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2021年江西省宜丰、宜春、万载高考数学联考试卷（理科）（3月份）
一、单选题（每小题5分）.
1．已知复数z＝，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合A＝{（x，y）|x﹣2y+1＝0}，B＝{（x，y）|x﹣y＝0}，则A∩B＝（　　）
A．{x＝1，y＝1} B．{1，1} C．{（1，1）} D．?
3．已知（1+x）10＝a0+a1（2+x）+a2（2+x）2+???+a10（2+x）10，则a9＝（　　）
A．﹣10 B．10 C．﹣45 D．45
4．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸（注：1尺＝10寸）时，平地降雨量是（　　）
A．9寸 B．7寸 C．8寸 D．3寸
5．下列命题正确的是（　　）
A．在独立性检验中，随机变量K2的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小
B．已知X～N（μ，σ2），当μ不变时，σ越大，X的正态密度曲线越高瘦
C．若在平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，则平面α∥平面β
D．若平面α⊥平面β，直线m⊥α，n∥m，则n∥β
6．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则＝（　　）
A． B． C． D．
7．函数f（x）＝（﹣且x≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．裴波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多?裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．已知函数f（x）＝ln（ex+1）﹣x，若，b＝f（log56），c＝f（log64），则a，b，c的大小关系正确的是（　　）
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
10．已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，若|AB|＝2，则C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．4
11．已知函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）在区间[0，]上的最大值为，则实数ω的取值个数最多为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知函数f（x）＝elogax﹣（a＞1）没有零点，则实数a的取值范围为（　　）
A．（e，+∞） B．（ ，+∞） C．（1，+∞） D．（ ，+∞）
二、填空题（每题5分，共20分）
13．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是　 　．
0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410
9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179
14．已知，则sin2θ＝　 　．
15．若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为　 　．
16．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB＝E，且DE⊥AB，若∠EDC＝120°，PA＝，PB＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为　 　．
三、解答题（70分）
17．已知数列{an}的前项和满足，且a2＝3．
（1）求证：数列是常数数列；
（2）设，Tn为数列{bn}的前n项和，求使成立的最小正整数n的值．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠APB＝，∠ABC＝，PB＝2，PC＝4，点M是AB的中点．
（1）求证：CM⊥平面PAB；
（2）线段CD上是否存在一点N，使得直线PN与平面PMD所成角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
19．某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A、B、C．经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.7，引种树苗B、C的自然成活率均为p（0.6≤p≤0.8）．
（1）任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及其数学期望；
（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．
①求一棵B种树苗最终成活的概率；
②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种树苗多少棵？
20．已知椭圆C：＝1，点O是坐标原点，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足（λ＞1，λ是常数）．当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为Cλ．
（Ⅰ）求曲线Cλ的轨迹方程；
（Ⅱ）直线l是椭圆C在点P处的切线，与曲线Cλ的交点为A，B两点，探究△OAB的面积是否为定值．若是，求△OAB的面积，若不是，请说明理由．
21．已知函数f（x）＝ex+x3+mx+2．
（1）若x轴为曲线y＝f（x）的切线，试求实数m的值；
（2）已知g（x）＝f（x）﹣ex，若对任意实数x，均有g（ex+1）≥g（x），求m的取值范围．
选考题（任选一题作答，多做则按第1题计分）
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）已知点M （2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．
23．记函数f（x）＝|x+|+|2x﹣1|的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）若正数a，b，c满足abc＝m，证明：ab+bc+ca≥．
参考答案
一、单选题（共12小题）.
1．已知复数z＝，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：∵z＝＝＝﹣i，
∴＝+i，
∴在复平面内对应的点为．
∴在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：A．
2．已知集合A＝{（x，y）|x﹣2y+1＝0}，B＝{（x，y）|x﹣y＝0}，则A∩B＝（　　）
A．{x＝1，y＝1} B．{1，1} C．{（1，1）} D．?
