资源简介 2021年辽宁省抚顺市高考数学模拟试卷(一模) 一、选择题(每小题5分). 1.已知集合A={﹣3,﹣2,﹣1,2,3},B={x|(x+3)(x﹣2)<0},则A∩B=( ) A.(﹣3,﹣2,﹣1,2} B.{﹣2,﹣1,2} C.{﹣2,﹣1} D.{﹣2,﹣1,2,3} 2.已知复数z1=1﹣2i,z2=3﹣i(其中i为虚数单位),若z=z12,则|z|=( ) A.5 B.5 C. D.2 3.在边长为1的正三角形ABC中,若=2,则的值是( ) A. B. C. D. 4.2020年12月18日,国家统计局发布了2019年《中国儿童发展纲要(2011﹣2020年)》统计监测报告,报告指出学前教育得到进一步重视和加强.如图为2010年﹣2019年全国幼儿园数及学前教育毛入园率的统计图: 则以下说法正确的是( ) A.2015年我国约有75万所幼儿园 B.这十年间我国学前教育毛入园率逐年增长且增长率相同 C.2019年我国幼儿园数比上年增长了约5.2% D.2019年我国学前教育毛入园率比上年提高了1.7% 5.(2﹣x)(1+x)5展开式中x2的系数为( ) A.15 B.16 C.24 D.32 6.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<),其部分图象如图所示,则这个函数的解析式为( ) A.y=sin(4x﹣) B.y=sin(4x) C.y=sin(2x+) D.y=sin(2x﹣) 7.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F(4,0),直线y=x与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,线段AF、BF的中点分别为P、Q,且⊥,则双曲线C的离心率为( ) A. B. C.4 D.2 8.已知定义在R上的可导函数f(x)满足f′(x)+f(x)>0,令a=(m∈R),b=f(1),则有( ) A.a≥b B.a>b C.a≤b D.a<b 二、选择题(共4小题). 9.已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( ) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)在R上为增函数 C.函数f(x)的值域为(﹣3,+∞) D.函数f(x)只有一个零点 10.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱A1D1,BC,C1D1的中点,则下列结论正确的是( ) A.FG⊥平面AB1C B.EF⊥平面AB1C1D C.FG∥平面BB1D1D D.EG∥平面ACD1 11.已知直线l1:x+y﹣4=0与圆心为M(0,1)且半径为3的圆相交于A,B两点,直线l2:2mx+2y﹣3m﹣5=0与圆M交于C,D两点,则四边形ACBD的面积的值可以是( ) A.9 B.9 C.6 D.9() 12.下列说法正确的是( ) A.已知函数f(x)的定义域为(a,b),若“?x∈(a,b),使得f(x)+f(﹣x)≠0”是假命题,则f(a+b)=0 B.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为偶函数,若?x1,x2∈R,x1<x2≤1都有<0,则f(3)>f(0) C.已知函数f(x)=,若对定义域内的任意x值,均有f(x)+f(2a﹣x)=2b,则a+b=2 D.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,则对任意实数a,b,“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充要条件 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。 13.已知数列{an}、{bn}都是等差数列,若a2+2b1=6,a4+2b5=12,则a3+2b3的值是 . 14.已知函数f(x)=cos(x﹣),若sinα=,且α为锐角,则f(α+)的值是 . 15.已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=3,则||的值是 . 16.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长之和为36,则当此正三棱柱的侧面积取得最大值时,其外接球的体积为 . 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在①3Sn+1=Sn+1,a2=;②Sn+an=1;③a1=1,an+1=2Sn+1这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成解答. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足____. (1)求{an}的通项公式; (2)求a1a3+a3a5+a5a7+…+a2n﹣1a2n+1的值. 18.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=,b=2,c﹣b=2bcosA. (1)求sinB的值; (2)若AD平分∠BAC交BC于D,求三角形ADC的面积S的值. 19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB=1,AA1=2,D,E分别是棱CC1,AA1的中点,EB⊥AD. (1)证明:BC⊥EC1; (2)求二面角A﹣DB1﹣B的余弦值. 20.为了解篮球爱好者小张每天打篮球的时长与投篮的命中率之间的关系,将小张某月1日到10日每天打篮球的时长x(单位:h)与当天投篮的命中率y的数据记录如表: x(时长) 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 y(命中率) 0.4 0.4 0.5 0.6 0.6 0.7 0.6 0.4 0.4 0.3 (1)当x不取整数时,从中任取两个时长,求小张的命中率之和为1的概率; (2)从小张的命中率为0.4和0.6的几天中选出3天,用X表示所选3天中命中率为0.6的天数,求X的数学期望E(X); (3)当x取整数时,设r表示变量x与y之间样本相关系数,求r(精确到0.01),并说明此时去求回归直线方程是否有意义? 相关性检验的临界值表 n﹣2 小概率 0.05 0.01 1 0.997 1.000 2 0.950 0.990 3 0.878 0.959 4 0.811 0.917 5 0.754 0.874 注:表中的n为数据的对数. 附:≈3.16;r=. 21.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点A(2,1)在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程; (2)不过点A的直线l与椭圆相交于不同的两点M,N,若直线AM与直线AN的斜率k1,k2总满足k1?k2=﹣,求证:直线l必过定点. 22.已知函数f(x)=lnx+a(x2+x),g(x)=x3+5x. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当a=2时,证明:f(x)<g(x)﹣. 参考答案 一、选择题(共8小题). 1.已知集合A={﹣3,﹣2,﹣1,2,3},B={x|(x+3)(x﹣2)<0},则A∩B=( ) A.(﹣3,﹣2,﹣1,2} B.{﹣2,﹣1,2} C.{﹣2,﹣1} D.{﹣2,﹣1,2,3} 解:∵集合A={﹣3,﹣2,﹣1,2,3}, B={x|(x+3)(x﹣2)<0}={x|﹣3<x<2}, ∴A∩B={﹣2,﹣1}. 故选:C. 2.已知复数z1=1﹣2i,z2=3﹣i(其中i为虚数单位),若z=z12,则|z|=( ) A.5 B.5 C. D.2 解:z=z12=(1﹣2i)(3+i)=5﹣5i, ∴|z|==5, 故选:B. 3.在边长为1的正三角形ABC中,若=2,则的值是( ) A. B. C. D. 解:∵在边长为1的正三角形ABC中,=2,∴===. 故选:A. 4.2020年12月18日,国家统计局发布了2019年《中国儿童发展纲要(2011﹣2020年)》统计监测报告,报告指出学前教育得到进一步重视和加强.如图为2010年﹣2019年全国幼儿园数及学前教育毛入园率的统计图: 则以下说法正确的是( ) A.2015年我国约有75万所幼儿园 B.这十年间我国学前教育毛入园率逐年增长且增长率相同 C.2019年我国幼儿园数比上年增长了约5.2% D.2019年我国学前教育毛入园率比上年提高了1.7% 解:对于A,由统计图可知,2015年我国约有22.4万所幼儿园,故选项A错误; 对于B,这十年间我国学前教育毛入园率逐年增长,但是增长率不相同,故选项B错误; 对于C,2019年我国约有28.1万所幼儿园,2018年我国约有26.7万所幼儿园, 所以增长了,故选项C正确; 对于D,2019年入园率为83.4%,2018年入园率为81.7%, 所以增长了,故选项D错误. 故选:C. 5.(2﹣x)(1+x)5展开式中x2的系数为( ) A.15 B.16 C.24 D.32 解:因为(1+x)5展开式的通项为Tr+1=xr, 所以(2﹣x)(1+x)5展开式中x2的系数为2﹣=20﹣5=15, 故选:A. 6.