陕西省韩城市西庄高中2020-2021学年高二下学期4月第一次质量检测数学(理)试题 Word版含答案

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陕西省韩城市西庄高中2020-2021学年高二下学期4月第一次质量检测数学(理)试题 Word版含答案

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西庄中学2020-2021学年度第二学期第一次质量检测试卷
高二数学试题(理科)
第I卷(选择题)
一、单选题(每题5分,共60分)
1.数列false的前n项和false,而false,通过计算false猜想
false( )
A.false B.false C.false D.false
2.已知false的边长分别为false、false、false,false的面积为false,内切圆半径为false,则false,类比这一结论可知:若三棱锥false的四个面的面积分别为false、false、false、false,内切球半径为false,三棱锥false的体积为false,则false( )
A.false B.false
C.false D.false
3.命题:“对于任意角,”的证明过程:“ ”应用了( )
A.分析法 B.综合法 C.综合法与分析法结合使用 D.演绎法
4.“分析法”的原理是“执果索因”,若用分析法证明:false,所索的“因”是( )
A.false B.false C.false D.false
5.利用反证法证明“若false,则a,b,c中至少有一个数不小于1”正确的假设为( )
A.a,b,c中都小于1 B.a,b,c中至多有一个数小于1
C.a,b,c中至少有一个数大于1 D.a,b,c中至多有一个数大于1
6.用数学归纳法证明false,则当false时左端应false的基础上加上( )
A.false B.false
C.false D.false
7.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移s与时间t的关系是false,那么速度为零的时刻是( )
A.3秒末 B.1秒末 C.2秒末 D.2秒末或3秒末
8.若函数false的图象在false处的切线与直线false垂直,则false的值为( )
A.2或false B.1 C.2 D.1或false
9.已知函数false,那么false( )
A.false B.false C.false D.2
10.函数f (x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上是( )
A.先增后减 B.减函数 C.增函数 D.不确定
11.函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有极大值又有极小值,则a的取值范围是( )
A.(-1,2) B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
12.定积分false的值为( )
A.false B.false C.false D.false
第II卷(非选择题)
二、填空题(每题5分,共25分)
13.观察下列式子:false
根据以上式子可以猜想:false
_________.
14.设false为可导函数,且满足false,则曲线false在点false处的切线的斜率是______.
15.已知函数false的导函数为false,且满足关系式false,则false的值等于_______.
16.函数false在区间false上的最大值是___________.
17.甲、乙、丙、丁四位老师分别担任语文、数学、英语、物理四门课的教学,甲不是语文和英语老师,乙是数学老师,丙不是语文老师,则英语老师是_______
三、解答题(每题13分,共65分)
18.已知函数false,数列false对于false,总有false,false.
(1)求false,false,false的值,并猜想数列false的通项公式;
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
19.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.
(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.
20.已知函数false,其中false.
(Ⅰ)若曲线false在false处的切线与直线false平行,求实数false的值;
(Ⅱ)讨论函数false的单调性;
21.(1)设false,用综合法证明:false.
(2)利用分析法证明:false;
22.已知函数false,false,false.
(1)求false的最小值;
(2)若false在false上恒成立,求false的值。
参考答案
1.C
【分析】
利用数列false的前n项和false,false,代入即可计算false,从而可以猜想false
【详解】
因为数列false的前n项和false,false
false,即false,解得:false
又false,即false,解得:false
又false,即false,解得:false
false
false
2.A
【分析】
由三角形类比三棱锥,则三角形的面积类比三棱锥的体积,由内切圆类比内切球,可得出结论.
【详解】
false的边长分别为false、false、false,false的面积为false,内切圆半径为false,
由等面积法可得false,false.
类比这个结论:
三棱锥false的四个面的面积分别为false、false、false、false,内切球半径为false,三棱锥false的体积为false,
由等体积法可得false,false.
3.B
【解析】
解:综合法的基本思路是“由因导果”,由已知走向求证,即从已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到特征结论.故本题证明的过程应用了综合法.
本题选择B选项.
4.D
【分析】
利用分析法对false分析即可得答案
【详解】
要证false,
只要证false,
即证false,即证false.故求所索的“因”是false.
故选:D.
5.A
【分析】
否定原命题的结论可得结果.
【详解】
“若false,则a,b,c中至少有一个数不小于1”的否定为:a,b,c都小于1,
6.D
【分析】
由数学归纳法,根据false和false时,等号的左端分别是从1开始连续的正整数加到false和false求解.
【详解】
因为当false时,等号的左端为false
当false时,等号的左端为false
所以增加了false,
故选:D
7.D
【分析】
求出导数false,然后解方程false可得.
【详解】
∵false,∴false.
令false,得false,解得false或false.
故选:D.
8.D
【分析】
由两线垂直可知false处切线的斜率为3,利用导数的几何意义有false,即可求false的值.
【详解】
由题意知:直线false的斜率为false,则在false处切线的斜率为3,
又∵false,即false,
∴false或false,
故选:D.
9.A
【分析】
求出函数的导数后,代入运算即可得解.
【详解】
由题意,false,
