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2020学年杭州市4月二模
一、选择题：每小题4分，共4
0分
1.
已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2.
设复数满足（为虚数单位），则（
）
A．3
B．4
C．
D．10
3.
设，是非零向量，则“”是“函数为一次函数”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4.
某四棱锥的三视图（图中每个小方格的边长为）如图所示，则该四棱锥的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
5.
已知实数,满足，则（
）
A．有最小值2
B．有最大值3
C．有最小值1
D．有最大值2
6.
函数的图象大致是（
）
7.
已知，是双曲线
(,)的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
8.
已知数列满足，设数列的前n项和为，若，，则（
）
A．1008
B．1009
C．2016
D．2018
9.
已知函数．若函数与有相同的最小值，则a的
最大值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
10.
如图，长方形ABCD中，，，点E在线段AB（端点除外）上，现将沿DE折起为．设，二面角的大小为，若，则四棱锥体积的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分
11.
已知，则
；若，则
．
12.
已知的展开式中所有项的系数之和为16，则
，项的系数为
．
13.
设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，．若，，则
，的面积
．
14.
甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸得白球个数为．若，则
，
．
15.
已知x，y，z为正实数，且，则的最小值为
．
16.
已知，是单位向量，且．设，，，若为等腰直角三角形，则
．
17.
已知为抛物线的焦点，过作斜率为的直线和抛物线交于，两点，延长，交抛物线于，两点，直线的斜率为．若，则
．
三、解答题：5小题，共74分
18.
设函数．
（1）求的的单调增区间；
（2）若，，求的值．
19.
如图，在四棱锥中，△PBC为正三角形，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，，
，，点M，N分别在线段AD和PC上，且．
（1）求证：PM∥平面BDN；
（2）设二面角为．若，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
20.
已知数列，，满足，，，，成等差数列．
（1）证明：是等比数列；
（2）数列满足，记数列的前项和为，求．
21.
如图，已知抛物线在点A处的切线l与椭圆相交，过点A作l的垂线交抛物线于另一点B，直线OB（O为直角坐标原点）与l相交于点D，记，，且．
（1）求的最小值；
（2）求的取值范围．
22.
已知函数，．
（1）当时，求证：对任意，；
（2）若函数图像上不同两点P，Q到x轴的距离相等，设图像在点P，Q处切线交点为M，求证：对任意，点M在第二象限．020学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测
数学参考答案及评分标准
择题部分(共40分)
选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题
B
题部分(共110分)
填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分
4;1或
答题:(本大题共
分),解答应写出文字说
过程或演算步骤
本题满分14分
因为2k
解得kπ-≤X≤kπ
所以f(x)的单调递增区间(kπ
分
所以sinO
√3
分
6
本题满分15分
连接CM交BD
所以
所以EN
又以为EN
所以PM/平
分
取BC中点F,易知
所
所以A
立如图所示的空间直角坐标系
则A
则AP=(
设平面PBC法向量为
平
所成角
所以PA与平面PBC所成角的正弦值为
8分
(本题满分15分)
又因
等差数列,得
所以{b
匕数列
所以C
所以
分
1.(本题满分15分
(D)点A处切线1方程:y=2XX一X2,与椭圆C2方程
联
得(1+8×2
因为丨与椭圆C2相交
故方程判别式△=64×5-4(1+8×2)(2x
求得0方程为
2+,与抛物线方程y=x2联
所以
当且仅当x
X2取得
点O,B到直线的距离分别
所以|DB
因为
所以二2+4
4)
本题满分15分)
故
弟增
所以X>0时,h(x)>h(0)=0,不等式f(x)>g(×)得证
分
调知P,Q的纵坐标相反
故设
不妨
则点P处切线方程为
处切线方程为
联立两直线方
交点x
设一=t>0
证M在第二象限,即
要证X
)在
调递增
设
寸,h(x+1)
则有n>1时
所以对任意
点M在第二象

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