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<),其部分图象如图所示,则这个函数的解析式为( ) A.y=sin(4x﹣) B.y=sin(4x) C.y=sin(2x+) D.y=sin(2x﹣) 解:根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<),其部分图象, 可得A=,=+,∴ω=2. 结合五点法作图,可得2×+φ=2π,∴φ=,故f(x)=sin(2x+), 故选:C. 7.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F(4,0),直线y=x与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,线段AF、BF的中点分别为P、Q,且⊥,则双曲线C的离心率为( ) A. B. C.4 D.2 解:设点A在第一象限,设坐标为(m,m)(m>0), 因为点P,Q,O分别为三角形ABF的三边的中点,且, 所以四边形OPFQ为矩形,所以AF⊥BF,而OF=4, 则OA=OB=4,所以,解得m=(负值舍去), 所以点A的坐标为(,3),代入双曲线方程可得:, 又a2+b2=16,解得a=2,b=2, 所以双曲线的离心率为e=, 故选:D. 8.已知定义在R上的可导函数f(x)满足f′(x)+f(x)>0,令a=(m∈R),b=f(1),则有( ) A.a≥b B.a>b C.a≤b D.a<b 解:设g(x)=exf(x), ∵f′(x)+f(x)>0, ∴g′(x)=ex(f′(x)+f(x))>0 ∴函数g(x)为R上的增函数, ∵m﹣m2=﹣(m﹣)2+<1, ∴g(m﹣m2)<g(1), 即f()<e1f(1), ∴<f(1),即a<b, 故选:D. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( ) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)在R上为增函数 C.函数f(x)的值域为(﹣3,+∞) D.函数f(x)只有一个零点 解:选项A:由已知可得函数定义域为R,故A正确; 选项B:当x<1时,函数f(x)为增函数,当x≥1时,函数为增函数,且41﹣3=1>ln1=0, 所以函数在R上不单调,故B错误; 选项C:当x<1时,﹣3<f(x)<1,当x≥1时,f(x)≥0,所以函数的值域为(﹣3,+∞),故C正确; 选项D:当x<1时,令4x﹣3=0,解得x=log43,当x≥1时,令lnx=0,解得x=1, 故函数有两个零点,故D错误, 故选:AC. 10.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱A1D1,BC,C1D1的中点,则下列结论正确的是( ) A.FG⊥平面AB1C B.EF⊥平面AB1C1D C.FG∥平面BB1D1D D.EG∥平面ACD1 解:设正方体的棱长为2,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴 建立空间直角坐标系, 则E(1,0,2),F(1,2,0),G(0,1,2),A(2,0,0),B1(2,2,2),D(0,0,0), ,,,, ∵,∴FG与AB1不垂直,则FG⊥平面AB1C错误,故A错误; ∵=4﹣4=0,,∴EF⊥AB1,EF⊥AD,有AB1∩AD=A, ∴EF⊥平面AB1C1D,故B正确; 取B1C1中点H,连接FH,GH,可得FH∥BB1, ∵FH?平面BB1D1D,BB1?平面BB1D1D,得FH∥平面BB1D1D,同理GH∥平面BB1D1D, 又FH∩GH=H,∴平面FGH∥平面BB1D1D,则FG∥平面BB1D1D,故C正确; 连接A1C1,可得A1C1∥AC,又EG∥A1C1,∴EG∥AC, ∵AC?平面ACD1,EG?平面ACD1,∴EG∥平面ACD1,故D正确. 故选:BCD. 11.已知直线l1:x+y﹣4=0与圆心为M(0,1)且半径为3的圆相交于A,B两点,直线l2:2mx+2y﹣3m﹣5=0与圆M交于C,D两点,则四边形ACBD的面积的值可以是( ) A.9 B.9 C.6 D.9() 解:根据题意,圆M的圆心为M(0,1)且半径为3,则圆M的方程为x2+(y﹣1)2=9,即x2+y2﹣2y﹣8=0, 直线l1:x+y﹣4=0与圆M相交于A,B两点, 则有,解可得:或,即A、B的坐标为(3,1),(0,4), 则|AB|==3,且AB的中点为(,), 直线l2:2mx+2y﹣3m﹣5=0,变形可得m(2x﹣3)+2y﹣5=0,直线l2恒过定点(,), 设N(,), 当CD与AB垂直时,四边形ACBD的面积最大, 此时CD的方程为y﹣=x﹣,变形可得y=x+1,经过点M(0,1), 则此时|CD|=6, 故S四边形ACBD的最大值=S△ACB+S△ADB=×6×3=9, 故S四边形ACBD≤9, 分析选项:BC符合题意, 故选:BC. 12.下列说法正确的是( ) A.