2021年中考数学 二次函数之由线段交点,最值问题求参数的取值范围(word版含解析)

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2021年中考数学 二次函数之由线段交点,最值问题求参数的取值范围(word版含解析)

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例题1.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx﹣3a(a≠0)经过点A(﹣1,0).
(1)求抛物线的顶点坐标;(用含a的式子表示)
(2)已知点B(3,4),将点B向左平移3个单位长度,得到点C.若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.
变式训练1-1.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3a(a≠0)过点A(1,0).
(1)求抛物线的对称轴;
(2)直线y=﹣x+4与y轴交于点B,与该抛物线的对称轴交于点C,现将点B向左平移一个单位到点D,如果该抛物线与线段CD有交点,结合函数的图象,求a的取值范围.
例题2.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2﹣4ax+1(a>0).
(1)抛物线的对称轴为 
 ;
(2)若当1≤x≤5时,y的最小值是﹣1,求当1≤x≤5时,y的最大值;
(3)已知直线y=﹣x+3与抛物线y=ax2﹣4ax+1(a>0)存在两个交点,设左侧的交点为点P(x1,y1),当﹣2≤x1<﹣1时,求a的取值范围.
变式训练2-1.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,﹣4)和B(﹣2,2).
(1)求c的值,并用含a的式子表示b;
(2)当﹣2<x<0时,若二次函数满足y随x的增大而减小,求a的取值范围;
(3)直线AB上有一点C(m,5),将点C向右平移4个单位长度,得到点D,若抛物线与线段CD只有一个公共点,求a的取值范围.
变式训练2-2.在平面直角坐标系中,已知抛物线C:y=ax2+2x﹣1(a≠0)和直线l:y=kx+b,点A(﹣3,﹣3),B(1,﹣1)均在直线l上.
(1)若抛物线C与直线l有交点,求a的取值范围;
(2)当a=﹣1,二次函数y=ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时,函数y的最大值为﹣4,求m的值;
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点,请直接写出a的取值范围.
例题3.如图,抛物线W的图象与x轴交于A、O两点,顶点为点B(﹣1,﹣1).
(1)求抛物线W的表达式;
(2)将抛物线W绕点A旋转180°得到抛物线V,使抛物线V的顶点为E,试通过计算判断抛物线V是否过点B;
(3)在抛物线W或V的图象上是否存在点D,使S△EBD=S△EBO?若存在,请求出点D的坐标.
变式训练3-1.规定:当二次函数y=x2﹣mx﹣m﹣1与直线y=﹣2m有两个不同交点时(m为常数),将函数在直线上方的图象沿直线y=﹣2m翻折,翻折后的图象记为G1,函数在直线y=﹣2m及其下方的图象记为G2,G1和G2合起来组成图象G.
(1)当m=﹣1时,请直接写出图象G所对应的函数表达式.
(2)若点(﹣2,﹣2)在图象G上,求m的值;
(3)当m=﹣1时,若图象G所对应的函数的自变量满足﹣2≤x≤2,求函数值y的取值范围.
(4)当图象G所对应函数在﹣m﹣1≤x≤﹣m+3上函数值y随自变量x的增大,先增大后减小时,直接写出m的取值范围.
例题1.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx﹣3a(a≠0)经过点A(﹣1,0).
(1)求抛物线的顶点坐标;(用含a的式子表示)
(2)已知点B(3,4),将点B向左平移3个单位长度,得到点C.若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.
【分析】(1)根据抛物线y=ax2+bx﹣3a(a≠0)经过点A(﹣1,0),可以得到a和b的关系,然后将抛物线解析式化为顶点式,即可得到该抛物线的顶点坐标;
(2)根据题意可以得到点C的坐标,画出当a>0和a<0时的抛物线的图象,然后根据图象和题意,即可得到a的取值范围.
【解答】解:(1)∵点A(﹣1,0)在抛物线y=ax2+bx﹣3a(a≠0)上,
∴a﹣b﹣3a=0,
即b=﹣2a,
∴y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣1)2﹣4a,
∴抛物线的顶点坐标为(1,﹣4a);
(2)∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x2﹣2x﹣3)=a(x+1)(x﹣3),
∴抛物线与x轴交于点A(﹣1,0),D(3,0),与y轴交于点E(0,﹣3a).
