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2020-2021学年江苏省扬州市仪征高二（下）学情检测数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．下列命题中，真命题是（　　）
A．?x0∈R，使得e≤0
B．?x＞0，且x≠1，则
C．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件
D．“”的必要不充分条件是“”
2．在平面直角坐标系xOy中，已知动点P（x，y）到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之和是10，则点P的轨迹方程是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列说法中正确的个数是（　　）
①f'（x0）与[f（x0）]'表示的意义相同；
②求f'（x0）时，可先求f（x0）再求f'（x0）；
③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点；
④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线；
⑤函数的导数是f′（x）＝﹣+1．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在等比数列{an}中，a1+a2＝10，a3+a4＝60，则a7+a8＝（　　）
A．110 B．160 C．360 D．2160
5．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0等于（　　）
A．e2 B．e C． D．ln2
6．已知点F是抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，O为坐标原点，若以F为圆心，|FO|为半径的圆与直线x﹣y+3＝0相切，则抛物线的准线方程为（　　）
A．y＝﹣1 B．y＝ C．y＝2 D．y＝
7．过曲线y＝ex上一点P（x0，y0）作曲线的切线，若该切线在y轴上的截距小于0，则x0的取值范围是（　　）
A．（0，+∞） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（2，+∞）
8．已知正数a，b满足+＝1，若不等式a+b≥﹣x2+4x+18﹣m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．[3，+∞） B．（﹣∞，3] C．（﹣∞，6] D．[6，+∞）
二、不定项选择题（共4小题）.
9．设a，b，c∈R，则下列结论正确的有（　　）
A．若a＜b，c＜0，则ac＞bc B．a+≥2
C．若a＜b＜0，则 D．（）2≤
10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C上一点，且|PF1|＝5，则（　　）
A．C的虚轴长为6 B．|PF2|的值可能为3
C．C的离心率为2 D．|PF2|的值可能为7
11．已知平面α的法向量为，点A（x2，2x+1，2）为α内一点，若点P（0，1，2）到平面α的距离为4，则x的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣3 D．﹣6
12．已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，则下列说法中正确的（　　）
A．xy的最大值为 B．4x2+y2的最大值为2
C．4x+2y的最小值为4 D．的最小值为4
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．若f（x）＝x2+2xf'（1），则f'（0）等于　 　．
14．过抛物线方程为y2＝4x的焦点作直线l交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2＝6，则|PQ|＝　 　．
15．已知曲线y1＝2﹣与y2＝x3﹣x2+2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝　 　．
16．已知双曲线，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆．则M的横坐标为　 　，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为　 　．
二、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17．已知命题p：|x﹣1|＜c（c＞0）；命题q：|x﹣5|＞2，且p是q的充分条件，求c的取值范围．
18．已知函数f（x）＝x+alnx（a∈R）．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）若曲线y＝f（x）在x＝2处的切线方程为y＝2x+b，求a，b的值．
19．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；
（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，
条件①：an+1＝an+2n﹣1；条件②：Sn+1＝an+1．
请在上面的两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，完成下列两问的解答：
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log2a2n+1，记数列{an?bn}的前n项和为Tn，求Tn．
21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点G，PB＝PD．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若∠ABC＝60°，PA＝PC＝AB＝2，E为PD的中点，求二面角E﹣AC﹣D的大小．
22．已知椭圆的离心率为，右准线方程为x＝2．
（1）求椭圆方程；
（2）P（0，1），A、B为椭圆的左、右顶点，过A作斜率为k1的直线交椭圆于E，连接EP并延长交椭圆于F，记直线BF的斜率为k2，若k1＝3k2，求直线EF的方程．
参考答案
一、选择题（共8小题）.
