点,AC∩BD=O. (Ⅰ)求证:平面EBD⊥平面PAC; (Ⅱ)若E是PC的中点,求ED与平面EBC所成角的正弦值. 18.已知各项均为正数的数列{an},其前n项和为Sn,数列{bn}为等差数列,满足b2=12,b5=30.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求解下列问题: (Ⅰ)求数列{an}的通项公式an和它的前n项和Sn; (Ⅱ)若对任意n∈N*不等式kSn≥bn恒成立,求k的取值范围. 条件①an2+an=2Sn; 条件②a1=9,当n≥2,a2=2,an+1=an+2. 19.曲线C上任一点M(x,y)到点F1(﹣1,0),F2(﹣1,0)距离之和为,点P(x0,y0)是曲线C上一点,直线l过点P且与直线x0x+2y0y﹣2=0垂直,直线l与x轴交于点Q. (Ⅰ)求曲线C的方程及点Q的坐标(用点P(x0,y0)的坐标表示); (Ⅱ)比较与的大小,并证明你的结论. 20.已知函数(a∈R). (Ⅰ)若曲线y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围; (Ⅱ)若f(x)在区间(0,+∞)上存在极大值M,证明:M<. 21.对于一个非空集合A,如果集合D满足如下四个条件: ①D?{(a,b)|a∈A,b∈A}; ②?a∈A,(a,a)∈D; ③?a,b∈A,若(a,b)∈D且(b,a)∈D,则a=b; ④?a,b,c∈A,若(a,b)∈D且(b,c)∈D,则(a,c)∈D, 则称集合D为A的一个偏序关系. (Ⅰ)设A={1,2,3},判断集合D={(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)}是不是集合A的偏序关系,请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D; (Ⅱ)证明:R≤={(a,b)|a∈R,b∈R,a≤b}是实数集R的一个偏序关系: (Ⅲ)设E为集合A的一个偏序关系,a,b∈A.若存在c∈A,使得(c,a)∈E,(c,b)∈E,且?d∈A,若(d,a)∈E,(d,b)∈E,一定有(d,c)∈E,则称c是a和b的交,记为c=a∧b.证明:对A中的两个给定元素a,b,若a∧b存在,则一定唯一. 参考答案 一、选择题(共10小题). 1.复数z=i(1﹣i)的模|z|=( ) A. B.2 C.1 D.4 解:∵z=i(1﹣i)=1+i, ∴|z|=. 故选:A. 2.集合A={x|x>0},B={x||x|≤2},则A∩B=( ) A.R B.[﹣2,+∞) C.(0,2] D.(0,+∞) 解:∵集合A={x|x>0},B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}, ∴A∩B={x|0<x≤2}=(0,2]. 故选:C. 3.二项式(x2﹣)5展开式中,x4的系数是( ) A.﹣40 B.10 C.40 D.﹣10 解:由通项公式得:Tr+1=?(﹣2)r?x10﹣3r,令10﹣3r=4,求得r=2, 可得含有x4的系数是, 故选:C. 4.某四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥最长的棱长为( ) A.2 B. C.4 D. 解:根据直观图不难得出, PC是最长的棱长,长度为:. 故选:D. 5.数列{an}中,a1=1,an+1=﹣2an,数列{bn}满足bn=|an|,则数列{bn}的前n项和Sn=( ) A. B. C.2n﹣1 D.(﹣2)n﹣1 解:由题设可知:b1=|a1|=1,==2, ∴数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列, ∴, 故选:C. 6.京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构,风格更加简约,摩天轮直径88米,最高点A距离地面100米,匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响,乘客与地面的距离超过34米时,可视为最佳观赏位置,在运行的一圈里最佳观赏时长为( ) A.10分钟 B.12分钟 C.14分钟 D.16分钟 解:如图所示, 解法一,转动的角速度为, 计算OC=44﹣(34﹣12)=22, 所以, 所以最佳观赏期的圆心角为, 在运行的一圈里最佳观赏时长为(分钟). 