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红桥区2021届高三下学期3月质量调查
数学
一?选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. “成立”是“成立”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的图象大致是(?? )
A. B. C. D.
4. 某校对高三年级800名学生的数学成绩进行统计分析.全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照，，，，，，分组，整理得到如下频率分布直方图，则成绩在内的学生人数为（ ）
A. 200 B. 240 C. 360 D. 280
5. (2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A. 14斛 B. 22斛
C. 36斛 D. 66斛
6. 已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是
A. B. C. D.
8. 已知函数，，给出下列四个命题：
①函数最小正周期为；
②函数的最大值为1；
③函数在上单调递增；
④将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为．
其中正确命题个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 已知函数，，若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
10. i是虚数单位，则复数___________.
11. 的展开式中，项的系数为______.
12. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数________．
13. 2021年是中国共产党成立100周年.现有A，B两队参加建党100周年知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分；A队中每人答对的概率均为，B队中3人答对的概率分别为，，，且各答题人答题正确与否互不影响，若事件M表示“A队得2分”，事件N表示“B队得1分”，则___________.
14. 已知，，且，则最小值为__________．
15. 在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为_____________________.
三、解答题：本大题共5小题，共75分?解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
（1）求角B的大小；
（2）若，求值；
（3）若，，求边a的值.
17. 如图所示，直角梯形中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18. 如图，椭圆经过点，且离心率为.
(I)求椭圆的方程；
(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），
问：直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．
19. 已知数列的前n项和满足：，.
（1）求数列的前3项，，；
（2）求证：数列等比数列：
（3）求数列的前n项和.
20. 已知函数，.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数单调区间和极值；
（3）若对于任意，都有成立，求实数m的取值范围.
红桥区2021届高三下学期3月质量调查
数学 答案版
一?选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2. “成立”是“成立”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
3. 函数的图象大致是(?? )
A. B. C. D.
【答案】C
4. 某校对高三年级800名学生的数学成绩进行统计分析.全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照，，，，，，分组，整理得到如下频率分布直方图，则成绩在内的学生人数为（ ）
A. 200 B. 240 C. 360 D. 280
【答案】B
5. (2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A. 14斛 B. 22斛
C. 36斛 D. 66斛
【答案】B
6. 已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
7. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是
A. B. C. D.
【答案】A
8. 已知函数，，给出下列四个命题：
①函数最小正周期为；
②函数的最大值为1；
③函数在上单调递增；
④将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为．
其中正确命题个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
9. 已知函数，，若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
10. i是虚数单位，则复数___________.
【答案】
11. 的展开式中，项的系数为______.
【答案】
12. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数________．
【答案】
13. 2021年是中国共产党成立100周年.现有A，B两队参加建党100周年知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分；A队中每人答对的概率均为，B队中3人答对的概率分别为，，，且各答题人答题正确与否互不影响，若事件M表示“A队得2分”，事件N表示“B队得1分”，则___________.
【答案】
14. 已知，，且，则最小值为__________．
【答案】
15. 在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为_____________________.
【答案】
三、解答题：本大题共5小题，共75分?解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
（1）求角B的大小；
（2）若，求值；
（3）若，，求边a的值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
17. 如图所示，直角梯形中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
18. 如图，椭圆经过点，且离心率为.
(I)求椭圆的方程；
(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），
问：直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．
【答案】(1) (2)2
19. 已知数列的前n项和满足：，.
（1）求数列的前3项，，；
（2）求证：数列等比数列：
（3）求数列的前n项和.
【答案】（1），，；（2）证明见解析；
（3）.
20. 已知函数，.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数单调区间和极值；
（3）若对于任意，都有成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）单调减区间是，单调增区间是，极小值为，无极大值；（3）.

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