解：∵集合A＝{（x，y）|x﹣2y+1＝0}，B＝{（x，y）|x﹣y＝0}，
∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（1，1）}．
故选：C．
3．已知（1+x）10＝a0+a1（2+x）+a2（2+x）2+???+a10（2+x）10，则a9＝（　　）
A．﹣10 B．10 C．﹣45 D．45
解：（1+x）10＝[﹣1+(2+x)]10＝a0+a1（2+x）+a2（2+x）2+???+a10（2+x）10，
则a9＝?(﹣1)＝﹣10，
故选：A．
4．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸（注：1尺＝10寸）时，平地降雨量是（　　）
A．9寸 B．7寸 C．8寸 D．3寸
解：如图所示，由题意知天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸；
由积水深9寸，
所以水面半径为（14+6）＝10寸，
则盆中水的体积为π×9×（62+102+6×10）＝588π（立方寸）．
所以平地降雨量等于＝3（寸）．
故选：D．
5．下列命题正确的是（　　）
A．在独立性检验中，随机变量K2的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小
B．已知X～N（μ，σ2），当μ不变时，σ越大，X的正态密度曲线越高瘦
C．若在平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，则平面α∥平面β
D．若平面α⊥平面β，直线m⊥α，n∥m，则n∥β
解：对选项A，因为随机变量K2的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故A正确．
对选项B，根据正态曲线的几何特征，即可判断B错误．
对选项C，当平面α与平面β相交时，在平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，故C错误．
对选项D，若平面α⊥平面β，直线m⊥α，n∥m，则直线n有可能在平面β内，故D错误．
故选：A．
6．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则＝（　　）
A． B． C． D．
解：∵AB＝1，AD＝2，∴AC＝BD＝，
∵AE⊥BD，
∴S△ABD＝AB?AD＝AE?BD，
∴AE＝＝＝，
∴cos∠CAE＝＝＝．
∴＝?（）＝﹣＝××﹣＝．
故选：D．
7．函数f（x）＝（﹣且x≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
解：，为奇函数，故排除选项AC，
又，当时，f′（x）＜0恒成立，故函数f（x）在递减，故排除选项D．
故选：B．
8．裴波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多?裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是（　　）
A． B． C． D．
解：在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，
∴数列{an}的前40项为：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，
10946，17711，28657，46368，75025，121393，196418，317811，514229，832040，1346269，
2178309，3524578，5702887，9227465，14930352，24157817，39088169，63245986，10334155，
其中能被3整除的有10个，分别为：
3，21，144，987，6765，46368，317811，1346269，2178309，14930352．
∴从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是P＝．
故选：A．
9．已知函数f（x）＝ln（ex+1）﹣x，若，b＝f（log56），c＝f（log64），则a，b，c的大小关系正确的是（　　）
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
解：因为f（x）＝ln（ex+1）﹣x，
所以f（﹣x）＝ln（e﹣x+1）+x＝ln（ex+1）﹣x+＝ln（ex+1）﹣x＝f（x），
所以f（x）为偶函数，
因为＝，
当x＞0时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减，
因为＝f（log45），b＝f（log56），c＝f（log64），且
因为lg4+lg6＞2，
故lg4?lg6＜＝＜（）2＝（lg5）2，
log45﹣log56＝＝＞0，
所以log45＞log56＞1＞log64，
则a＞b＞c．
故选：B．
10．已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，若|AB|＝2，则C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．4
解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为：bx+ay＝0，
圆相的圆心（0，2），半径为：2，
双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，若|AB|＝2，
可得，
＝3
即：b2＝3a2，
可得c2﹣a2＝3a2，
解得e＝＝2．
故选：C．
