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冲刺中考数学压轴题真题专项训练
（三）解答题
1.【2020年浙江省衢州24．（12分）】【性质探究】
如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分，交于点．作于点，分别交，于点，．
（1）判断的形状并说明理由．
（2）求证：．
【迁移应用】
（3）记的面积为，的面积为，当时，求的值．
【拓展延伸】
（4）若交射线于点，【性质探究】中的其余条件不变，连结，当的面积为矩形面积的时，请直接写出的值．
【分析】（1）如图1中，是等腰三角形．利用全等三角形的性质证明即可．
（2）如图2中，过点作交于，则．首先证明，再证明即可解决问题．
（3）如图3中，过点作于，则，利用相似三角形的性质解决问题即可．
（4）设，．分两种情形：①如图4中，连接，当点在线段上时，点在上．②如图5中，当点在的延长线上时，点在线段上，连接．分别求解即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，是等腰三角形．
理由：平分，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）证明：如图2中，过点作交于，则．
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
．
（3）解：如图3中，过点作于，则，
，
，
，
，，
又，，
，设，，则，
．
（4）解：设，．
①如图4中，连接，当点在线段上时，点在上．
，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
由题意：，
，
即，
，
，
，，
．
②如图5中，当点在的延长线上时，点在线段上，连接．
，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
由题意：，
，
即，
，
，
，，
，
综上所述，的值为或．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
2.【2020年浙江省宁波市24．（14分）】定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示．
（2）如图2，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点，连结并延长交的延长线于点．求证：是中的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，，若是的直径．
①求的度数；
②若，，求的面积．
【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；
（2）由圆内接四边形的性质得出，得出，证得，证出，则是的外角平分线，可得出结论；
（3）①连接，由条件得出，则，得出，证明，由全等三角形的性质得出，则，得出，则可求出答案；
②过点作于点，过点作于点，证得，得出，求出，设，，则有，解得，求出，的长，求出，由等腰直角三角形的性质求出，根据三角形的面积公式可得出答案．
【解答】解：（1）平分，平分，
，
（2）如图1，延长到点，
四边形内接于，
，
又，
，
平分，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，，
，
，
是的外角平分线，
是中的遥望角．
（3）①如图2，连接，
是中的遥望角，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
②如图3，过点作于点，过点作于点，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
在中，，
设，，则有，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3.【2020年新疆生产建设兵团23．（13分）】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线的顶点是，将绕点顺时针旋转后得到，点恰好在抛物线上，与抛物线的对称轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是线段上一动点，且不与点，重合，过点作平行于轴的直线，与的边分别交于，两点，将以直线为对称轴翻折，得到△，设点的纵坐标为．
①当△在内部时，求的取值范围；
②是否存在点，使，若存在，求出满足条件的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）抛物线的顶点是，可以假设抛物线的解析式为，求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）①根据△在内部，构建不等式即可解决问题．
②求出直线，的解析式，求出，利用面积关系构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）抛物线的顶点是，
抛物线的解析式为，
绕点顺时针旋转后得到，
，
把代入可得，
抛物线的解析式为，即，
（2）①如图1中，
，
直线的解析式为，
，
，
，，
，
由题意，
．
②直线的解析式为，直线的解析式为，
，
，，，，
，
，
，
整理得
解得（舍弃）或，
当点在轴下方时，同法可得，
整理得：，
解得或（舍弃），不存在满足条件的点，
满足条件的的值为或．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会构建不等式或方程解决问题，属于中考压轴题．
4.【2020年天津市25．（10分）】已知点是抛物线，，为常数，，与轴的一个交点．
（Ⅰ）当，时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与轴的另一个交点为，与轴的交点为，过点作直线1平行于轴，是直线1上的动点，是轴上的动点，．
①当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求点的坐标；
②取的中点，当为何值时，的最小值是？
【解答】解：（Ⅰ）当，时，抛物线的解析式为．