解法二,转动的角速度为, 所以点P到从最下端开始运动,运行中到地面距离为 f(t)=44sin(t﹣)+56(0≤t≤18), 令f(t)≥34,得sin(t﹣)≥﹣, 解得﹣≤t﹣≤, 即3≤t≤15, 所以最佳观赏期的时长为15﹣3=12(分钟). 故选:B. 7.“ln(x+1)<0”的一个必要而不充分条件是( ) A.﹣1<x< B.x>0 C.﹣1<x<0 D.x<0 解:设ln(x+1)<0, 整理得ln(x+1)<ln1, 解得:M={x|﹣1<x<0}, 它的必要条件的集合为N,则M是N的真子集. 故选:D. 8.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称.若,则cos(α﹣β)=( ) A. B. C.1 D. 解:由题意得,cosα=cosβ,sinα=﹣sinβ, ∴cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ=cos2α﹣sin2α=2cos2α﹣1=. 故选:B. 9.已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,点A为抛物线C上横坐标为3的点,过点A的直线交x轴的正半轴于点B,且△ABF为正三角形,则p=( ) A.1 B.2 C.9 D.18 解:由题意可知,当B在焦点F的右侧时, , 当B在焦点F的左侧时,同理可得P=18,此时点B在x轴的负半轴,不合题意. 故选:B. 10.在平面直角坐标系中,从点P(﹣3,2)向直线kx﹣y﹣2﹣k=0作垂线,垂足为M,则点Q(2,4)与点M的距离|MQ|的最小值是( ) A. B. C. D.17 解:直线kx﹣y﹣2﹣k=0过定点N(1,﹣2), ∵PM⊥MN, 可知点M是在以PN为直径的圆C:(x+1)2+y2=8上, 又, 可得:, 故选:A. 二、填空题共5小题,每小题5分,满分25分。 11.在△ABC中,∠B=,AB=1,BC=2,则AC的长为 . 解:△ABC中,∠B=,AB=1,BC=2,如图所示: 由余弦定理得:AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB=12+22﹣2×1×2×cos=7, 解得. 故答案为:. 12.在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点M是该正方体表面及其内部的一动点,且BM∥平面AD1C,则动点M的轨迹所形成区域的面积是 2 . 解:因为平面BA1C1∥平面ACD1,点M是该正方体表面及其内部的一动点,且BM∥平面AD1C, 所以点M的轨迹是△A1C1B三角形及其内部, 所以△A1BC1的面积为. 故答案为:. 13.已知双曲线C的中心在坐标原点,且经过点P(,),下列条件中哪一个条件能确定唯一双曲线C,该条件的序号是 ② ;满足该条件的双曲线C的标准方程是 x . 条件①:双曲线C的离心率e=2; 条件②:双曲线C的渐近线方程为y=; 条件⑧:双曲线C的实轴长为2. 解:设双曲线方程为或, 条件①:因为e=,且c2=a2+b2, 又,解得或, 所以双曲线方程为x或,故有两条双曲线; 条件②:因为y=x,则或, 又,解得a2=1,b2=3或无解,故只有一条双曲线; 条件③:因为实轴长为2,故2a=2,所以a=1, 又,所以b2=1或b2=3, 所以双曲线方程为x2﹣y2=1或x,故有两条双曲线, 综上,只有②能确定一条双曲线,且双曲线方程为x, 故答案为:. 14.函数在区间上单调,且,则ω的最小值为 1 . 解:因为, 又由函数在区间上单调,且, 可得:是它的一个称中心, 所以,k∈Z, 因为ω>0, 所以ω最小值为1. 故答案为:1. 15.正△ABC的边长为1,中心为O,过O的动直线l与边AB,AC分别相交于点M、N,,,.给出下列四个结论: ①; ②若,则; ③不是定值,与直线1的位置有关; ④△AMN与△ABC的面积之比的最小值为. 其中所有正确结论的序号是 ①④ . 解:对于①,=,可得①正确; 对于②,,= ===,显然②不正确; 对于③,, 又因为,O,M,N三点共线 所以是定值,可得③不正确 对于④,设, 由均值不等得, 由③得:, 当且仅当时,取等号,可得④正确. 故答案为:①④. 三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16.