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2021年吉林省吉林市高考数学第三次调研试卷（理科）
一、选择题（每小题5分）.
1．已知集合A＝{x∈N|x≤1}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B的子集的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），则f（8）的值为（　　）
A．1 B．2 C．0 D．﹣1
3．已知直线l经过点（1，﹣1），且与直线2x﹣y﹣5＝0垂直，则直线l的方程为（　　）
A．2x+y﹣1＝0 B．x﹣2y﹣3＝0 C．x+2y+1＝0 D．2x﹣y﹣3＝0
4．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日17时37分为春分时节，其日影长为（　　）
A．4.5尺 B．3.5尺 C．2.5尺 D．1.5尺
5．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（　　）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1 D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
6．（1+）（1﹣x）6的展开式中x的系数为（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．9 D．15
7．已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数y＝sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y＝loga（x+b）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．已知m是1和9的等比中项，则圆锥曲线x2+＝1的离心率为（　　）
A． B．或2 C． D．或
10．如图：△ABC和△DEF是同一圆O的两个内接正三角形；且BC∥EF．一个质点P在该圆内运动，用M表示事件“质点P落在扇形OEF（阴形区域）内”，N表示事件“质点P落在△DEF内”，则P（N|M）＝（　　）
A． B． C． D．
11．已知A、B为平面上的两个定点，且||＝2，该平面上的动线段PQ的端点P、Q，满足||≤5，＝6，＝﹣2，则动线段PQ所形成图形的面积为（　　）
A．36 B．60 C．72 D．108
12．对于?x＞0，aex﹣lnx+lna≥0恒成立，则a的取值范围为（　　）
A．[，+∞） B．[，+∞） C．[，+∞） D．[，+∞）
二、填空题（共4小题）.
13．己知i是虚数单位，复数z＝，则z的虚部为　 　．
14．设a＝e1.5，b＝log3e，c＝log5，则a，b，c按从小到大的顺序为　 　．
15．辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄”“时代楷模”“全国道德模范”称号的几位先进人物代表共度新春佳节，他们是“人民英雄”陈薇、“时代楷模”毛相林、张连刚、林占禧，“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰、朱恒银，从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则不同的发言情况有　 　种．
16．已知圆C：（x+1）2+y2＝16，P是圆C上任意点，若A（1，0），线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹方程是　 　；若A是圆C所在平面内的一定点，线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹是：①一个点；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤抛物线，其中可能的结果有　 　．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量＝（1，a），＝（﹣a，cosB），且⊥．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b＝2，a＝2，求角A．
18．2020年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验，党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实干，取得了积极成效．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积x与相应的管理时间y的关系如表所示：
土地使用面积x 1 2 3 4 5
管理时间y 8 11 14 24 23
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：
愿意参与管理 不愿意参与管理
男性村民 140 60
女性村民 40
（Ⅰ）做出散点图，判断土地使用面积x与管理时间y是否线性相关；并根据相关系数r说明相关关系的强弱，（若|r|≥0.75，认为两个变量有很强的线性相关性，r值精确到0.001）．
（Ⅱ）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，且每位村民参与管理的意愿互不影响，则从该贫困县村民中任取3人，记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考公式：r＝．