抛物线经过点，
，
解得，
抛物线的解析式为．
，
抛物线的顶点坐标为．
（Ⅱ）①抛物线经过点和，，
，，即．
，．
抛物线的解析式为．
根据题意得，点，点，
过点作于点，由点，得点．
在中，，，
，
，
，
解得．
此时，点，点，有．
点在轴上，
在中，．
点的坐标为或．
②由是的中点，得．
根据题意，点在以点为圆心、为半径的圆上，
由点，点，得，，
在中，．
当，即时，满足条件的点在线段上．
的最小值为，解得；
当，即时，满足条件的点落在线段的延长线上，的最小值为，
解得．
当的值为或时，的最小值是．
5.【2020年贵州省安顺市】25．（12分）如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．
（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是　　，位置关系是　　；
（2）问题探究：如图②，△是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，△是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．
【解答】解：（1）点为对角线的中点，
，，
为的中点，为的中点，
，，
，；
故答案为：，．
（2）的形状是等腰直角三角形．理由如下：
连接并延长交于点，
四边形是正方形，
，，
将绕点按顺时针方向旋转得到△，
△是等腰直角三角形，，，
，，
又点是的中点，
，
△，
，，
，
，
△为等腰直角三角形．
，，
也为等腰直角三角形．
又点为的中点，
，且，
的形状是等腰直角三角形；
（3）延长交边于点，连接，．
四边形是正方形，是对角线，
，
由旋转得，四边形是矩形，
，，
为等腰直角三角形．
点是的中点，
，，，
△，
，，
，
，
△为等腰直角三角形，
点是的中点，
，，
，
，
，
．
．
6.【2020年贵州省黔东南州26．（14分）】已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在轴上找一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标．
（3）点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点、坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点坐标代入求解，即可得出结论；
（2）先求出点，坐标，设出点坐标，表示出，，，再分三种情况建立方程求解即可；
（3）利用平移先确定出点的纵坐标，代入抛物线解析式求出点的横坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入抛物线中，得，
，
抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为，
令，则，
或，
，，
令，则，
，
，
设点，则，，
是等腰三角形，
①当时，，
或（点的纵坐标，舍去），
，
②当时，，
，
或，
③当时，，
，
，
即满足条件的点的坐标为、、、；
（3）如图，存在，，
将线段向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点的对应点落在抛物线上，这样便存在点，此时点的对应点就是点，
点的纵坐标为4，
设，
将点的坐标代入抛物线中得，，
或，
，或，，
分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，
抛物线与轴的右边的交点的坐标为，且，
，
点的横坐标为或，
即，、，或，、，．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，平移的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
7.【2020年黑龙江省大兴安岭地区24．（14分）】综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为　y＝x+4　，点M的坐标为　（﹣2，﹣2）　，cos∠ABO＝　　；
连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为　（﹣2，2）或（0，4）　；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故直线AB的表达式为：yx2+2x；
（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+4；
则∠ABO＝45°，故cos∠ABO；
对于yx2+2x，函数的对称轴为x＝﹣2，故点M（﹣2，﹣2）；
OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则APAC或AC，
则，即，解得：yP＝2或4，
故点P（﹣2，2）或（0，4）；
故答案为：y＝x+4；（﹣2，﹣2）；；（﹣2，2）或（0，4）；
（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，
点A′（4，0），
设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
故直线A′M的表达式为：yx，
令x＝0，则y，故点Q（0，）；
（4）存在，理由：
设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），
①当AC是边时，
点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），
即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，
故点N（6，6）或（﹣6，﹣6）；
②当AC是对角线时，
由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，
解得：m＝﹣2，n＝6，
故点N（﹣2，6）；
综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．
8.