已知函数f(x)的定义域为(a,b),若“?x∈(a,b),使得f(x)+f(﹣x)≠0”是假命题,则f(a+b)=0 B.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为偶函数,若?x1,x2∈R,x1<x2≤1都有<0,则f(3)>f(0) C.已知函数f(x)=,若对定义域内的任意x值,均有f(x)+f(2a﹣x)=2b,则a+b=2 D.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,则对任意实数a,b,“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充要条件 解:对于A:若“?x∈(a,b),使得f(x)+f(﹣x)≠0”是假命题,则对?x∈(a,b),使得f(x)+f(﹣x)=0”是真命题,故函数f(x)为奇函数,故a+b=0,所以f(a+b)=f(0)=0,故A正确; 对于B:函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为偶函数,则函数f(x+1)关于y轴对称,则f(x)关于x=1对称, 故f(1﹣x)=f(1+x),由于?x1,x2∈R,x1<x2≤1都有<0, 所以函数在(﹣∞,1]上单调递减, 所以f(3)=f(﹣1)>f(0)故B正确; 对于C:函数f(x)=, 故f(2a﹣x)=, 所以f(x)+f(2a﹣x)===2b, 该式对任意的x恒成立,故2b=2,2a﹣2=0,所以a=b=1,故a+b=2,故C正确; 对于D:偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,则在(﹣∞,0]上单调递减,对“f(a)>f(b)”?|a|>|b|,所以,“a>|b|”或a<﹣|b|,非充要条件,故D错误. 故选:ABC. 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。 13.已知数列{an}、{bn}都是等差数列,若a2+2b1=6,a4+2b5=12,则a3+2b3的值是 9 . 解:由等差数列的性质得,a2+2b1+a4+2b5=2(a3+2b3), 因为a2+2b1=6,a4+2b5=12, 所以a3+2b3=9. 故答案为:9. 14.已知函数f(x)=cos(x﹣),若sinα=,且α为锐角,则f(α+)的值是 . 解:∵sinα=,且α为锐角, ∴cosα==, ∴f(α+)=cos(α+﹣)=cos(α+)=(cosα﹣sinα)=×(﹣)=. 故答案为:. 15.已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=3,则||的值是 2 . 解:设l与x轴的交点为M,过Q向准线l作垂线,垂足为N, ∵=3,∴=, 又|MF|=p=3,∴|NQ|=2, ∵|NQ|=|QF|,∴|QF|=2. 故答案为:2. 16.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长之和为36,则当此正三棱柱的侧面积取得最大值时,其外接球的体积为 32 . 解:设正三棱柱ABC﹣A1B1C1底面边长为x,侧棱为y,则6x+3y=36,即2x+y=12, 三棱柱ABC﹣A1B1C1侧面积S=3xy. ∴S=3xy=﹣6x2+36x, ∴x=3时,S取最小值,此时,y=6, 此时底面外接圆半径为:?=, ∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心O到顶点A的距离为R==2, ∴该球的体积为R3=32π. 故答案为:32π. 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在①3Sn+1=Sn+1,a2=;②Sn+an=1;③a1=1,an+1=2Sn+1这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成解答. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足____. (1)求{an}的通项公式; (2)求a1a3+a3a5+a5a7+…+a2n﹣1a2n+1的值. 解:若选①: (1)3Sn+1=Sn+1,当n=1时,3S2=S1+1,即3a1+3a2=a1+1, 因为a2=,所以a1=, 当n≥2时,3Sn=Sn﹣1+1,所以3an+1=an,即=, 又=,所以=,n∈N*, 所以数列{an}是以为首项,为公比的等比数列, 所以an=. (2)a2n﹣1a2n+1=, 所以a1a3+a3a5+a5a7+…+a2n﹣1a2n+1=++…+ ==. 