由题意得,点C(0,4),
又∵B(3,4),
如图,当a>0时,显然,抛物线与线段BC无公共点,
当a<0时,
若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点坐标为(1,4),
∴﹣4a=4,
∴a=﹣1.
若抛物线的顶点不在线段BC上,由抛物线与线段BC恰有一个公共点,
得﹣3a>4,
∴,
综上,a的取值范围是,或a=﹣1.
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、坐标与图形变换﹣平移,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.
变式训练1-1.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3a(a≠0)过点A(1,0).
(1)求抛物线的对称轴;
(2)直线y=﹣x+4与y轴交于点B,与该抛物线的对称轴交于点C,现将点B向左平移一个单位到点D,如果该抛物线与线段CD有交点,结合函数的图象,求a的取值范围.
【分析】(1)根据坐标轴上点的坐标特征代入点A的坐标,得出b=﹣4a,则解析式为y=ax2﹣4ax+3a,进一步求得抛物线的对称轴;
(2)结合图形,分两种情况:①a>0;②a<0,进行讨论即可求解.
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3a(a≠0)过点A(1,0),
∴a+b+3a=0,∴b=﹣4a,
∴y=ax2﹣4ax+3a
∴对称轴为x=2;
(2)∵直线y=﹣x+4与y轴交于点B,
∴B(0,4),则点D(﹣1,4),
∵直线y=﹣x+4与x=2交于点C,
∴C(2,2),
①当a>0时,如图1,
过点D作y轴的平行线交抛物线于点H,
当x=﹣1时,y=ax2﹣4ax+3a=a+4a+3a=8a,故点H(1,8a),
如果该抛物线与线段CD有交点,则yH≥yD,
即8a≥4,解得:a;
②当a<0时,如图2,
设抛物线的顶点为H(1,﹣a),
如果该抛物线与线段CD有交点,则yH≥y,C,
即﹣a≥2,
解得:a≤﹣2;
综上,a的取值范围为:a≥或a≤﹣2.
【点评】本题考查了二次函数的性质以及解一元一次不等式,解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式,待定系数法求抛物线解析式.本题属于中档题,难度不大,但涉及知识点较多,需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题.
例题2.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2﹣4ax+1(a>0).
(1)抛物线的对称轴为 x=2 ;
(2)若当1≤x≤5时,y的最小值是﹣1,求当1≤x≤5时,y的最大值;
(3)已知直线y=﹣x+3与抛物线y=ax2﹣4ax+1(a>0)存在两个交点,设左侧的交点为点P(x1,y1),当﹣2≤x1<﹣1时,求a的取值范围.
【分析】(1)根据抛物线的对称轴公式即可得结论;
(2)根据抛物线的对称轴为x=2,可得顶点在1≤x≤5范围内,和y的最小值是﹣1,得顶点坐标为(2,﹣1),把顶点(2,﹣1)代入y=ax2﹣4ax+1,可得a的值,进而可得y的最大值;
(3)当x=﹣2时,P(﹣2,5),把P(﹣2,5)代入y=ax2﹣4ax+1,当x1=﹣1时,P(﹣1,4),把P(﹣1,4)代入y=ax2﹣4ax+1,分别求出a的值,再根据函数的性质即可得a的取值范围.
【解答】解:(1)抛物线的对称轴为:x=2,
故答案为:x=2;
(2)解:∵抛物线的对称轴为x=2,
∴顶点在1≤x≤5范围内,
∵y的最小值是﹣1,
∴顶点坐标为(2,﹣1).
∵a>0,开口向上,
∴当x>2时,y随x的增大而增大,
即x=5时,y有最大值,
∴把顶点(2,﹣1)代入y=ax2﹣4ax+1,
∴4a﹣8a+1=﹣1,
解得a=,
∴y=x2﹣2x+1,
∴当x=5时,y=,
即y的最大值是;
(3)当x=﹣2时,P(﹣2,5),
把P(﹣2,5)代入y=ax2﹣4ax+1,
∴4a+8a+1=5,
解得a=,
当x1=﹣1时,P(﹣1,4),
把P(﹣1,4)代入y=ax2﹣4ax+1,
∴a+4a+1=4,
解得a=,[]
∴≤a≤.