【2020年黑龙江省鸡西市28．（10分）】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒．
（1）线段　　；
（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）长是的根，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，，
，，
，
故答案为：．
（2）如图，过点作于，
，
，
，
，，
，
当时，的面积；
当时，点与点重合，，
当时，的面积；
（3）如图，过点作于，
当时，
，
，
或，
或，
当时，
，，
，，
点，，
当时，
同理可求点，，
当时，
，
，
或24（不合题意舍去），
，
点，，
综上所述：点坐标为，或，．
9.【2020年江苏省连云港市27．（12分）】（1）如图1，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则　12　；
（2）如图2，点为内一点（点不在上），点、、、分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；
（3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；
（4）如图4，点、、、把四等分．请你在圆内选一点（点不在、上），设、、围成的封闭图形的面积为，、、围成的封闭图形的面积为，的面积为，的面积为，根据你选的点的位置，直接写出一个含有、、、的等式（写出一种情况即可）．
【解答】解：（1）如图1中，
过点作于，交于．
四边形是矩形，，
四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，，，
，
，
，
故答案为12．
（2）如图2中，连接，，
在中，点是的中点，
可设，同理，，，，
，，
，
，
．
（3）如图3中，由题意四边形，四边形都是平行四边形，
，，
，
．
（4）如图中，结论：．
理由：设线段，线段，弧围成的封闭图形的面积为，线段，线段，弧的封闭图形的面积为．
由题意：，
，
，
．
同法可证：图中，有结论：．
图中和图中，有结论：．
日期
10.
【2020年山东省滨州市26．（14分）】如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，点为其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线是过点且垂直于轴的定直线，若抛物线上的任意一点到直线的距离为，求证：；
（3）已知坐标平面内的点，请在抛物线上找一点，使的周长最小，并求此时周长的最小值及点的坐标．
【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点，可以假设抛物线的解析式为，
抛物线经过，
，
，
抛物线的解析式为．
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，，
，
．
（3）如图，过点作直线于，过点作直线于．
的周长，是定值，
的值最小时，的周长最小，
，
，
根据垂线段最短可知，当，，共线时，的值最小，此时点与重合，点在线段上，
的最小值为6，
的周长的最小值为，此时．
11.
【2020年四川省乐山市25．（12分）】点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是　　；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．
【解答】解：（1）四边形是平行四边形，
，
又，，
，
，
故答案为：；
（2）补全图形如图所示，
结论仍然成立，
理由如下：
延长交于点，
，，
，
，
点为的中点，
，
又，
，
，
，
；
（4）点在线段的延长线上运动时，线段、、之间的关系为，
证明如下：如图，延长交的延长线于点，
由（2）可知，
，，
又，，
，
．
12.【2020年四川省乐山市26．（13分）】已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；
②连结，求的最小值．
【解答】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，
，
又，
，
即，
代入抛物线的解析式，得，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）①设，其中，
设直线的解析式为，
，
解得
即直线的解析式为，
令，得：，
点，，
把
代入，得，
即，
，
的面积，
当时，的面积最大，且最大值为；
②如图，连接，根据图形的对称性可知，，
，
过点作于，则在中，，
，
过点作于点，则，
线段的长就是的最小值，
，
又，
，
即，
的最小值为．
13.
【2020年浙江省舟山市23．（10分）】在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图，其中，，，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片沿方向平移，连结，（如图，当点与点重合时停止平移．
【思考】图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由．
【发现】当纸片平移到某一位置时，小兵发现四边形为矩形（如图．求的长．
活动二：在图3中，取的中点，再将纸片绕点顺时针方向旋转度，连结，（如图．
【探究】当平分时，探究与的数量关系，并说明理由．
【分析】【思考】
由全等三角形的性质得出，，则，可得出结论；
【发现】
连接交于点，设，则，得出，由勾股定理可得，解方程求出，则可求出；
【探究】
如图2，延长交于点，证明，得出，，则，可证得，得出，则结论得证．
【解答】解：【思考】四边形是平行四边形．
证明：如图，，
，，
，
四边形是平行四边形；
【发现】如图1，连接交于点，
四边形为矩形，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
．
【探究】，
证明：如图2，延长交于点，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，，
，
，
．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
14.