11．已知函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）在区间[0，]上的最大值为，则实数ω的取值个数最多为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）在区间[0，]上的最大值为，
当，即时，f（x）的最大值为，解得ω＝3，
当，即时，f（x）的最大值为，
令，，作出图象如图所示，
由图象可知，y＝g（ω），y＝h（ω）的图象有两个交点A（ω1，y1），B（ω2，y2），
所以方程有两个实根ω1，ω2，又，所以，
所以此时存在一个实数ω＝ω1满足题意．
综上所述，存在两个正实数ω满足题意．
故选：B．
12．已知函数f（x）＝elogax﹣（a＞1）没有零点，则实数a的取值范围为（　　）
A．（e，+∞） B．（ ，+∞） C．（1，+∞） D．（ ，+∞）
解：由函数f（x）＝elogax﹣（a＞1）没有零点，
根据指数与对数的性质，等价于，
即，
∴……①；
构造函数g（x）＝x?ax，
则g′（x）＝ax+axlna＞0，
∴g（x）在R单调递增，
可得①式等价于，
当y＝logax与y＝相切时，设切点为（x0，y0）
则，解得a＝e，
∴要使成立，则a＞e
∴实数a的取值范围是（e，+∞）．
故选：A．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是　11　．
0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410
9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179
解：利用随机数表，从第一行第3列开始，由左至右一次读取，即47开始读取，
在编号范围内的提取出来，可得36，33，26，16，11，
则选出来的第5个零件编号是11．
故答案为：11．
14．已知，则sin2θ＝　　．
解：tan（θ+）＝＝2 即tanθ+1＝2﹣2tanθ，
∴tanθ＝
则sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝
故答案为：
15．若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为　14　．
解：作出可行域如图所示，将目标函数化为y＝，
由图可知，当直线y＝经过点A（﹣2，8）时，
目标函数取得最大值，且最大值为：﹣2+16＝14．
故答案为：14．
16．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB＝E，且DE⊥AB，若∠EDC＝120°，PA＝，PB＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为　13π　．
解：由题意，PA2+PB2＝AB2，因为，∴AB⊥面DEC，
∵AD?PAB，AD?ABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC，
在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，
∵D为△PAB斜边中点，∴在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心．
∵∠EDC＝120°，∴，
又∵，∴OO1＝，三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R＝，
三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2＝13π，
故答案为：13π．
三、解答题（70分）
17．已知数列{an}的前项和满足，且a2＝3．
（1）求证：数列是常数数列；
（2）设，Tn为数列{bn}的前n项和，求使成立的最小正整数n的值．
【解答】（1）证明：2Sn﹣nan＝n（1）；
2Sn+1﹣（n+1）an+1＝n+1（2）；
两式相减：2an+1﹣（n+1）an+1+nan＝1，
即nan﹣（n﹣1）an+1＝1，．
n≥2时，，
所以数列是常数数列．
（2）解：当n≥2时，，
所以：n≥2，an＝2n﹣1，
而n＝1时，a1＝1显然成立，所以an＝2n﹣1，
＝＝
∴，
∴，
∴n≥50．所以n的最小值为50．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠APB＝，∠ABC＝，PB＝2，PC＝4，点M是AB的中点．
（1）求证：CM⊥平面PAB；
（2）线段CD上是否存在一点N，使得直线PN与平面PMD所成角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：在△PAB中，因为∠APB＝，PB＝2，AB＝4，所以PA＝2，
因为点M是AB的中点，所以BM＝PM＝2，
在△BMC中，∠MBC＝，BM＝2，BC＝4，
由余弦定理定理可得，CM＝＝，
故BM2+CM2＝BC2，所以AB⊥CM，
在△PMC中，PM＝2，CM＝，PC＝4，所以PC2＝CM2+PM2，故PM⊥CM，
又AB∩PM＝M，AB，PM?平面PAB，所以CM⊥平面PAB；
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设P（x0，0，z0），（λ∈[0，4]），
在△PAB中，，而PM＝2，所以x0＝﹣1，故，
设平面PMD的一个法向量为，直线PN与平面PMD所成的角为θ，
因为，
所以，即，
令z＝1，则，
又，
所以，化简可得λ2﹣10λ+16＝0，解得λ＝2或λ＝8（舍），
故．
19．某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A、B、C．经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.7，引种树苗B、C的自然成活率均为p（0.6≤p≤0.8）．
（1）任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及其数学期望；