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值,解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质.
变式训练2-1.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,﹣4)和B(﹣2,2).
(1)求c的值,并用含a的式子表示b;
(2)当﹣2<x<0时,若二次函数满足y随x的增大而减小,求a的取值范围;
(3)直线AB上有一点C(m,5),将点C向右平移4个单位长度,得到点D,若抛物线与线段CD只有一个公共点,求a的取值范围.
【分析】(1)把点A(0,﹣4)和B(﹣2,2)分别代入y=ax2+bx+c,即可求解;
(2)当a<0时,依题意抛物线的对称轴需满足≤﹣2;当a>0时,依题意抛物线的对称轴需满足≥0,即可求解;
(3)①当a>0时,若抛物线与线段CD只有一个公共点,则抛物线上的点(1,3a﹣7)在D点的下方,即可求解;②当a<0时,若抛物线的顶点在线段CD上,则抛物线与线段只有一个公共点,即可求解.
【解答】解:(1)把点A(0,﹣4)和B(﹣2,2)分别代入y=ax2+bx+c中,得
c=﹣4,4a﹣2b+c=2.
∴b=2a﹣3;
(2)当a<0时,依题意抛物线的对称轴需满足≤﹣2,
解得≤a<0.
当a>0时,依题意抛物线的对称轴需满足≥0,
解得
0<a≤.
∴a的取值范围是≤a<0或0<a≤;
(3)设直线AB的表达式为:y=mx+n,则,解得:,
故直线AB表达式为y=﹣3x﹣4,把C(m,5)代入得m=﹣3.
∴C(﹣3,5),由平移得D(1,5).
①当a>0时,若抛物线与线段CD只有一个公共点(如图1),
y=ax2+bx+c=ax2+(2a﹣3)﹣4,当x=1时,y=3a﹣7,
则抛物线上的点(1,3a﹣7)在D点的下方,
∴a+2a﹣3﹣4<5.
解得a<4.
∴0<a<4;
②当a<0时,若抛物线的顶点在线段CD上,
则抛物线与线段只有一个公共点(如图2),
∴.即.
解得(舍去)或.
综上,a的取值范围是0<a<4或.
【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、解不等式等,解题的关键是通过画图确定抛物线图象与直线之间的位置关系,进而求解.
变式训练2-2.在平面直角坐标系中,已知抛物线C:y=ax2+2x﹣1(a≠0)和直线l:y=kx+b,点A(﹣3,﹣3),B(1,﹣1)均在直线l上.
(1)若抛物线C与直线l有交点,求a的取值范围;
(2)当a=﹣1,二次函数y=ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时,函数y的最大值为﹣4,求m的值;
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点,请直接写出a的取值范围.
【分析】(1)点A(﹣3,﹣3),B(1,﹣1)代入y=kx+b,求出y=x﹣;联立y=ax2+2x﹣1与y=x﹣,则有2ax2+3x+1=0,△=9﹣8a≥0即可求解;
(2)根据题意可得,y=﹣x2+2x﹣1,当y=﹣4时,有﹣x2+2x﹣1=﹣4,x=﹣1或x=3;①在x=1左侧,y随x的增大而增大,x=m+2=﹣1时,y有最大值﹣4,m=﹣3;
②在对称轴x=1右侧,y随x增大而减小,x=m=3时,y有最大值﹣4;
(3))①a<0时,x=1时,y≤﹣1,即a≤﹣2;
②a>0时,x=﹣3时,y≥﹣3,即a≥,直线AB的解析式为y=x﹣,抛物线与直线联立:ax2+2x﹣1=x﹣,△=﹣2a>0,则a<,即可求a的范围;
【解答】解:(1)点A(﹣3,﹣3),B(1,﹣1)代入y=kx+b,
∴,
∴,
∴y=x﹣;
联立y=ax2+2x﹣1与y=x﹣,则有2ax2+3x+1=0,
∵抛物线C与直线l有交点,
∴△=9﹣8a≥0,
∴a≤且a≠0;
(2)根据题意可得,y=﹣x2+2x﹣1,
∵a<0,
∴抛物线开口向下,对称轴x=1,
∵m≤x≤m+2时,y有最大值﹣4,
∴当y=﹣4时,有﹣x2+2x﹣1=﹣4,
∴x=﹣1或x=3,
①在x=1左侧,y随x的增大而增大,
∴x=m+2=﹣1时,y有最大值﹣4,
∴m=﹣3;
②在对称轴x=1右侧,y随x增大而减小,
∴x=m=3时,y有最大值﹣4;
综上所述:m=﹣3或m=3;
(3)①a<0时,x=1时,y≤﹣1,
即a≤﹣2;
②a>0时,x=﹣3时,y≥﹣3,
即a≥,
直线AB的解析式为y=x﹣,
抛物线与直线联立:ax2+2x﹣1=x﹣,
∴ax2+x+=0,
△=﹣2a>0,
∴a<,
∴a的取值范围为≤a<或a≤﹣2;
【点评】本题考查二次函数的图象及性质,一次函数的图象及性质;熟练掌握待定系数法求解析式,数形结合,分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键.