【2020年浙江省舟山市24．（12分）】在篮球比赛中，东东投出的球在点处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当球运动到点时被东东抢到，轴于点，．
①求的长．
②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点．东东起跳后所持球离地面高度（传球前）与东东起跳后时间满足函数关系式；小戴在点处拦截，他比东东晚垂直起跳，其拦截高度与东东起跳后时间的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．
【分析】（1）设，将代入求解即可得出答案；
（2）①把代入，解方程求出，即可得出；
②东东在点跳起传球与小戴在点处拦截的示意图如图2，设，，当点，，三点共线时，过点作于点，交于点，过点作于点，证明，得出，则．分不同情况：（Ⅰ）当时，（Ⅱ）当时，（Ⅲ）当时，分别求出的范围可得出答案．
【解答】解：（1）设，
把，代入，解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）①把代入，
化简得，
解得（舍去），，
．
②东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点．
由图1可得，当时，．
当时，．
当时，，
东东在点跳起传球与小戴在点处拦截的示意图如图2，
设，，
当点，，三点共线时，过点作于点，交于点，过点作于点，
，，
，，
，
，
，，
．
（Ⅰ）当时，
，
．
，
整理得，
解得（舍去），，
当时，随的增大而增大，
．
（Ⅱ）当时，，
，
，
整理得，
解得，（舍去），，
当时，随的增大而减小，
．
（Ⅲ）当时，，不可能．
给上所述，东东在起跳后传球的时间范围为．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查二次函数的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及能将实际问题转化为二次函数问题求解．
15.
【2020年山东省泰安市25．（13分）】若一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，点的坐标为，二次函数的图象过，，三点，如图（1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上轴左侧），若恰好平分．求直线的表达式；
（3）如图（2），若点在抛物线上（点在轴右侧），连接交于点，连接，．
①当时，求点的坐标；
②求的最大值．
【解答】解：（1）一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，则点、的坐标分别为、，
将点、、的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：；
（2）设直线交轴于点，
从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为，
轴交抛物线于点，故点，
由点、的坐标知，直线与的夹角为，即，
恰好平分，故，
而，
故，
，故，故点，
设直线的表达式为：，则，解得，
故直线的表达式为：；
（3）过点作轴交于点，
则，则，
而，则，解得：，
①当时，则，
设点，
由点、的坐标知，直线的表达式为：，当时，，故点，
故，
解得：或2，故点或；
②，
，故的最大值为．
16.
【2020年贵州省遵义市24．（14分）】如图，抛物线经过点和点与轴的另一交点为点，点是直线上一动点，过点作轴，交抛物线于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点，使得是等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，求出的半径．
【分析】（1）把点和点
代入求出与的值即可得出抛物线的解析式；
（2）①当点在轴右边时，假设为等边三角形，过点作于，，则，，求出，，把代入，得，则假设不成立；
②当点在轴的左边时，假设为等边三角形，过点作于，，则，，求出，，把代入，得，则假设不成立；
（3）求出，待定系数法得出直线的解析式，当在线段上，与轴相切时，延长交于点，则点为与轴的切点，即，设，，则，，由，求出，即可得出结果；当在线段上，与轴相切时，延长交于点，过点作轴于，则点为与轴的切点，即，，设，，则，，代入即可得出结果；当在延长线，与轴相切时，点与重合，的纵坐标的值即为所求；当在延长线，与轴相切时，延长交轴于，过点作轴于，则点为与轴的切点，即，，设，，则，，代入即可得出结果．
【解答】解：（1）把点和点
代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）不存在，理由如下：
①当点在轴右边时，如图1所示：
假设为等边三角形，
过点作于，
点
，
，
则，，
，
，，
把代入，
得：，
假设不成立，
当点在轴右边时，不存在为等边三角形；
②当点在轴的左边时，如图2所示：
假设为等边三角形，
过点作于，
点
，
，
则，，
，
，，
把代入，
得：，
假设不成立，
当点在轴左边时，不存在为等边三角形；
综上所述，在抛物线上不存在一点，使得是等边三角形；
（3）令，
解得：，，
，
设直线的解析式为：，
把、的坐标代入则，
解得：，
直线的解析式为：，
当在线段上，与轴相切时，如图3所示：
延长交于点，
则点为与轴的切点，即，
设，，
则，，
，
解得：，（不合题意舍去），
的半径为：；
当在线段上，与轴相切时，如图4所示：
延长交于点，过点作轴于，
则点为与轴的切点，即，，
设，，
则，，
，
解得：，（不合题意舍去），
的半径为：；
当在延长线，与轴相切时，如图5所示：
点与重合，
的横坐标为，
的半径为：的纵坐标的值，
即：；
当在延长线，与轴相切时，如图6所示：
延长交轴于，过点作轴于，
则点为与轴的切点，即，，
设，，
则，，
，
解得：，（不合题意舍去），
的半径为：；
综上所述，的半径为或或或．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、等边三角形的性质、圆的性质、三角函数等知识；熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
17.