参考数据：＝16，＝206，≈22.7．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，M是AB中点，N是A1B1中点，P是BC1与B1C的交点，点Q在线段C1N上．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面A1CM；
（Ⅱ）若二面角A1﹣CM﹣A的余弦值是，求点B到平面A1CM的距离．
20．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的点（x0，1）到其焦点F的距离为，过点F的直线1与抛物线C相交于A，B两点，过原点O垂直于l的直线与抛物线C的准线相交于Q点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及F的坐标；
（Ⅱ）设△OAB，△QAB的面积分别为S1，S2，求﹣的最大值．
21．已知函数f（x）＝ex﹣2x+sinx，g（x）＝ex（﹣sinx+cosx+a）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）?x1，x2∈[0，]，使得不等式g（x1）≥f（x2）成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）不等式＞lnx在（1，+∞）上恒成立．求整数m的最大值．
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选--题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P的直角坐标为（0，1），l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣4|+|1﹣x|，x∈R．
（Ⅰ）解不等式：f（x）≤5；
（Ⅱ）记f（x）的最小值为M，若正实数a，b满足a+b＝M，试求：的最小值．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x∈N|x≤1}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B的子集的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：因为集合A＝{x∈N|x≤1}，B＝{﹣1，0，1，2}，
所以A∩B＝{0，1}，
故A∩B的子集的个数为22＝4．
故选：D．
2．若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），则f（8）的值为（　　）
A．1 B．2 C．0 D．﹣1
解：根据题意，若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，
又由f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
则f（8）＝f（4）＝f（0）＝0，
故选：C．
3．已知直线l经过点（1，﹣1），且与直线2x﹣y﹣5＝0垂直，则直线l的方程为（　　）
A．2x+y﹣1＝0 B．x﹣2y﹣3＝0 C．x+2y+1＝0 D．2x﹣y﹣3＝0
解：因为直线l与直线2x﹣y﹣5＝0垂直，所以直线l可设为x+2y+m＝0，
因为直线l经过点（1，﹣1），
所以1+2×（﹣1）+m＝0，解得m＝1，
则直线l的方程为x+2y+1＝0
故选：C．
4．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日17时37分为春分时节，其日影长为（　　）
A．4.5尺 B．3.5尺 C．2.5尺 D．1.5尺
解：设影长依次成等差数列{an}，其公差为d．
则a1+a2+a3＝28.5，a10+a11+a12＝1.5，
∴3a1+3d＝28.5，3a1+30d＝1.5，
解得a1＝10.5，d＝﹣1，
∴a7＝10.5+6×（﹣1）＝4.5，
今年3月20日17时37分为春分时节，其日影长为4.5尺．
故选：A．
5．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（　　）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1 D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
解：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，
化简得：|4a﹣3b|＝5①，
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），
把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），
∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故选：A．
6．（1+）（1﹣x）6的展开式中x的系数为（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．9 D．15
解：（1+）（1﹣x）6的展开式中x的系数为 ?（﹣1）+?（﹣1）2＝9，
故选：C．
7．已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
解：设圆锥的高为h，则由题意可得，，
解得，
所以母线与底面所成角的正切值为，
由同角三角函数关系可得，母线与底面所成角的正弦值为．