例题3.如图,抛物线W的图象与x轴交于A、O两点,顶点为点B(﹣1,﹣1).
(1)求抛物线W的表达式;
(2)将抛物线W绕点A旋转180°得到抛物线V,使抛物线V的顶点为E,试通过计算判断抛物线V是否过点B;
(3)在抛物线W或V的图象上是否存在点D,使S△EBD=S△EBO?若存在,请求出点D的坐标.
【分析】(1)把抛物线的解析式设成顶点式,代入原点坐标,便可求得解;
(2)根据对称性质求得E点坐标,再根据变化后的抛物线的形状和大小与原抛物线相同,开口方向相反,得新抛物线的解析式的二次项系数是原抛物线解析式的二次项系数的相反数,进而新抛物线的解析式,再验证是否经过B点便可;
(3)存在点D,过O点作BE的平行线,此平行线与抛物线W的另一交点便是D点,过(﹣4,0)作BE的平行线,此平行线与抛物线V的交点便是D点,求出这些交点的坐标便可.
【解答】解:(1)∵抛物线的顶点为B(﹣1,﹣1),
∴可设抛物线的解析式为y=a(x+1)2﹣1,
把O(0,0)代入,得0=a﹣1,
∴a=1,
∴抛物线的解析式为:y=(x+1)2﹣1;
(2)令y=0,有y=(x+1)2﹣1=0,
解得,x=0或﹣2,
∴A(﹣2,0),
∵将抛物线W绕点A旋转180°得到抛物线V,使抛物线V的顶点为E,B(﹣1,﹣1),
∴E(﹣3,1),
设抛物线V的解析式为:y=a'(x+3)2+1(a'≠0),
∵将抛物线W绕点A旋转180°得到抛物线V,抛物线W的解析式为:y=(x+1)2﹣1,
∴a'=﹣1,
∴抛物线V的解析式为:y=﹣(x+3)2+1,
当x=﹣1时,y=﹣4+1=﹣3≠﹣1,
∴抛物线V是不经过点B;
(3)设直线BE的解析式为:y=kx+b(k≠0),则

解得,,
∴直线BE的解析式为:y=﹣x﹣2,
过O作OD∥BE,与抛物线W交于D点,如图1,则S△OBE=S△DBE,
设OD的解析式为:y=﹣x+m,
把O(0,0)代入得,m=0,
∴OD的解析式为:y=﹣x,
联立方程组
解得,,或,
∴D(﹣3,3);
过抛物线V与x轴的交点F(﹣4,0)作FG∥BE,与抛物线V交于另一点G,如图2,
∵OA=AE=2,
∴S△OAE=S△AEF,S△OAB=S△ABF,
∴S△OBE=S△BEF=S△BEG,
设直线FG的解析式为:y=﹣x+n,
把F(﹣4,0)代入得n=﹣4,
∴直线FG的解析式为:y=﹣x﹣4,
联立方程组,
解得,,或,
∴G(﹣1,﹣3),
当D点与F或G重合时,S△EBD=S△EBO,
此时D(﹣4,0)或(﹣1,﹣3),
综上,在抛物线W或V的图象上存在点D,使S△EBD=S△EBO,D的坐标为(﹣3,3)或(﹣4,0)或(﹣1,﹣3).