【2020年浙江省绍兴市24．（14分）】如图1，矩形中，，，中，，，，的延长线相交于点，且，，．将绕点逆时针旋转得到△．
（1）当时，求点到直线的距离．
（2）在图1中，取的中点，连结，如图2．
①当与矩形的一条边平行时，求点到直线的距离．
②当线段与矩形的边有且只有一个交点时，求该交点到直线的距离的取值范围．
【分析】（1）如图1中，过点作于．解直角三角形求出即可．
（2）①分两种情形：如图2中，当时，过点作于．如图3中，当时，过点作于．分别求出，即可．
②设为所求的距离．第一种情形：如图4中，当点落在上时，连接，延长交于．如图5中，当点落在上时，连接，过点作于．结合图象可得结论．
第二种情形：当与相交，不与相交时，当点在上时，，即，如图6中，当点落在上时，设交于，过点作于，过点作交于，连接．求出可得结论．
第三种情形：当经过点时，如图7中，显然．综上所述可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，
过点作于．
，
，
点到直线的距离为．
（2）①如图2中，当时，过点作于．
，
，
△是等腰直角三角形，
，
，
点到直线的距离为．
如图3中，当时，过点作于．
同法可证△是等腰直角三角形，
，
点到直线的距离为．
②设为所求的距离．
第一种情形：如图4中，当点落在上时，连接，延长交于．
，，，
，
，即，
如图5中，当点落在上时，连接，过点作于．
，，
，
，
，
，
．
第二种情形：当与相交，不与相交时，当点在上时，，即，
如图6中，当点落在上时，设交于，过点作于，过点作交于，连接．
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
△△，
，
，
，
，即
，
第三种情形：当经过点时，如图7中，显然．
综上所述，或．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
18.
【2020年黑龙江省绥化市29．（10分）】如图1，抛物线与抛物线相交轴于点，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），直线交轴负半轴于点，交轴于点，且．
（1）求抛物线的解析式与的值；
（2）抛物线的对称轴交轴于点，连接，在轴上方的对称轴上找一点，使以点，，为顶点的三角形与相似，求出的长；
（3）如图2，过抛物线上的动点作轴于点，交直线于点，若点是点关于直线的对称点，是否存在点（不与点重合），使点落在轴上？若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当时，得，
，
把代入得，，
，
，
，
，
把代入中，得，
解得，；
抛物线的解析式为，的值为．
（2）连接，如图1，
令，得，
解得，或4，
，，
对称轴为：，
，，
，，，，
①当时，
，即，
，
②当时，
，即，
，
综上，或10；
（3）点的横坐标为或或或．
如图，点是点关于直线的对称点，且点在轴上时，由轴对称性质可知，，，，
轴，
轴，
，
，
，
，
四边形为菱形，
，
作轴于点，设，则，
，，
，
，
在中，，
，
．
解得，，，．
经检验，，，，都是所列方程的解．
综合以上可得，点的横坐标为或或或．
19.