1．下列命题中，真命题是（　　）
A．?x0∈R，使得e≤0
B．?x＞0，且x≠1，则
C．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件
D．“”的必要不充分条件是“”
解：对于A：?x0∈R，使得e＞0，故A错误；
对于B：对?x＞1时，，故B错误；
对于C：当a＞1，b＞1时，ab＞1，但是当ab＞1时，得到a＞1，b＞1不一定成立，故a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，故C正确；
对于D：当“”时，“”，当“”时，“x＝或（k∈Z）”，故“”充分不必要条件是“”，故D错误．
故选：C．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知动点P（x，y）到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之和是10，则点P的轨迹方程是（　　）
A． B．
C． D．
解：由已知可得动点P的轨迹E为椭圆，
焦点在x轴上，c＝4，2a＝10，所以a＝5
故b2＝a2﹣c2＝9，
故E的方程为：．
故选：A．
3．下列说法中正确的个数是（　　）
①f'（x0）与[f（x0）]'表示的意义相同；
②求f'（x0）时，可先求f（x0）再求f'（x0）；
③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点；
④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线；
⑤函数的导数是f′（x）＝﹣+1．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：对于①，f'（x0）与[f（x0）]'表示的意义不相同，f'（x0）表示x在x0处的切线的斜率，而[f（x0）]'表示的是函数f（x0）的导数，故①错误；
②求f'（x0）时，可先求f′（x）再求f'（x0），故②错误；
③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点，可能有两个交点，故③正确；
④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线，不一定正确，例如过抛物线上的点且平行于对称轴的直线，不叫切线，故③错误；
⑤函数＝的导数是，故④正确．
故选：B．
4．在等比数列{an}中，a1+a2＝10，a3+a4＝60，则a7+a8＝（　　）
A．110 B．160 C．360 D．2160
解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2＝10，a3+a4＝60，
∴q2（a1+a2）＝10q2＝60，
解得：q2＝6．
则a7+a8＝q6（a1+a2）＝10×63＝2160．
故选：D．
5．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0等于（　　）
A．e2 B．e C． D．ln2
解：∵f（x）＝xlnx，
∴f′（x）＝lnx+1，
由f′（x0）＝2，
得lnx0+1＝2，即
lnx0＝1，则x0＝e，
故选：B．
6．已知点F是抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，O为坐标原点，若以F为圆心，|FO|为半径的圆与直线x﹣y+3＝0相切，则抛物线的准线方程为（　　）
A．y＝﹣1 B．y＝ C．y＝2 D．y＝
解：由抛物线的方程可得焦点F（0，），半径r＝，
由题意＝，解得：p＝2，
所以抛物线的方程为：x2＝4y，
所以准线的方程为：y＝﹣1，
故选：A．
7．过曲线y＝ex上一点P（x0，y0）作曲线的切线，若该切线在y轴上的截距小于0，则x0的取值范围是（　　）
A．（0，+∞） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（2，+∞）
解：根据题意，曲线y＝ex，则y′＝ex，
在点P（x0，y0）处切线的斜率k＝，
则切线的方程为y﹣y0＝（x﹣x0），
即y﹣＝（x﹣x0），
变形可得：y＝x+（1﹣x0），其在y轴上的截距为（1﹣x0），
若该切线在y轴上的截距小于0，则有（1﹣x0）＜0，
解可得：x0＞1，
则x0的取值范围是（1，+∞）；
故选：C．
8．已知正数a，b满足+＝1，若不等式a+b≥﹣x2+4x+18﹣m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．[3，+∞） B．（﹣∞，3] C．（﹣∞，6] D．[6，+∞）
解：∵a＞0，b＞0，且+＝1，
∴a+b＝（a+b）（）＝10+．
当且仅当3a＝b，即a＝4，b＝12时，（a+b）min＝16．
若不等式a+b≥﹣x2+4x+18﹣m对任意实数x恒成立，
则﹣x2+4x+18﹣m≤16，即m≥﹣x2+4x+2对任意实数x恒成立，
∵﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6≤6，
∴m≥6．
∴实数m的取值范围是[6，+∞）．
故选：D．
二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）