故选：A．
8．已知函数y＝sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y＝loga（x+b）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：由函数y＝sinax+b（a＞0）的图象可得 0＜b＜1，2π＜＜3π，即 ＜a＜1．
故函数y＝loga（x+b）是定义域内的减函数，且过定点（1﹣b，0），
故选：A．
9．已知m是1和9的等比中项，则圆锥曲线x2+＝1的离心率为（　　）
A． B．或2 C． D．或
解：由题意，实数m是1，9的等比中项，
∴m2＝1×9，∴m＝±3，
当m＝3时，方程为x2+＝1，表示椭圆，
a2＝3，b2＝1，c2＝2，c＝，
离心率为e＝＝＝；
当m＝﹣3时，方程为x2﹣＝1，表示双曲线，
a2＝1，b2＝3，c2＝4，c＝2，
离心率为e＝＝2，
故选：B．
10．如图：△ABC和△DEF是同一圆O的两个内接正三角形；且BC∥EF．一个质点P在该圆内运动，用M表示事件“质点P落在扇形OEF（阴形区域）内”，N表示事件“质点P落在△DEF内”，则P（N|M）＝（　　）
A． B． C． D．
解：∵△ABC和△DEF是同一圆O的两个内接正三角形，设半径OE＝r，
∴∠EOF＝，
∴S△OEF＝r2sin＝r2，
S扇形OEF＝πr2，
∴P（M）＝，P（MN）＝，
∴P（N/M）＝＝，
故选：A．
11．已知A、B为平面上的两个定点，且||＝2，该平面上的动线段PQ的端点P、Q，满足||≤5，＝6，＝﹣2，则动线段PQ所形成图形的面积为（　　）
A．36 B．60 C．72 D．108
解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；
则A（0，0），B（2，0），设P（x，y），∴＝（x，y），＝（2，0）；
由||≤5，得x2+y2≤25；
又＝6，
∴2x＝6，x＝3；
∴y2≤16；
∴﹣4≤y≤4
∴动点P在直线x＝3上，且﹣4≤y≤4，
由相似三角形可知AQ扫过的面积为48，
即|PC|＝8，
则AP扫过的三角形的面积为×8×3＝12，
设点Q（x0，y0）
∵＝﹣2，
∴（x0，y0）＝﹣2（x，y）＝（﹣6，﹣2y），
∴x0＝﹣6，y0＝﹣2y，
∴动点Q在直线x＝﹣6上，且﹣8≤y≤8，
∴|QD|＝16，
∴AQ扫过的三角形的面积为×16×6＝48，
∴因此和为60，
故选：B．
12．对于?x＞0，aex﹣lnx+lna≥0恒成立，则a的取值范围为（　　）
A．[，+∞） B．[，+∞） C．[，+∞） D．[，+∞）
解：aex﹣lnx+lna≥0对于?x＞0恒成立，所以aex≥lnx﹣lna对于?x＞0恒成立，即aex≥对于?x＞0恒成立，
因为函数y＝aex与y＝互为反函数，则有aex≥x对于?x＞0恒成立，故对于?x＞0恒成立，
令（x＞0），则，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，当x＞1时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，
所以当x＝1时，f（x）取得最大值f（1）＝，
所以，
故a的取值范围为．
故选：D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.其中第16题的第一个空填对得2分第二个空填对得3分.
13．己知i是虚数单位，复数z＝，则z的虚部为　﹣1　．
解：z＝＝1﹣i，
则z的虚部为﹣1，
故答案为：﹣1．
14．设a＝e1.5，b＝log3e，c＝log5，则a，b，c按从小到大的顺序为　a＞b＞c　．
解：因为a＝e1.5＞e0＝1，0＜b＝log3e＜log33＝1，
c＝log1＝0，
所以a，b，c的大小关系为：a＞b＞c，
故答案为：a＞b＞c．
15．辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄”“时代楷模”“全国道德模范”称号的几位先进人物代表共度新春佳节，他们是“人民英雄”陈薇、“时代楷模”毛相林、张连刚、林占禧，“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰、朱恒银，从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则不同的发言情况有　38　种．
解：从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则发言情况有3类，一类：
“人民英雄”“时代楷模”，二类：“全国道德模范”“人民英雄”，
三类：“时代楷模”“全国道德模范”，
所以一类：“人民英雄”“时代楷模”，发言方案：＝6，
二类：“全国道德模范”“人民英雄”，＝8，
三类：“时代楷模”“全国道德模范”，＝24，
共有38种发言方案．
故答案为：38．
16．已知圆C：（x+1）2+y2＝16，P是圆C上任意点，若A（1，0），线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹方程是　　；若A是圆C所在平面内的一定点，线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹是：①一个点；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤抛物线，其中可能的结果有　①②③　．
解：圆C：（x+1）2+y2＝16，则圆心C（﹣1，0），半径r＝4，
因为线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，
