资源简介 西庄中学2020-2021学年度第二学期第一次质量检测试卷 高二数学试题(理科) 第I卷(选择题) 一、单选题(每题5分,共60分) 1.数列false的前n项和false,而false,通过计算false猜想 false( ) A.false B.false C.false D.false 2.已知false的边长分别为false、false、false,false的面积为false,内切圆半径为false,则false,类比这一结论可知:若三棱锥false的四个面的面积分别为false、false、false、false,内切球半径为false,三棱锥false的体积为false,则false( ) A.false B.false C.false D.false 3.命题:“对于任意角,”的证明过程:“ ”应用了( ) A.分析法 B.综合法 C.综合法与分析法结合使用 D.演绎法 4.“分析法”的原理是“执果索因”,若用分析法证明:false,所索的“因”是( ) A.false B.false C.false D.false 5.利用反证法证明“若false,则a,b,c中至少有一个数不小于1”正确的假设为( ) A.a,b,c中都小于1 B.a,b,c中至多有一个数小于1 C.a,b,c中至少有一个数大于1 D.a,b,c中至多有一个数大于1 6.用数学归纳法证明false,则当false时左端应false的基础上加上( ) A.false B.false C.false D.false 7.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移s与时间t的关系是false,那么速度为零的时刻是( ) A.3秒末 B.1秒末 C.2秒末 D.2秒末或3秒末 8.若函数false的图象在false处的切线与直线false垂直,则false的值为( ) A.2或false B.1 C.2 D.1或false 9.已知函数false,那么false( ) A.false B.false C.false D.2 10.函数f (x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上是( ) A.先增后减 B.减函数 C.增函数 D.不确定 11.函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有极大值又有极小值,则a的取值范围是( ) A.(-1,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) 12.定积分false的值为( ) A.false B.false C.false D.false 第II卷(非选择题) 二、填空题(每题5分,共25分) 13.观察下列式子:false 根据以上式子可以猜想:false _________. 14.设false为可导函数,且满足false,则曲线false在点false处的切线的斜率是______. 15.已知函数false的导函数为false,且满足关系式false,则false的值等于_______. 16.函数false在区间false上的最大值是___________. 17.甲、乙、丙、丁四位老师分别担任语文、数学、英语、物理四门课的教学,甲不是语文和英语老师,乙是数学老师,丙不是语文老师,则英语老师是_______ 三、解答题(每题13分,共65分) 18.已知函数false,数列false对于false,总有false,false. (1)求false,false,false的值,并猜想数列false的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的猜想. 19.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程. 20.已知函数false,其中false. (Ⅰ)若曲线false在false处的切线与直线false平行,求实数false的值; (Ⅱ)讨论函数false的单调性; 21.(1)设false,用综合法证明:false. (2)利用分析法证明:false; 22.已知函数false,false,false. (1)求false的最小值; (2)若false在false上恒成立,求false的值。 参考答案 1.C 【分析】 利用数列false的前n项和false,false,代入即可计算false,从而可以猜想false 【详解】 因为数列false的前n项和false,false false,即false,解得:false 又false,即false,解得:false 又false,即false,解得:false false false 2.A 【分析】 由三角形类比三棱锥,则三角形的面积类比三棱锥的体积,由内切圆类比内切球,可得出结论. 【详解】 false的边长分别为false、false、false,false的面积为false,内切圆半径为false, 由等面积法可得false,false. 类比这个结论: 三棱锥false的四个面的面积分别为false、false、false、false,内切球半径为false,三棱锥false的体积为false, 由等体积法可得false,false. 3.B 【解析】 解:综合法的基本思路是“由因导果”,由已知走向求证,即从已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到特征结论.故本题证明的过程应用了综合法. 本题选择B选项. 4.D 【分析】 利用分析法对false分析即可得答案 【详解】 要证false, 只要证false, 即证false,即证false.故求所索的“因”是false. 故选:D. 5.A 【分析】 否定原命题的结论可得结果. 【详解】 “若false,则a,b,c中至少有一个数不小于1”的否定为:a,b,c都小于1, 6.D 【分析】 由数学归纳法,根据false和false时,等号的左端分别是从1开始连续的正整数加到false和false求解. 【详解】 因为当false时,等号的左端为false 当false时,等号的左端为false 所以增加了false, 故选:D 7.D 【分析】 求出导数false,然后解方程false可得. 【详解】 ∵false,∴false. 令false,得false,解得false或false. 故选:D. 8.D 【分析】 由两线垂直可知false处切线的斜率为3,利用导数的几何意义有false,即可求false的值. 【详解】 由题意知:直线false的斜率为false,则在false处切线的斜率为3, 又∵false,即false, ∴false或false, 故选:D. 9.A 【分析】 求出函数的导数后,代入运算即可得解. 【详解】 由题意,false, 所以false. 故选:A. 10.C 【分析】 由题设得f ′(x)=2-cos x,即可判断false在区间上的符号,进而确定false的单调性. 【详解】 ∵由f (x)=2x-sin x,知:f ′(x)=2-cos x,且在(-∞,+∞)上false恒成立, ∴f (x)在(-∞,+∞)上为增函数. 