9．设a，b，c∈R，则下列结论正确的有（　　）
A．若a＜b，c＜0，则ac＞bc B．a+≥2
C．若a＜b＜0，则 D．（）2≤
解：对于A：若a＜b，c＜0，则ac＞bc，故A正确；
对于B：当a为正数时，才成立，故B错误；
对于C：由于a＜b＜0，所以，故，故C正确，
对于D：根据平方平均值和算数平均值的关系，≥0，所以，故D正确；
故选：ACD．
10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C上一点，且|PF1|＝5，则（　　）
A．C的虚轴长为6 B．|PF2|的值可能为3
C．C的离心率为2 D．|PF2|的值可能为7
解：双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，可知a＝1，b＝，c＝2，
若P为C上一点，且|PF1|＝5，如果P在双曲线左支上，则|PF2|＝7，
然后P在右支上，则|PF2|＝3，
双曲线的离心率为：e＝2，虚轴长为2，
故选：BCD．
11．已知平面α的法向量为，点A（x2，2x+1，2）为α内一点，若点P（0，1，2）到平面α的距离为4，则x的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣3 D．﹣6
解：点P（0，1，2）到平面α的距离，即在平面α的法向量上的投影的绝对值，
，平面α的法向量为，
则，即，解得x＝2或x＝﹣6．
故选：AD．
12．已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，则下列说法中正确的（　　）
A．xy的最大值为 B．4x2+y2的最大值为2
C．4x+2y的最小值为4 D．的最小值为4
解：x＞0，y＞0，且2x+y＝2，
由基本不等式得，2＝2x+y，当且仅当2x＝y且2x+y＝2，即y＝1，x＝时取等号，
解得，xy，此时xy取得最大值，A正确；
4x2+y2＝（2x+y）2﹣4xy＝4﹣4xy≥4﹣2＝2，当且仅当2x＝y且2x+y＝2，即y＝1，x＝时取等号，
此时4x2+y2的最小值2，B错误；
4x+2y＝＝4，当且仅当2x＝y且2x+y＝2，即y＝1，x＝时取等号，此时4x+2y的最小值4，C正确；
＝＝2＝4，
当且仅当且2x+y＝2即x＝y＝时取等号，此时取得最小值4，D正确．
故选：ACD．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．若f（x）＝x2+2xf'（1），则f'（0）等于　﹣4　．
解：根据题意，f（x）＝x2+2xf'（1），则f′（x）＝2x+2f'（1），
令x＝1可得：f′（1）＝2+2f'（1），解可得f′（1）＝﹣2，
则f′（x）＝2x﹣4，
则f′（0）＝﹣4；
故答案为：﹣4．
14．过抛物线方程为y2＝4x的焦点作直线l交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2＝6，则|PQ|＝　8　．
解：抛物线y2＝4x（p＞0）中p＝2，
∵x1+x2＝6，
∴由抛物线的定义可知，|PQ|＝|PF|+|QF|＝x1++x2 +＝（x1+x2）+p＝6+2＝8，
故答案为：8．
15．已知曲线y1＝2﹣与y2＝x3﹣x2+2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝　1　．
解：由题意可得，y1′＝，y2′＝3x2﹣2x+2
设曲线y1＝2﹣与y2＝x3﹣x2+2x在x＝x0处切线的斜率分别为k1，k2
由导数的几何意义可知，k1k2＝＝3，
解得x0＝1
故答案为：1
16．已知双曲线，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆．则M的横坐标为　1　，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为　24　．
解：记△PF1F2的边PF1、PF2、F1F2上的切点
分别为K、N、D，
易见M、D横坐标相等，
|PK|＝|PN|，|F1K|＝|F1D|，|F2N|＝|F2D|，
由|PF1|﹣|PF2|＝2a，
即：|PK|+|KF1|﹣（|PN|+|NF2|）＝2a，
得|KF1|﹣|NF2|＝2a即|F1D|﹣|F2D|＝2a，
记M的横坐标为x0，则D（x0，0），
于是：x0+c﹣（c﹣x0）＝2a，得x0＝a，
双曲线的a＝1，b＝2，c＝3，
所以M的横坐标为1；
设M（1，r），而F1（﹣3，0），
由题意可得|F1M|+r＝4，
即有+r＝4，解得r＝，
则tan∠MF1F2＝＝，可得∠MF1F2＝30°，
即有∠PF1F2＝60°，
cos∠PF1F2＝＝，解得|PK|＝12，
所以△PF1F2的面积为S＝×6×16×＝24．
故答案为：1，24．
二、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17．已知命题p：|x﹣1|＜c（c＞0）；命题q：|x﹣5|＞2，且p是q的充分条件，求c的取值范围．
解：由p：|x﹣1|＜c（c＞0）得1﹣c＜x＜1+c；
由q：|x﹣5|＞2得x＞7或x＜3，
∵p是q的充分条件，则1+c≤3或1﹣c≥7，
∴c≤2或c≤﹣6，又c＞0，∴0＜c≤2．