则QA＝QP＝PC﹣QC＝4﹣QC，
所以QA+QC＝4＞AC＝2，
故点Q的轨迹是以A（1，0），C（﹣1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，
所以c＝1，a＝2，故b2＝a2﹣c2＝3，
所以点Q的轨迹方程是；
（1）若点A在圆C内不同于点C处，如图（1）所示，则有QP+QC＝PC＝4＞AC，
由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，故选项③成立；
（2）若点A在圆心C处，如图（2）所示，则有QP＝QA＝，
由圆的定义可知，点Q的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，故选项②成立；
（3）若点A在圆C上，如图（3）所示，则有AP的垂直平分线与PC交于点C，
故点Q与点C重合，点Q的轨迹为一个点，故选项①成立；
（4）若点A在圆外，如图（4）所示，则QA＝QP＝PC+QC＝4+QC，所以QA﹣QC＝4＜AC，
故点Q的轨迹是以A，C为焦点，4为实轴长的双曲线的一支，故选项④不成立；
点A不论在什么位置，点Q的轨迹都不可能是抛物线，故选项⑤不成立．
故可能的结果有①②③．
故答案为：；①②③．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量＝（1，a），＝（﹣a，cosB），且⊥．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b＝2，a＝2，求角A．
解：（I）由题意得＝﹣a+cosB＝0，
故cosB＝，
因为B为三角形的内角，
所以B＝；
（II）若b＝2，a＝2，B＝，
由正弦定理得，
所以sinA＝＝＝，
因为b＜a，
所以A＞B，
故A＝或A＝．
18．2020年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验，党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实干，取得了积极成效．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积x与相应的管理时间y的关系如表所示：
土地使用面积x 1 2 3 4 5
管理时间y 8 11 14 24 23
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：
愿意参与管理 不愿意参与管理
男性村民 140 60
女性村民 40
（Ⅰ）做出散点图，判断土地使用面积x与管理时间y是否线性相关；并根据相关系数r说明相关关系的强弱，（若|r|≥0.75，认为两个变量有很强的线性相关性，r值精确到0.001）．
（Ⅱ）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，且每位村民参与管理的意愿互不影响，则从该贫困县村民中任取3人，记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考公式：r＝．
参考数据：＝16，＝206，≈22.7．
解：（Ⅰ）散点图如下所示．
由散点图知，土地使用面积x与管理时间y线性相关．
由题意知，＝×（1+2+3+4+5）＝3，＝×（8+11+14+24+23）＝16，
＝（﹣2）×（﹣8）+（﹣1）×（﹣5）+0×（﹣2）+1×8+2×7＝43，
2＝（﹣2）2+（﹣1）2+02+12+22＝10，
2＝（﹣8）2+（﹣5）2+（﹣2）2+82+72＝206，
∴相关系数r＝＝＝≈≈0.947＞0.75，
故土地使用面积x与管理时间y的线性相关性很强．
（Ⅱ）由题意知，调查的300名村民中不愿意参与管理的女性村民人数为300﹣（140+40+60）＝60名，
从该贫困县中任选一人，取到不愿意参与管理的女性村民的概率p＝＝，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝?＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，M是AB中点，N是A1B1中点，P是BC1与B1C的交点，点Q在线段C1N上．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面A1CM；
（Ⅱ）若二面角A1﹣CM﹣A的余弦值是，求点B到平面A1CM的距离．
【解答】（Ⅰ）证明：连结MN，因为侧棱AA1⊥底面A1B1C1，所以三棱柱为直三棱柱，
由M，N是AB，A1B1的中点，则MN∥CC1，MN＝CC1，
故四边形MNC1C为平行四边形，则NC1∥MC，
因为NC1?平面A1CM，MC?平面A1CM，
所以NC1∥平面A1CM，
连结PN，由P，N是B1C，A1B1中点，则PN∥A1C，
又PN?平面A1CM，A1C?平面A1CM，
所以PN∥平面A1CM，又PN∩NC1＝N，所以平面PNC1∥平面A1CM，
因为PQ?平面PNC1，所以PQ∥平面A1CM；
（Ⅱ）解：以A为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设A1（0，0，h）（h＞0），M（0，2，0），C（2，0，0），B（0，4，0），
所以，
设平面A1CM的法向量为，
则，
令z＝2，则x＝y＝h，故，
又平面ACM的一个法向量为，
因为二面角A1﹣CM﹣A的余弦值是，
则，
又h＞0，解得h＝2，
所以，又，
故点B到平面A1CM的距离．