（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．
①求一棵B种树苗最终成活的概率；
②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种树苗多少棵？
解：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，则
P（X＝0）＝0.3（1﹣p）2＝0.3﹣0.6p+0.3p2，
P（X＝1）＝0.7（1﹣p）2+0.3×2p（1﹣p）＝0.1p2﹣0.8p+0.7，
P（X＝2）＝2×0.7p（1﹣p）+0.3p2＝﹣1.1p2+1.4p，
P（X＝3）＝0.7p2，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.3﹣0.6p+0.3p2 0.1p2﹣0.8p+0.7 ﹣1.1p2+1.4p 0.7p2
所以E（X）＝1×0.1p2﹣0.8p+0.7+2×﹣1.1p2+1.4p+3×0.7p2＝2p+0.7．
（2）因为0.6≤p≤0.8，由（1）可知，当p＝0.8时，E（X）取得最大值，
①一棵B种树苗最终成活的概率为0.8+（1﹣0.8）×0.75×0.8＝0.92，
②记Y为n棵树苗的成活棵数，则Y～B（n，0.92），E （Y）＝0.92n，
∴（0.92×400﹣0.08×80）n≥100000，
解得，
∴n≥277，
∴该农户至少要种植277棵树苗，才可获利不低于10万元．
20．已知椭圆C：＝1，点O是坐标原点，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足（λ＞1，λ是常数）．当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为Cλ．
（Ⅰ）求曲线Cλ的轨迹方程；
（Ⅱ）直线l是椭圆C在点P处的切线，与曲线Cλ的交点为A，B两点，探究△OAB的面积是否为定值．若是，求△OAB的面积，若不是，请说明理由．
解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），对应的点P的坐标为（，）
由于点P在椭圆C上，得，
即曲线Cλ的轨迹是椭圆，标准方程为．
（Ⅱ）①当过点P（x1，y1）切线的斜率存在时，
设该切线的方程为y﹣y1＝k（x﹣x1），即y＝kx+（y1﹣kx1）
联立y＝kx+（y1﹣kx1）、椭圆C：＝1
得（）x2+2k（y1﹣kx1）x+[（y1﹣kx1）2﹣1]＝0
，由△＝0，得1+4k2＝[（y1﹣kx1）2，的k＝﹣．
此时过点A（x1，y1）的切线方程为
过点P切线的斜率不存在时，切点为（±2，0），方程为x＝±2，
符合方程为．
∴过点P的切线方程为．
设A（x2，y2），B（x3，y3）
联立，结合得4x2﹣8x1x+16﹣16＝0
∴|AB|＝×|x3﹣x4|＝．
原点O到直线AB的距离d＝
∴△OAB的面积s＝|AB|×d＝×＝2（定值）
故△OAB的面积是定值2
21．已知函数f（x）＝ex+x3+mx+2．
（1）若x轴为曲线y＝f（x）的切线，试求实数m的值；
（2）已知g（x）＝f（x）﹣ex，若对任意实数x，均有g（ex+1）≥g（x），求m的取值范围．
解：（1）f（x）＝ex+x3+mx+2，f′（x）＝ex+3x2+m．
设曲线y＝f（x）与x轴相切于点P（x0，0），
则f（x0）＝0，f′（x0）＝0，
∴++mx0+2＝0，+3+m＝0，
化为：（x0﹣1）[+2（1+x0+）]＝0，
解得x0＝1，
∴m＝﹣e﹣3．
经过检验可得：m＝﹣e﹣3，曲线y＝f（x）与x轴相切．
（2）g（x）＝f（x）﹣ex＝x3+mx+2，
记h（x）＝ex+1﹣x，h′（x）＝ex+1﹣1，
可得：h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增．
h（﹣1）＝2，
∴h（x）≥2，即ex+1﹣x≥2．
不妨设ex+1﹣x＝t≥2．
则g（ex+1）﹣g（x）＝g（x+t）﹣g（x）＝[（x+t）3+m（x+t）+2]﹣（x3+mx+2）
＝t[3+t2+m]，t∈[2，+∞）．
若对任意实数x，均有g（x+t）≥g（x），
则3+t2≥3+×22＝1，（t＝2，x＝﹣1同时取等号）．
即1+m≥0，解得m≥﹣1．
选考题（任选一题作答，多做则按第1题计分）
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）已知点M （2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．
解：（1）曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到m，进一步转换为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，转换为直角坐标方程为．
（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，，
所以＝．
23．记函数f（x）＝|x+|+|2x﹣1|的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）若正数a，b，c满足abc＝m，证明：ab+bc+ca≥．
解：（1），
作出函数f（x）的图象如下图所示，
由图可知，当时，函数f（x）取得最小值，即实数m的值为1；
（2）证明：由（1）知，abc＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，
由柯西不等式有，
∴，
∴，当且仅当“a2＝b2＝c2”时取等号．
∴原不等式成立．

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