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滕州市第一中学2020-2021学年高二下学期3月月考
数 学 试 卷 2021年3月30日

本试卷满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列求导运算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
函数在上是增函数 B．是函数的极小值点

D．
3．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知实数x、y满足，则（ ）
A． B． C． D．x、y大小不确定
5．函数的单调递减区间是(　　)
A． B． C． D．
6．已知，则为的导函数，则的图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．当时，，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若，使成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．设函数的导函数为，则（ ）
A． B．是的极值点
C．存在零点 D．在单调递增
10．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则以下说法正确的是（ ）
A．函数对称中心
B．的值是99
C．函数对称中心
D．的值是1
11．2018年世界著名的国际科技期刊《Nature》上有一篇名为《The Universal Decay of Collective Memory and Attention》的论文，该文以12个不同领域的数据指出双指数型函数在描绘人类行为时的普适作用.关于该函数下列说法中正确的有（ ）
A．当且时函数有零点
B．当且时函数有零点
C．当且时函数有极值
D．当且时函数有极值
12．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．存在唯一极值点，且
B．恰有3个零点
C．当时，函数与的图象有两个交点
D．若且，则
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13．函数的最小值是________．
14．曲线与直线相切，则______．
15．对于任意，当时，恒有成立，则实数的取值范围是___________.
16．函数，则不等式的解集为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
18．已知函数，其中，
（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式
（2）讨论函数的单调性
19．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.
（1）求函数的解析式；
（2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大.
20．已知函数,.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）当时，函数在上的最大值为，若存在，使得成立，求实数b的取值范围.
21．已知函数.
（1）若直线与曲线相切，求m的值；
（2）若函数有两个不同的极值点，求的取值范围.
22．已知函数.
（1）若有唯一零点，求的取值范围;
（2）若恒成立，求的取值范围.
滕州市第一中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学答案
1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．A 7．D 8．A
9．AD 10．BC 11．BC 12．ACD
13． 14．1 15． 16．
17．（1）因为函数，则
令，或
故函数在区间上单调递增；在区间和上单调递减
（2）由（1）可知函数在区间上单调递增；在上单调递减
所以函数的极大值也为最大值
两端点，，即最小值为
故函数在上的最大值和最小值分别为5和1
18．（1），由导数的几何意义得，于是，由切点在直线上得，解得，所以函数的解析式为
（2）
当时，显然，这时在上是增函数
当时，，解得
所以在，上是增函数，在，上是减函数.
19．（1）有题意可知，当时，，即，
解得， 所以.
（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则
，
，
令，得或（舍去），
所以当时，为增函数；
当时，为减函数，
故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点，
即时函数取得最大值.
所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.
20．（Ⅰ）当时，有得，由得所以曲线在点处的切线方程
（Ⅱ）
当时，解，得，解，得
所以函数的递增区间为，递减区间为
时，令得或
i）当时，

1


+ 0 - 0 +
增
减
增
函数的递增区间为，，递减区间为
ii）当时，
在上，在上
函数的递增区间为，递减区间为
综上：当时，函数的递增区间为，递减区间为
当时，函数的递增区间为和，递减区间为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上是增函数，在上是减函数，
所以， 存在，使
即存在，使，
整理得
从而有所以的取值范围是．
21．（1）由题意知，，
设直线与曲线相切于点所以
整理得，得；
（2），所以，
所以，是方程的两个根，
所以，
因为，所以，所以
，
令，
，则，时，，递减，所以，所以，所以在上单调递减，，从而的取值范围为.
22．（1）由有唯一零点，
可得方程，即有唯一实根，
令，则 由，得由 ，得
在上单调递增，在 上单调递减. ，
又所以当时， ;
又当时， 所以 或.
（2）恒成立，且 ，
恒成立，
令，则 ，
令，则 ，
在单调递减， 又，
由零点存在性定理知，存在唯一零点，使 即，
两边取对数可得即
由函数为单调增函数，可得，
所以当时，， ，当时，， ，
所以在上单调递增，在 上单调递减，
，
所以 即的取值范围为.
试卷第4 44页，总4 44页
答案第1 11页，总4 44页

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