【2020年浙江省温州市24．（14分）】如图，在四边形中，，，分别平分，，并交线段，于点，（点，不重合）．在线段上取点，（点在之间），使．当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点．记，，已知，当为中点时，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）求，的长．
（3）若．
①当时，通过计算比较与的大小关系．
②连结，当所在直线经过四边形的一个顶点时，求所有满足条件的的值．
【分析】（1）推出，即可得出；
（2）求出，，把代入，解得，即，得出，由，，得出，，即可得出结果；
（3）连接并延长交于点，易证四边形是平行四边形，得出，求出，，，得出，，，，由勾股定理得，，当时，求出，即可得出；
②（Ⅰ）当经过点时，，则；
（Ⅱ）当经过点时，由，得出，则，即可求出；
（Ⅲ）当经过点时，由，得出，则，求出，，即可得出，由图可知，不可能过点．
【解答】解：（1）与的位置关系为：，理由如下：
如图1所示：
，
，
、分别平分、，
，，
，
，
，
；
（2）令，得，
，
令，得，
，
把代入，
解得：，即，
，
是中点，
，
，
，
解得：，
，
；
（3）①连接并延长交于点，如图2所示：
，，
四边形是平行四边形，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
当时，，
解得：，
，
，
；
②（Ⅰ）当经过点时，如图3所示：
，
则；
（Ⅱ）当经过点时，如图4所示：
，，，
，
，
，
，
，
，
解得：；
（Ⅲ）当经过点时，如图5所示：
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
解得：，
由图可知，不可能过点；
综上所述，当或或时，所在的直线经过四边形的一个顶点．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20.【2020年山东省聊城市25．（12分）】如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．
（1）求出二次函数和所在直线的表达式；
（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标；
（3）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点，，代入，
得：，
解得：，
二次函数的表达式为：，
当时，，
，
设所在直线的表达式为：，
将、代入，
得：，
解得：，
所在直线的表达式为：；
（2）轴，轴，
，
只要，四边形即为平行四边形，
，
点的坐标为：，，
将代入，即，
点的坐标为：，，
，
设点的横坐标为，
则的坐标为：，的坐标为：，
，
由得：，
解得：（不合题意舍去），，
当时，，
点的坐标为，；
（3）存在，理由如下：
如图2所示：
由（2）得：，
，
又与有共同的顶点，且在的内部，
，
只有时，，
，
、，，
，
由（2）得：，，的坐标为：，
，
，
，
，
解得：，
当时，，
点的坐标为：，．
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冲刺中考数学压轴题真题专项训练
（三）解答题
1.【2020年浙江省衢州24．（12分）】【性质探究】
如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分，交于点．作于点，分别交，于点，．
（1）判断的形状并说明理由．
（2）求证：．
【迁移应用】
（3）记的面积为，的面积为，当时，求的值．
【拓展延伸】
（4）若交射线于点，【性质探究】中的其余条件不变，连结，当的面积为矩形面积的时，请直接写出的值．
2.【2020年浙江省宁波市24．（14分）】定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示．
（2）如图2，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点，连结并延长交的延长线于点．求证：是中的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，，若是的直径．
①求的度数；
②若，，求的面积．
3.【2020年新疆生产建设兵团23．（13分）】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线的顶点是，将绕点顺时针旋转后得到，点恰好在抛物线上，与抛物线的对称轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是线段上一动点，且不与点，重合，过点作平行于轴的直线，与的边分别交于，两点，将以直线为对称轴翻折，得到△，设点的纵坐标为．
①当△在内部时，求的取值范围；
②是否存在点，使，若存在，求出满足条件的值；若不存在，请说明理由．
4.【2020年天津市25．（10分）】已知点是抛物线，，为常数，，与轴的一个交点．
（Ⅰ）当，时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与轴的另一个交点为，与轴的交点为，过点作直线1平行于轴，是直线1上的动点，是轴上的动点，．
①当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求点的坐标；
②取的中点，当为何值时，的最小值是？
5.【2020年贵州省安顺市】25．（12分）如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．
（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是　　，位置关系是　　；
（2）问题探究：如图②，△是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，△是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．
6.【2020年贵州省黔东南州26．（14分）】已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在轴上找一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标．
（3）点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点、坐标；若不存在，请说明理由．
7.【2020年黑龙江省大兴安岭地区24．（14分）】综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为　　，点M的坐标为　　，cos∠ABO＝　；
连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为　
　；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
8.