所以false.
故选:A.
10.C
【分析】
由题设得f ′(x)=2-cos x,即可判断false在区间上的符号,进而确定false的单调性.
【详解】
∵由f (x)=2x-sin x,知:f ′(x)=2-cos x,且在(-∞,+∞)上false恒成立,
∴f (x)在(-∞,+∞)上为增函数.
11.D
【分析】
函数false有极大值又有极小值,可知:false有两个不相等是实数根,因此△false,解出即可.
【详解】
解:因为false
所以false,
false函数false有极大值又有极小值,
false有两个不相等是实数根,
falsefalse,
化为false,
解得false或false.
则false的取值范围是false,false,false.
故选:false.
12.B
【分析】
用定积分公式即可.
【详解】
false.
13.false
【分析】
确定不等式左边各式的分子为1,分母是自然数的平方和,右边分母与最后一项的分母相同,分子是以3为首项,2为公差的等差数列,即可得结论
【详解】
解:由已知的式子:false
false
故可得false,
故答案为:false
14.false
解:因为false,
所以false,所以false,
所以false,
所以曲线false在点false处的切线的斜率为false,
故答案为:false
15.false
【详解】
解:由false,得false,
令false,则false,解得false,
故答案为:false
16.false
【详解】
false,false,
当false时,false,此时函数false单调递增,
当false时,false,此时函数false单调递减.
所以,false.
故答案为:false.
17.丙
【分析】
利用推理判断.
【详解】
因为甲不是语文和英语老师,
所以甲是数学老师或物理老师,
因为乙是数学老师,
所以甲是物理老师,
则丙是语文老师或英语老师,
又因为丙不是语文老师,
则丙是英语老师,
故答案为:丙
18.(1)false,false,false,false(2)见证明
【解析】
【分析】
(1) 计算得到false,false,false,猜想false.
(2)利用数学归纳法验证,假设,推导的顺序证明猜想.
【详解】
(1)解:由false,得false,
因为false,所以false,false,false,
猜想false.
(2)证明:用数学归纳法证明如下:
①当false时,false,猜想成立;
②假设当false时猜想成立,即false,
则当false时,false,
所以当false时猜想也成立.
由①②知,对false,false都成立.
【点睛】
本题考查了数列的计算,归纳猜想,数学归纳法,意在考查学生对于数学归纳法的掌握情况.
19.(1)x-y-4=0;(2)x-y-4=0或y+2=0.
【分析】
(1)求导f′(x)=3x2-8x+5,进而得到f′(2),f(2),写出切线方程;
(2)设切点坐标为(x0,x03-4x02+5x0-4),根据过点A(2,-2,)写出切线方程,再将切点坐标代入求解.
【详解】
(1)∵f′(x)=3x2-8x+5,
∴f′(2)=1,又f(2)=-2,
∴曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,
即x-y-4=0.
(2)设切点坐标为(x0,x03-4x02+5x0-4),
∵f′(x0)=3x02-8x0+5,
∴切线方程为y-(-2)=(3x02-8x0+5)(x-2),
又切线过点(x0,x03-4x02+5x0-4),
∴x03-4x02+5x0-2=(3x02-8x0+5)(x0-2),
整理得(x0-2)2(x0-1)=0,
解得x0=2或x0=1,
∴经过A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.
20.(Ⅰ)false;(Ⅱ)答案见解析;
【分析】
(Ⅰ)由题知false,false,进而解方程即可得答案;
(Ⅱ)方法一:false,再分false和false两种情况讨论求解即可得答案.
方法二:求导得false,再讨论false的符号进而求解.
【详解】
(Ⅰ)false,
∵曲线false在false处的切线与直线false平行,
∴false,即false,故false;
(Ⅱ)函数false的定义域为false.
当false时,false恒成立,
故false在false上单调递增;
当false时,false,令false,得false.
∵false,∴方程false有两不等实根false.
∵false,false,∴false.
令false,得false或false;令false,得false.
所以false在false上单调递增,在false上单调递减,在false上单调递增.
综上所述,当false时,false在false上单调递增;当false时,false在false上单调递增,在false上单调递减,在false上单调递增.
方法二:(常规方法):讨论false的符号.
当false,即false时,false恒成立,则false,false在false上递增;
当false,即false或false时,方程false有两不等实根false.
(i)当false时,由false知false,则false恒成立,故false在false上递增;
(ii)当false时,由false知false,
令false,得false或false;令false,得false.
故false在false、false上递增,在false上递减.
综上,当false时,false在false上单调递增;当false时,false在false上单调递增,在false上单调递减,在false上单调递增.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调区间,考查分类讨论思想,运算求解能力,是中档题.本题第二问解题的关键在于false,进而分false和false两种情况讨论求解.
21.(1)【详解】
证明如下:
false
false
false
又false,而false
false
故false
即false
【点睛】
本题考查的是利用综合法证明不等式,较简单.
(2)要证false,只要证false,
即false,显然成立的,所以,原不等式成立.
本题考查综合法或分析法,考查对数函数的单调性和定义域,基本不等式的应用,掌握这两种方法证明不等式是关键,属于中档题目.
22.(1)0;(2)1;(3)证明见解析.
【分析】
(1)利用导数求出函数false的单调区间即得false的最小值;
(2)可得false恒成立,再利用数形结合分析得解;
(3)由false可知false,可得false,再利用等比数列求和化简即得证.
【详解】
false,
false当false时,false,false时,false,
false在false上单调递减,在false上单调递增,
false当false时,false取得最小值false(1)false.
false由false恒成立可得false恒成立,
设false,则false,故false,false,
false函数false在false处的切线方程为false,
false恒成立.
false.

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