若选②: (1)因为Sn+an=1,当n=1时,可得a1=, 当n≥2时,Sn﹣1+an﹣1=1,可得2an=an﹣1,即=, 所以数列数列{an}是以为首项,为公比的等比数列, 所以an=. (2)a2n﹣1a2n+1=,所以a1a3+a3a5+a5a7+…+a2n﹣1a2n+1=++…+ ==. 若选③: (1)a1=1,an+1=2Sn+1, 当n=1时,a2=2S1+1=3, 当n≥2时,an=2Sn﹣1+1, 两式相减得an+1=3an,即=3, 又=3,所以=3,n∈N*, 所以数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列, 所以an=3n. (2)a2n﹣1a2n+1=34n,所以a1a3+a3a5+a5a7+…+a2n﹣1a2n+1=34+38+…+34n ==(1﹣34n). 18.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=,b=2,c﹣b=2bcosA. (1)求sinB的值; (2)若AD平分∠BAC交BC于D,求三角形ADC的面积S的值. 解:(1)因为c﹣b=2bcosA, 又由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA, 所以a2=b2+c2﹣c(c﹣b),可得b2+bc=a2, 因为a=,b=2, 可得c=1, 由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,将a=,b=2,c=1,代入,可得6=4+1﹣2×2×1×cosA,可得cosA=﹣, 所以sinA=,由正弦定理,可得sinB=. (2)由(1)可知sinA=,a=,c=1, 则由正弦定理可得,可得sinC=, 在△ABD中,=,① 在△ACD中,=,② 又因为AD平分∠ADC, 所以sin∠ADB=sin∠ADC, ②÷①,可得==2,可得CD=, 所以S△ADC=DC?AC?sinC=×2×=. 19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB=1,AA1=2,D,E分别是棱CC1,AA1的中点,EB⊥AD. (1)证明:BC⊥EC1; (2)求二面角A﹣DB1﹣B的余弦值. 【解答】(1)证明:连结EC,在直线棱柱ABC﹣A1B1C1中,因为D,E分别是棱CC1,AA1的中点, 所以C1D∥EA,且C1D=EA, 所以四边形EADC1是平行四边形,故EC1∥AD, 又因为EB⊥AD,所以EB⊥EC1, 因为CA=CB=1,AA1=CC1=2, 所以EC1=EC=,因此, 所以EC1⊥EC,又因为EB∩EC=E,EB,EC?平面ECB, 所以EC1⊥平面ECB,因为BC?平面ECB, 所以BC⊥EC1; (2)解:因为CC1⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以CC1⊥BC, 由(1)可知,BC⊥EC1,又因为CC1∩EC=C1,CC1,EC1?平面A1ACC1, 所以BC⊥平面A1ACC1,又CA?平面A1ACC1,故BC⊥CA, 所以CB,CA,CC1两两垂直, 建立空间直角坐标系如图所示, 则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,0,1),B1(0,1,2), 所以, 设平面ADB1的一个法向量为, 则有, 令x=1,则y=﹣1,z=1,故, 因为x轴⊥平面DB1B, 所以取平面DB1B的一个法向量为, 所以=, 又因为二面角A﹣DB1﹣B是锐二面角, 所以二面角A﹣DB1﹣B的余弦值为. 20.为了解篮球爱好者小张每天打篮球的时长与投篮的命中率之间的关系,将小张某月1日到10日每天打篮球的时长x(单位:h)与当天投篮的命中率y的数据记录如表: x(时长) 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 y(命中率) 0.4 0.4 0.5 0.6 0.6 0.7 0.6 0.4 0.4 0.3 (1)当x不取整数时,从中任取两个时长,求小张的命中率之和为1的概率; (2)从小张的命中率为0.4和0.6的几天中选出3天,用X表示所选3天中命中率为0.6的天数,求X的数学期望E(X); (3)当x取整数时,设r表示变量x与y之间样本相关系数,求r(精确到0.01),并说明此时去求回归直线方程是否有意义? 相关性检验的临界值表 n﹣2 小概率 0.05 0.01 1 0.997 1.000 2 0.950 0.990 3 0.878 0.959 4 0.811 0.917 5 0.754 0.874 注:表中的n为数据的对数. 附:≈3.16;r=. 