第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办,为了普及冬奥知识,京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛,从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本,得到他们的分数统计如表: 分数段 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 人数 1 2 2 8 3 3 1 我们规定60分以下为不及格;60分及以上至70分以下为及格;70分及以上至80分以下为良好;80分及以上为优秀. (Ⅰ)从这20名学生中随机抽取2名学生,恰好2名学生都是优秀的概率是多少? (Ⅱ)将上述样本统计中的频率视为概率,从全校学生中随机抽取2人,以X表示这2人中优秀人数,求X的分布列与期望. 解:(Ⅰ)设恰好2名学生都是优秀这一事件为A,…………………………(1分) .……………………………………………………………… (Ⅱ)设每名同学为优秀这一事件为B,由题意可得,…… X可取0,1,2,………………………………………………………………(1分) , , ,…………… X 0 1 2 P ……(1分) E(X)=.……………………………………… 17.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,AB=PA,PA⊥底面ABCD,∠ABC=,E是PC上任一点,AC∩BD=O. (Ⅰ)求证:平面EBD⊥平面PAC; (Ⅱ)若E是PC的中点,求ED与平面EBC所成角的正弦值. 解:(Ⅰ)PA⊥平面ABCD?PA⊥BD,…………………………………(1分) 底面ABCD菱形,可得BD⊥AC,………………………………………(1分) 又PA∩AC=A, 又PA⊥BD,BD⊥AC, PA?平面PAC,AC?平面PAC,BD⊥平面PAC,………………………………………… BD?平面EBD,平面EBD⊥平面PAC.……… (Ⅱ)若E是PC的中点,连结OE,则OE∥PA?OE⊥平面ABCD,……(1分) 所以,OB,OC,OE两两垂直,建立如图所示的坐标系,………(1分) 不妨设AB=2,则… 设平面EBC的法向量为=(x,y,z),, 取x=1,则y=z=,所以,=(1,,), 直线DE的方向向量为=(,0,1), cos==. ED与平面EBC所成角的正弦值为:. 18.已知各项均为正数的数列{an},其前n项和为Sn,数列{bn}为等差数列,满足b2=12,b5=30.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求解下列问题: (Ⅰ)求数列{an}的通项公式an和它的前n项和Sn; (Ⅱ)若对任意n∈N*不等式kSn≥bn恒成立,求k的取值范围. 条件①an2+an=2Sn; 条件②a1=9,当n≥2,a2=2,an+1=an+2. 【解答】选择①an2+an=2Sn. 解:(Ⅰ)得:当n=1时,a1=1, 当n≥2时,(1),(2), 两式相减得:, 而an>0,可得:an﹣an﹣1=1,数列{an}为等差数列, 所以,an=1+(n﹣1)×1=n, ; (Ⅱ)设bn=b1+(n﹣1)d,b2=12,b5=30,即b1+d=12,b1+4d=30, 解得b1=6,d=6, 所以,bn=6n, 由kSn≥bn得:, 设,则{cn}是递减数列, 所以,当,cn达到最大, 所以,k的取值范围为[6,+∞), 选择②a1=9,当n≥2,a2=2,an+1=an+2. 解:(Ⅰ)当n≥2,an+1=an+2?an+1﹣an=2, 当n≥2,an=a2+(n﹣2)×2?an=2n﹣2, 所以,, , (Ⅱ)设bn=b1+(n﹣1)d,b2=12,b5=30,代入得:bn=6n, 由kSn≥bn得:, 设, 当且仅当n=3时,上式取得等号, 所以, 综上所述,k的取值范围是. 19.曲线C上任一点M(x,y)到点F1(﹣1,0),F2(﹣1,0)距离之和为,点P(x0,y0)是曲线C上一点,直线l过点P且与直线x0x+2y0y﹣2=0垂直,直线l与x轴交于点Q. (Ⅰ)求曲线C的方程及点Q的坐标(用点P(x0,y0)的坐标表示); (Ⅱ)比较与的大小,并证明你的结论. 解:(Ⅰ)由题意可知,曲线C是焦点在x轴上的椭圆,c=1,,所以b=1,…… 曲线C的方程为:,…………………………………………… 当y0=0时,直线l与x轴重合,不合题意, 当x0=0时,直线l与y轴重合,点Q是原点,Q(0,0),………………………(1分) 当x0≠0,y0≠0时,由题意得:,直线l的方程:2y0x﹣x0y﹣x0y0=0,… 得,……………………………………………………………………(1分) 综上所述,点.