∴c的取值范围是（0，2]．
18．已知函数f（x）＝x+alnx（a∈R）．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）若曲线y＝f（x）在x＝2处的切线方程为y＝2x+b，求a，b的值．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝x+lnx，所以f′（x）＝1+，
当x＝1时，f（1）＝1，f′（1）＝1＝1+1＝2，切点为（1，1），
则切线方程y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1．
（2）因为f′（x）＝1+（x＞0），所以f′（2）＝1+＝2，解得a＝2，
则f（x）＝x+2lnx，所以f（2）＝2+2ln2．
则2+2ln2＝4+b，解得b＝2ln2﹣2．
19．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；
（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
解：（1）行车所用时间为，
根据汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（2+）升，司机的工资是每小时14元，可得行车总费用：
y＝＝（50≤x≤100）
（2）y＝≥26，当且仅当，即时，等号成立
∴当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，
条件①：an+1＝an+2n﹣1；条件②：Sn+1＝an+1．
请在上面的两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，完成下列两问的解答：
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log2a2n+1，记数列{an?bn}的前n项和为Tn，求Tn．
解：a1＝1，
（1）选择条件①：an+1＝an+2n﹣1；
则an+1﹣an＝2n﹣1，
n≥2时，an﹣an﹣1＝2n﹣2．
∴an＝a1+（a2﹣a1）+……+an﹣an﹣1＝1+1+2+……+2n﹣2＝1+＝2n﹣1．
n＝1时也成立，∴an＝2n﹣1．
选择条件②：Sn+1＝an+1．
n≥2时，Sn﹣1+1＝an，
相减可得：an＝an+1﹣an，
即an+1＝2an，
n＝1时，a1+1＝a2＝2，∴a2＝2a1．
∴数列{an}是等比数列，首项为1，公比为2，
∴an＝2n﹣1．
（2）bn＝log2a2n+1＝+1＝2n，
∴an?bn＝2n?2n﹣1＝n?2n．
∴数列{an?bn}的前n项和Tn＝2+2×22+3×23+……+n?2n，
∴2Tn＝2×2+2×23+……+（n﹣1）?2n+n?2n+1，
∴﹣Tn＝2+22+23+……+2n﹣n?2n+1＝﹣n?2n+1＝2n+1﹣2﹣n?2n+1，
∴Tn＝（n﹣1）?2n+1+2．
21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点G，PB＝PD．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若∠ABC＝60°，PA＝PC＝AB＝2，E为PD的中点，求二面角E﹣AC﹣D的大小．
解：（1）证明：连结PG，∵底面ABCD为菱形，∴G为BD的中点，
又PB＝PD，∴BD⊥PG，
又BD⊥AC，AC，PG?平面PAC，AC∩PG＝G，
∴BD⊥平面PAC，
又BD?平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．
（2）解：连结EG，∵PA＝PC，且G为AC的中点，
∴PG⊥AC，
又BD⊥AC，BD，PG?平面PBD，BD∩PG＝G，
∴AC⊥平面PBD，
∵EG?平面PBD，∴AC⊥EG，
∴∠EGD是二面角E﹣AC﹣D的平面角，
由题意PG＝DG＝，
在Rt△PGD中，GE＝DE＝，∴tan∠EGD＝＝1，
∵∠EGD∈（0，），∠EGD＝，
∴二面角E﹣AC﹣D的大小为．
22．已知椭圆的离心率为，右准线方程为x＝2．
（1）求椭圆方程；
（2）P（0，1），A、B为椭圆的左、右顶点，过A作斜率为k1的直线交椭圆于E，连接EP并延长交椭圆于F，记直线BF的斜率为k2，若k1＝3k2，求直线EF的方程．
解：（1）根据题意可得＝，＝2，
解得a2＝4，c2＝2，
所以b2＝a2﹣c2＝4﹣2＝2，
所以椭圆的方程为+＝1．
（2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），
所以过点A的直线方程为y＝k1（x+2），
联立，得（1+2k12）x2+8k12x+8k12﹣4＝0，
所以（﹣2）?xE＝，解得xE＝，
所以yE＝k1（+2）＝，
所以E（，），
同理可得F（，），
又因为k1＝3k2，
所以F（，），
由点E，F，P三点共线可得＝，
即4k14+8k13+12k1﹣9＝0，
所以（2k12+3）（2k12+4k1﹣3）＝0，所以2k12+4k1﹣3＝0，
所以直线EF的斜率为＝＝＝1，
所以直线EF的方程为y＝x+1．

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