解:(1)由题意可知,小张的命中率之和为1的概率为=; (2)由题意可得,X的可能取值是0,1,2,3, 又(k=0,1,2,3), 所以X的分布列为: X 0 1 2 3 P 所以数学期望E(X)==; (3)由题意可知,, 所以,,, 所以, 由相关性检验的临界值表可得,r0.05=0.878,因此|r|<r0.05, 所以此时去求回归直线方程是毫无意义的. 21.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点A(2,1)在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程; (2)不过点A的直线l与椭圆相交于不同的两点M,N,若直线AM与直线AN的斜率k1,k2总满足k1?k2=﹣,求证:直线l必过定点. 解:(1)由已知可得,且,又a2=b2+c2, 解得a2=6,b2=3,所以椭圆的方程为:; (2)证明:当l与x轴垂直时,设l方程为:x=t,由已知可得|t|, 可得M,N的坐标分别为(t,),N(t,﹣), 则k1k2=时,解得t=2(舍去)或t=0, 所以直线x=0经过原点(0,0), 当直线的斜率存在时,设l:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2), 将y=kx+m代入,得(1+2k2)x2+4mkx+2m2﹣6=0, △=16m2k2﹣4(1+2k2)(2m2﹣6)>0,解得6k2﹣m2+3>0, 所以x…①, 由已知可得k,即2(y1﹣1)(y2﹣1)+(x1﹣1)(x2﹣2)=0, 所以2y1y2﹣2(y1+y2)+x1x2﹣2(x1+x2)+6=0, 又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)(kx2+m)=k,y1+y2=k(x1+x2)+2m, 代入上式有(1+2k2)x1x2+(2mk﹣2k﹣2)(x1+x2)+2m2﹣4m+6=0, 将①代入化简可得:m2+2mk﹣m=0,则m=0或m=1﹣2k, 当m=1﹣2k时,直线为y=kx﹣2k+1=k(x﹣2)+1过定点A,不满足题意, 当m=0时,直线为y=kx,过原点(0,0), 综上,直线恒过定点,且定点为原点(0,0). 22.已知函数f(x)=lnx+a(x2+x),g(x)=x3+5x. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当a=2时,证明:f(x)<g(x)﹣. 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=+a(2x+1)=, 令h(x)=2ax2+ax+1,x∈(0,+∞), 当a=0时,h(x)=1>0,f′(x)>0, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, 当a>0时,函数h(x)的对称轴为x=﹣=﹣,且h(0)=1>0, 所以在(0,+∞)上,h(x)>0,f′(x)>0,f(x)单调递增, 当a<0时,函数h(x)的对称轴为x=﹣=﹣,且h(0)=1>0, 所以在(0,+∞)上h(x)单调递减,存在x0=使得h(x0)=0, 所以在(0,)上h(x)>0,f′(x)>0,f(x)单调递增, 在(,+∞)上h(x)<0,f′(x)<0,f(x)单调递减, 综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增, 当a<0时,f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上f(x)单调递减. (2)当a=2时,f(x)=lnx+2(x2+x), 要证f(x)<g(x)﹣, 则需证lnx+2(x2+x)<x3+5x﹣, 只需证lnx﹣x3+2x2﹣3x+<0, 令F(x)=lnx﹣x3+2x2﹣3x+, F′(x)=﹣3x2+4x﹣3=, 令h(x)=﹣3x3+4x2﹣3x+1, h′(x)=﹣9x2+8x﹣3, △=82﹣4×(﹣8)×(﹣3)=﹣32<0, 所以在(0,+∞)上,h′(x)<0,h(x)单调递减, 又因为h(0)=1,h()=>0,h()=﹣<0, 所以存在一个x1∈(,)使得h(x1)=0,即﹣3x13+4x12﹣3x1+1=0 所以在(0,x1)上h(x)>0,F′(x)>0,F(x)单调递增, 在(x1,+∞)上h(x)<0,F′(x)<0,F(x)单调递减, 所以F(x)max=F(x1)=lnx1﹣x13+2x12﹣3x1+=lnx1+x12﹣2x1+,x1∈(,) 令p(x)=lnx+x2﹣2x+,x∈(,) p′(x)=+x﹣2=, 令v(x)=4x2﹣6x+3,x∈(,) △=(﹣6)2﹣4×4×3=﹣12<0, 所以v(x)>0,p′(x)>0,p(x)单调递增, 所以p(x)<p()=ln()+×()2﹣2×()+=ln+<0, 所以F(x)max<0, 所以F(x)<0恒成立,即可得证. 展开更多...... 收起↑ 资源预览