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和平区2021届高三下学期第一次质量调查（一模）
数学试题
一?选择题
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 某校高三年级全体学生参加体育测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，，.若低于60分的人数是90，则该校高三年级的学生人数是（ ）
A. 270 B. 300 C. 330 D. 360
4. 函数在的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知正方体的棱长为2，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. 4 D. 6
7. 已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 设函数，给出下列结论：
①的最小正周期为；
②在区间内单调递增；
③将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
9. 已知，设函数，若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二?填空题
10. 设i是虚数单位，复数的虚部等于_________.
11. 在的展开式中，的系数是___________.
12. 已知直线与圆相交于，两点，则线段长度为___________.
13. 甲?乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲?乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是___________.
14. 已知，，则的最小值为___________.
15. 如图，四边形中，，，，，，，分别是线段，上的点，且，则的最大值为___________.
三?解答题
16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，.
（1）求的值；
（2）求；
（3）求值.
17. 如图，在四棱柱中，已知侧棱底面，侧面是正方形，与交于点，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若点在线段上，且，求二面角的正弦值.
18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过点的直线不与坐标轴垂直，直线与椭圆相交于点，，且线段的中点为，经过坐标原点作射线与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求直线的方程.
19. 已知等比数列的前项和为，是等差数列，，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设的前项和为，，.
①当是奇数时，求的最大值；
②求证：.
20. 已知函数，.
（1）当时，直线与相切于点，
①求的极值，并写出直线的方程；
②若对任意的都有，，求的最大值；
（2）若函数有且只有两个不同的零点，，求证：.
和平区2021届高三下学期第一次质量调查（一模）
数学试题 答案版
一?选择题
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
2. 设，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
3. 某校高三年级全体学生参加体育测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，，.若低于60分的人数是90，则该校高三年级的学生人数是（ ）
A. 270 B. 300 C. 330 D. 360
【答案】B
4. 函数在的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
5. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6. 已知正方体的棱长为2，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. 4 D. 6
【答案】B
7. 已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
8. 设函数，给出下列结论：
①的最小正周期为；
②在区间内单调递增；
③将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】A
9. 已知，设函数，若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
二?填空题
10. 设i是虚数单位，复数的虚部等于_________.
【答案】
11. 在的展开式中，的系数是___________.
【答案】-15
12. 已知直线与圆相交于，两点，则线段长度为___________.
【答案】
13. 甲?乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲?乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是___________.
【答案】
14. 已知，，则的最小值为___________.
【答案】2
15. 如图，四边形中，，，，，，，分别是线段，上的点，且，则的最大值为___________.
【答案】
三?解答题
16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，.
（1）求的值；
（2）求；
（3）求值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
17. 如图，在四棱柱中，已知侧棱底面，侧面是正方形，与交于点，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若点在线段上，且，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过点的直线不与坐标轴垂直，直线与椭圆相交于点，，且线段的中点为，经过坐标原点作射线与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
19. 已知等比数列的前项和为，是等差数列，，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设的前项和为，，.
①当是奇数时，求的最大值；
②求证：.
【答案】（1）的通项公式为，的通项公式为；（2）①最大值为；②证明见解析.
20. 已知函数，.
（1）当时，直线与相切于点，
①求的极值，并写出直线的方程；
②若对任意的都有，，求的最大值；
（2）若函数有且只有两个不同的零点，，求证：.
【答案】（1）①极小值为，没有极大值，线方程为；②最大值为；（2）证明见解析.

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