【点评】本题是二次函数的综合题,主要考查了待定系数法,存在性问题,旋转的性质,等积三角形的面积,有一定的难度,第(3)题关键是根据夹在两平行线的等底三角形的面积相等,作平行线为辅助线.
变式训练3-1.规定:当二次函数y=x2﹣mx﹣m﹣1与直线y=﹣2m有两个不同交点时(m为常数),将函数在直线上方的图象沿直线y=﹣2m翻折,翻折后的图象记为G1,函数在直线y=﹣2m及其下方的图象记为G2,G1和G2合起来组成图象G.
(1)当m=﹣1时,请直接写出图象G所对应的函数表达式.
(2)若点(﹣2,﹣2)在图象G上,求m的值;
(3)当m=﹣1时,若图象G所对应的函数的自变量满足﹣2≤x≤2,求函数值y的取值范围.
(4)当图象G所对应函数在﹣m﹣1≤x≤﹣m+3上函数值y随自变量x的增大,先增大后减小时,直接写出m的取值范围.
【分析】(1)y=x2﹣mx﹣m﹣1=x2+x,顶点为:(﹣,﹣),由中点公式,则翻折后的图象顶点坐标为:(﹣,),即可求解;
(2)翻折后的顶点坐标为:(,m2﹣3m+1),故翻折后的图象表达式为:y′=﹣x2+mx﹣3m+1,即可求解;
(3)由(1)知,图象G所对应的函数表达式为:y=,当﹣2≤x≤1时,﹣≤y≤2,当1<x≤2时,﹣2≤y≤2,即可求解;
(4)①当m≥2时,x=1或m﹣1,故y=,当x在对称轴左侧时,在点A两侧,图象G所对应函数在﹣m﹣1≤x≤﹣m+3上函数值y随自变量x的增大,先增大后减小,故;当x在对称轴右侧时,在点B两侧,图象G所对应函数在﹣m﹣1≤x≤﹣m+3上函数值y随自变量x的增大,先增大后减小,即可求解;②当m<2时,同理可解.
【解答】解:(1)y=x2﹣mx﹣m﹣1=x2+x,顶点为:(﹣,﹣),
y=2,
x2+x=2,解得:x=1或﹣2,
由中点公式,则翻折后的图象顶点坐标为:(﹣,),
故翻折后的图象表达式为:y=﹣(x+)2+;
故图象G所对应的函数表达式为:y=;
(2)y=x2﹣mx﹣m﹣1,顶点坐标为:(,﹣m2﹣m﹣1),
由中点公式得,翻折后的顶点坐标为:(,m2﹣3m+1),
故翻折后的图象表达式为:y′=﹣(x﹣m)2+m2﹣3m+1=﹣x2+mx﹣3m+1,
当点(﹣2,﹣2)落在y′上时,将该点坐标代入上式并解得:m=﹣;
当点(﹣2,﹣2)落在y=x2﹣mx﹣m﹣1上时,同理可得:m=﹣5,
故m=﹣5或﹣;
(3)由(1)知,图象G所对应的函数表达式为:y=,
当﹣2≤x≤1时,﹣≤y≤2,
当1<x≤2时,﹣2≤y≤2,
故﹣2≤y≤2;
(4)由(2)知,翻折后的图象表达式为:y′=﹣x2+mx﹣3m+1,
联立y=x2﹣mx﹣m﹣1与直线y=﹣2m并解得:x=,
①当m≥2时,x=1或m﹣1,如下图,
故y=,
当x在对称轴左侧时,
在点A两侧图象G所对应函数在﹣m﹣1≤x≤﹣m+3上函数值y随自变量x的增大,先增大后减小,
故,解得:3≤m<4;
当x在对称轴右侧时,
在点B两侧图象G所对应函数在﹣m﹣1≤x≤﹣m+3上函数值y随自变量x的增大,先增大后减小,
即,解得:无解;
故:3≤m<4;
②当m<2时,x=m﹣1或1,
故y=,
当x在对称轴左侧时,
同理可得:,解得:无解;
当x在对称轴右侧时,
同理可得:,解得:﹣2<m≤﹣;
故:﹣2<m≤﹣.
综上,﹣2<m≤﹣或3≤m<4.
【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到解不等式、图形的翻折等,综合性很强,难度很大,其中(2)、(3)、(4)都要注意分类求解,避免遗漏.

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