11.D 【分析】 函数false有极大值又有极小值,可知:false有两个不相等是实数根,因此△false,解出即可. 【详解】 解:因为false 所以false, false函数false有极大值又有极小值, false有两个不相等是实数根, falsefalse, 化为false, 解得false或false. 则false的取值范围是false,false,false. 故选:false. 12.B 【分析】 用定积分公式即可. 【详解】 false. 13.false 【分析】 确定不等式左边各式的分子为1,分母是自然数的平方和,右边分母与最后一项的分母相同,分子是以3为首项,2为公差的等差数列,即可得结论 【详解】 解:由已知的式子:false false 故可得false, 故答案为:false 14.false 解:因为false, 所以false,所以false, 所以false, 所以曲线false在点false处的切线的斜率为false, 故答案为:false 15.false 【详解】 解:由false,得false, 令false,则false,解得false, 故答案为:false 16.false 【详解】 false,false, 当false时,false,此时函数false单调递增, 当false时,false,此时函数false单调递减. 所以,false. 故答案为:false. 17.丙 【分析】 利用推理判断. 【详解】 因为甲不是语文和英语老师, 所以甲是数学老师或物理老师, 因为乙是数学老师, 所以甲是物理老师, 则丙是语文老师或英语老师, 又因为丙不是语文老师, 则丙是英语老师, 故答案为:丙 18.(1)false,false,false,false(2)见证明 【解析】 【分析】 (1) 计算得到false,false,false,猜想false. (2)利用数学归纳法验证,假设,推导的顺序证明猜想. 【详解】 (1)解:由false,得false, 因为false,所以false,false,false, 猜想false. (2)证明:用数学归纳法证明如下: ①当false时,false,猜想成立; ②假设当false时猜想成立,即false, 则当false时,false, 所以当false时猜想也成立. 由①②知,对false,false都成立. 【点睛】 本题考查了数列的计算,归纳猜想,数学归纳法,意在考查学生对于数学归纳法的掌握情况. 19.(1)x-y-4=0;(2)x-y-4=0或y+2=0. 【分析】 (1)求导f′(x)=3x2-8x+5,进而得到f′(2),f(2),写出切线方程; (2)设切点坐标为(x0,x03-4x02+5x0-4),根据过点A(2,-2,)写出切线方程,再将切点坐标代入求解. 【详解】 (1)∵f′(x)=3x2-8x+5, ∴f′(2)=1,又f(2)=-2, ∴曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2, 即x-y-4=0. (2)设切点坐标为(x0,x03-4x02+5x0-4), ∵f′(x0)=3x02-8x0+5, ∴切线方程为y-(-2)=(3x02-8x0+5)(x-2), 又切线过点(x0,x03-4x02+5x0-4), ∴x03-4x02+5x0-2=(3x02-8x0+5)(x0-2), 整理得(x0-2)2(x0-1)=0, 解得x0=2或x0=1, ∴经过A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0. 20.(Ⅰ)false;(Ⅱ)答案见解析; 【分析】 (Ⅰ)由题知false,false,进而解方程即可得答案; (Ⅱ)方法一:false,再分false和false两种情况讨论求解即可得答案. 方法二:求导得false,再讨论false的符号进而求解. 【详解】 (Ⅰ)false, ∵曲线false在false处的切线与直线false平行, ∴false,即false,故false; (Ⅱ)函数false的定义域为false. 当false时,false恒成立, 故false在false上单调递增; 当false时,false,令false,得false. ∵false,∴方程false有两不等实根false. ∵false,false,∴false. 令false,得false或false;令false,得false. 所以false在false上单调递增,在false上单调递减,在false上单调递增. 综上所述,当false时,false在false上单调递增;当false时,false在false上单调递增,在false上单调递减,在false上单调递增. 方法二:(常规方法):讨论false的符号. 当false,即false时,false恒成立,则false,false在false上递增; 当false,即false或false时,方程false有两不等实根false. (i)当false时,由false知false,则false恒成立,故false在false上递增; (ii)当false时,由false知false, 令false,得false或false;令false,得false. 故false在false、false上递增,在false上递减. 综上,当false时,false在false上单调递增;当false时,false在false上单调递增,在false上单调递减,在false上单调递增. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调区间,考查分类讨论思想,运算求解能力,是中档题.本题第二问解题的关键在于false,进而分false和false两种情况讨论求解. 21.(1)【详解】 证明如下: false false false 又false,而false false 故false 即false 【点睛】 本题考查的是利用综合法证明不等式,较简单. (2)要证false,只要证false, 即false,显然成立的,所以,原不等式成立. 本题考查综合法或分析法,考查对数函数的单调性和定义域,基本不等式的应用,掌握这两种方法证明不等式是关键,属于中档题目. 22.(1)0;(2)1;(3)证明见解析. 【分析】 (1)利用导数求出函数false的单调区间即得false的最小值; (2)可得false恒成立,再利用数形结合分析得解; (3)由false可知false,可得false,再利用等比数列求和化简即得证. 【详解】 false, false当false时,false,false时,false, false在false上单调递减,在false上单调递增, false当false时,false取得最小值false(1)false. false由false恒成立可得false恒成立, 设false,则false,故false,false, false函数false在false处的切线方程为false, false恒成立. false. , 展开更多...... 收起↑ 资源预览