20．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的点（x0，1）到其焦点F的距离为，过点F的直线1与抛物线C相交于A，B两点，过原点O垂直于l的直线与抛物线C的准线相交于Q点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及F的坐标；
（Ⅱ）设△OAB，△QAB的面积分别为S1，S2，求﹣的最大值．
解：（Ⅰ）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F（0，），准线方程为y＝﹣，
由抛物线的定义可得，1+＝，解得p＝1，
所以抛物线的方程为x2＝2y，F（0，）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（0，），设A（x1，y1），B（x2，y2），
易得直线l存在斜率，设为k，
直线l的方程为y＝kx+，与抛物线的方程x2＝2y联立，消去x，可得y2﹣（2k2+1）y+＝0，
△＝4k4+4k2≥0恒成立，y1+y2＝2k2+1，|AB|＝y1+y2+p＝2k2+2，
设原点O到直线l的距离为d1，d1＝，
所以S1＝|AB|d1＝×2（k2+1）×＝，
易得Q（k，﹣），设Q到直线l的距离为d2，d2＝，
所以S2＝|AB|d2＝×2（k2+1）?＝（k2+2），
故﹣＝﹣＝＝，
设m＝≥1，﹣＝＝≤＝1，
当且仅当m＝，即m＝1时，取得等号，
所以﹣的最大值为1．
21．已知函数f（x）＝ex﹣2x+sinx，g（x）＝ex（﹣sinx+cosx+a）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）?x1，x2∈[0，]，使得不等式g（x1）≥f（x2）成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）不等式＞lnx在（1，+∞）上恒成立．求整数m的最大值．
解：（I）f′（x）＝ex﹣2+cosx，f′（0）＝0，
①当x＜0时，ex＜1，cosx≤1，ex﹣2+cosx＜0，
即f′（x）＜0的解集（﹣∞，0），
所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
②当x＞0时，设h（x）＝ex﹣2+cosx，则h′（x）＝ex﹣sinx＞0，
故h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（0）＝0，
所以h（x）＞h（0）＝0恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，
综上f（x）的单调减区间（﹣∞，0），增区间（0，+∞）；
（II）由（I）知f（x）min＝f（0）＝1，
?x1，x2∈[0，]，使得不等式g（x1）≥f（x2）成立，
等价于不等式ex（cosx﹣sinx+a）≥1在[0，]时有解，即a≥sinx﹣cosx+e﹣x在[0，]上有解，
设F（x）＝sinx﹣cosx+e﹣x，x∈[0，]，则F′（x）＝sinx+cosx﹣e﹣x，
由于x∈[0，]，sinx+cosx∈[1，]，e﹣x≤1，
故F′（x）≥0恒成立，F（x）在[0，]上单调递增，F（x）min＝F（0）＝0，
故a的范围[0，+∞）；
（III）不等式＞lnx在（1，+∞）上恒成立等价于m＜（ex﹣2+cosx﹣xlnx）min，
令H（x）＝ex﹣2+cosx﹣xlnx，则H′（x）＝ex﹣sinx﹣lnx﹣1，H″（x）＝，
因为x＞1，所以ex＞e，﹣cosx≥﹣1，﹣＞﹣1，
故H″（x）＞e﹣2＞0，
故H′（x）在（1，+∞）上单调递增，
H′（x）＞H′（1）＝e﹣sin1﹣1＞e﹣1﹣1＞0，
故H（x）在（1，+∞）上单调递增，
H（x）＞H（1）＝e﹣2+cos1，
故m＜e﹣2+cos1，
因为e﹣2+cos1∈（1，2）且∈Z，
所以整数m的最大值1．
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选--题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P的直角坐标为（0，1），l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．
解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，根据，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4y＝0，整理得x2+（y﹣2）2＝4．
（Ⅱ）将直线l的参数方程为（t为参数），代入x2+y2﹣4y＝0，
得到，
所以，t1t2＝﹣3，
故|PA|+|PB|＝＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣4|+|1﹣x|，x∈R．
（Ⅰ）解不等式：f（x）≤5；
（Ⅱ）记f（x）的最小值为M，若正实数a，b满足a+b＝M，试求：的最小值．
解：（Ⅰ）f（x）＝|x﹣4|+|1﹣x|＝，
∵f（x）≤5，∴或1≤x≤4或，
∴4＜x≤5或1≤x≤4或0≤x＜1，∴0≤x≤5，
∴不等式的解集为{x|0≤x≤5}．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）min＝M＝3，
∴a+b＝M＝3，
∴（a+2）+（b+1）＝6，
∴
＝（）[（a+2）+（b+1）]
＝（2++）
≥（2+2）
＝，（当且仅当a+2＝b+1时“＝”成立），
故的最小值是．

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