…………………………………………………………(1分) (Ⅱ)点P(x0,y0)满足方程:,……………(1分) ,………………………………………………(1分) 将代入整理得:,………,……………………………………………………(1分) 所以,=.…………………………………………………………(1分) 20.已知函数(a∈R). (Ⅰ)若曲线y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围; (Ⅱ)若f(x)在区间(0,+∞)上存在极大值M,证明:M<. 解:(Ⅰ)f′(x)=ex﹣ax…………………………………………(1分) 由题意得:f′(x)=ex﹣ax≥0?a≤………………………………(1分) 设,求导得:g′(x)=………………………………(1分) g(x)在区间(0,1)上减,在区间(1,+∞)上增, g(x)的最小值为g(1)=e……(1分) 所以,a≤e………………………………………………………………(1分) (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知,当a≤e时,函数f(x)在(0,+∞)上递增,无极大值……1 分 所以,a>e………………………………………………………………………(1分) 设h(x)=f′(x)=ex﹣ax,则h′(x)=ex﹣a=0?x=lna…………………………(1分) f′(x)在(0,lna)上减,在(lna,+∞)上增, f′(x)的最小值f′(lna)=a(1﹣lna)<0…(1分) 而f′(0)=1>0,f′(1)=e﹣a<0,f′(lna2)=a(a﹣2lna), 设t(x)=x﹣2lnx(x>e), 求导得:t′(x)=>0,t(x)>t(e)=e﹣2>0,所以,f′(lna2)=a(a﹣2lna)>0… 由零点存在定理得:f′(x)在(0,lna),(lna,+∞)上分别有一个零点x1,x2, 即f′(x1)=0?=ax1,f′(x2)=0?=ax2,且0<x1<1……(1分) f(x)在(0,x1)上增,在(x1,x2)减,在(x2,+∞)上增,f(x)极大值为f(x1)=M…(1分) , 由均值不等式得,… 21.对于一个非空集合A,如果集合D满足如下四个条件: ①D?{(a,b)|a∈A,b∈A}; ②?a∈A,(a,a)∈D; ③?a,b∈A,若(a,b)∈D且(b,a)∈D,则a=b; ④?a,b,c∈A,若(a,b)∈D且(b,c)∈D,则(a,c)∈D, 则称集合D为A的一个偏序关系. (Ⅰ)设A={1,2,3},判断集合D={(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)}是不是集合A的偏序关系,请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D; (Ⅱ)证明:R≤={(a,b)|a∈R,b∈R,a≤b}是实数集R的一个偏序关系: (Ⅲ)设E为集合A的一个偏序关系,a,b∈A.若存在c∈A,使得(c,a)∈E,(c,b)∈E,且?d∈A,若(d,a)∈E,(d,b)∈E,一定有(d,c)∈E,则称c是a和b的交,记为c=a∧b.证明:对A中的两个给定元素a,b,若a∧b存在,则一定唯一. 解:(Ⅰ)集合D满足①②③,但不满足④, 因为(1,2)∈D,(2,3)∈D,由题意(1,3)∈D,而(1,3)?D,所以不满足④, 集合D不是集合A的偏序关系, 故D={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)}(开放性). (Ⅱ)证明:R≤={(a,b)|a∈R,b∈R,a≤b},满足①②, ?(a,b)∈D?a≤b,且(b,a)∈D?b≤a,则a=b,满足条件③, ?a,b,c∈R,若(a,b)∈R≤且(b,c)∈R≤,则a≤b,b≤c,所以a≤c, 所以(a,c)∈R≤,满足条件④, 综上所述,R≤={(a,b)|a∈R,b∈R,a≤b}是实数集R的一个偏序关系. (Ⅲ)证明:用反证法.假设对A中的两个给定元素a,b,且a∧b存在,但不唯一. 设c1=a∧b,c2=a∧b,且c1≠c2,则(c1,a)∈E,(c1,b)∈E,(c2,a)∈E,(c2,b)∈E, 其中E为集合A的一个偏序关系. 且?d∈A,若(d,a)∈E,(d,b)∈E,一定有(d,c1)∈E,所以(c2,c1)∈E, 同理(c1,c2)∈E,则c2=c1,与c1≠c2矛盾. 所以,对A中的两个给定元素a,b,若a∧b存在,则一定唯一. 展开更多...... 收起↑ 资源预览