【2020年黑龙江省鸡西市28．（10分）】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒．
（1）线段　　；
（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．
9.【2020年江苏省连云港市27．（12分）】（1）如图1，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则　　；
（2）如图2，点为内一点（点不在上），点、、、分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；
（3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；
（4）如图4，点、、、把四等分．请你在圆内选一点（点不在、上），设、、围成的封闭图形的面积为，、、围成的封闭图形的面积为，的面积为，的面积为，根据你选的点的位置，直接写出一个含有、、、的等式（写出一种情况即可）．
10.
【2020年山东省滨州市26．（14分）】如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，点为其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线是过点且垂直于轴的定直线，若抛物线上的任意一点到直线的距离为，求证：；
（3）已知坐标平面内的点，请在抛物线上找一点，使的周长最小，并求此时周长的最小值及点的坐标．
11.
【2020年四川省乐山市25．（12分）】点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是　　；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．
12.【2020年四川省乐山市26．（13分）】已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；
②连结，求的最小值．
13.
【2020年浙江省舟山市23．（10分）】在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图，其中，，，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片沿方向平移，连结，（如图，当点与点重合时停止平移．
【思考】图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由．
【发现】当纸片平移到某一位置时，小兵发现四边形为矩形（如图．求的长．
活动二：在图3中，取的中点，再将纸片绕点顺时针方向旋转度，连结，（如图．
【探究】当平分时，探究与的数量关系，并说明理由．
14.
【2020年浙江省舟山市24．（12分）】在篮球比赛中，东东投出的球在点处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当球运动到点时被东东抢到，轴于点，．
①求的长．
②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点．东东起跳后所持球离地面高度（传球前）与东东起跳后时间满足函数关系式；小戴在点处拦截，他比东东晚垂直起跳，其拦截高度与东东起跳后时间的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．
15.
【2020年山东省泰安市25．（13分）】若一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，点的坐标为，二次函数的图象过，，三点，如图（1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上轴左侧），若恰好平分．求直线的表达式；
（3）如图（2），若点在抛物线上（点在轴右侧），连接交于点，连接，．
①当时，求点的坐标；
②求的最大值．
16.
【2020年贵州省遵义市24．（14分）】如图，抛物线经过点和点与轴的另一交点为点，点是直线上一动点，过点作轴，交抛物线于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点，使得是等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，求出的半径．
17.
【2020年浙江省绍兴市24．（14分）】如图1，矩形中，，，中，，，，的延长线相交于点，且，，．将绕点逆时针旋转得到△．
（1）当时，求点到直线的距离．
（2）在图1中，取的中点，连结，如图2．
①当与矩形的一条边平行时，求点到直线的距离．
②当线段与矩形的边有且只有一个交点时，求该交点到直线的距离的取值范围．
18.
【2020年黑龙江省绥化市29．（10分）】如图1，抛物线与抛物线相交轴于点，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），直线交轴负半轴于点，交轴于点，且．
（1）求抛物线的解析式与的值；
（2）抛物线的对称轴交轴于点，连接，在轴上方的对称轴上找一点，使以点，，为顶点的三角形与相似，求出的长；
（3）如图2，过抛物线上的动点作轴于点，交直线于点，若点是点关于直线的对称点，是否存在点（不与点重合），使点落在轴上？若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
19.
【2020年浙江省温州市24．（14分）】如图，在四边形中，，，分别平分，，并交线段，于点，（点，不重合）．在线段上取点，（点在之间），使．当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点．记，，已知，当为中点时，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）求，的长．
（3）若．
①当时，通过计算比较与的大小关系．
②连结，当所在直线经过四边形的一个顶点时，求所有满足条件的的值．
20.【2020年山东省聊城市25．（12分）】如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．
（1）求出二次函数和所在直线的表达式；
（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标；
（3）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
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