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2022届高二（下）第一次联考
数 学 试 卷 （理科）
考试范围：必修2-5，选修2-1第1、3章 考试时间：2021.3.31
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确的答案）
1． 若集合，则（ ）
A．（－3，0） B．（－3，1） C．（0，1） D．（0，3）
2． 下列命题正确的是（ ）
A．“x<1”是“x2-3x+2>0”的必要不充分条件
B．若给定命题p:?x∈R，使得x2+x-1<0，则?p:?x∈R，均有x2+x-1≥0
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若x2-3x+2=0，则x=2”的否命题为“若x2-3x+2=0，则x≠2”
3． 等差数列的前项和为，若，且成等比数列，则公差（ ）
A．0或3 B．3 C．0 D．2
已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
已知，,且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6． 已知直线和互相平行，则实数为（）
A．或3 B． C． D．1或
7． 某校对数学特长生进行了一次培训，培训结束后进行了一次考核，为了解本次培训活动的效果，从A?B两个实验班随机各抽取10名学生的考核成绩，如茎叶图所示.将学生的考核成绩分为两个等级，如下表所示，现从样本考核等级为优秀的学生中任取两人，则两人来自同一实验班的概率是（ ）
考核成绩

考核等级 合格 优秀

A． B． C． D．
8． “”是“函数是定义在上的减函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9． 已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10． 在平面直角坐标系xOy中，为第四象限角，角的终边与单位圆O交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
11． 《米老鼠和唐老鸭》这部动画给我们的童年带来了许多美好的回忆， 令我们印象深刻.如图所示，有人用3个圆构成米奇的简笔画形象.已知3个圆方程分别为： 圆 圆 ，圆 若过原点的直线 与圆、均相切，则截圆所得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线：的虚轴的一个顶点为，直线与 交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题（本题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知，，，则与的夹角为______.
14．设x，y满足约束条件，则的最大值是________.
15．已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为___________.
16．已知点在半径为2的球面上，满足，，若S是球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为___________.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
（本小题10分）
如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求B；
（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=3，BC=2，AD=1，求四边形ABCD的面积.
（本小题12分）
在①，；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答：
（1）求的通项公式； （2）求的前项和.
（本小题12分）
某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：)，并绘制频率分布直方图如下：
（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)
（本小题12分）
如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面(如图)，为中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；
若不存在，请说明理由.
（本小题12分）
已知向量，.
（1）求的最大值及取得最大值时的取值集合；
（2）在中，分别是角的对边，若且，
求面积的最大值.
（本小题12分）
已知椭圆：的左右顶点分别为，，过椭圆内点 且不与轴重合的动直线交椭圆于，两点，当直线与轴垂直时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线，和直线：分别交于点，，若恒成立，求的值.
2022届高二（下）第一次联考
数 学 试 卷(理科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B A C D A B B A C A D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． ． 14． ．
15． ． 16． ．.
三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余小题各12分，共70分，要求写出必
要的解答过程或步骤）
17.解：（1）由正弦定理得，
得.……………………………………………………（2分）
因为，所以，即.……………………（4分）
（2）在中AB=2，BC=3，，，
解得. ……………………………（6分）
在中，，A，B，C，D在圆上，
因为，所以，所以，
解得或（舍去）， ………………………（8分）
所以四边形ABCD的面积…（10分）
解：若选①，（1），两边取倒数得，即，
又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，故；………………………………（6分）
若选②，（1）.
当时，，
两式相减得，所以，
当时，，满足上式，则；
若选③，（1），
时，，
两式相减得，
当时，，所以；
（2）由（1）得：，
所以.………………（12分）
19.解：（1）如图示：区间频率最大，所以众数为85，…………（2分）
平均数为： ………………………………………………………………（5分）
日销售量[60，90)的频率为，………………………………（7分））
日销量[60，100)的频率为，………………………………（9分）
故所求的量位于
由得……………………（12分）
故每天应该进98千克苹果.
20.解（1）因为为中点，，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面；……………………………（5分）
（2）如图，过点作交于点，过点作交于点，连接，
因为，平面，平面，所以平面，
同理平面，
又因为，所以平面平面，
因为平面，所以平面，
所以上存在点，使得平面，
，四边形是平行四边形，
，，
又，.…………………………（12分）
解（1）…………………………（1分）
，……………………………………（3分）
∴的最大值为，…………………………（4分）
此时，即，
∴；…………………………（6分）
（2）∵，∴，，
∵，∴，………………………………………………（8分）
，
当且仅当时，等号成立，…………………………………………（10分）
所以，∴，
所以面积的最大值.…………………………………………（12分）
22.解（1）由，得，故的方程为，此时.
代入方程，解得，故的标准方程为.……（4分）
（2）设直线方程为：，与椭圆方程联立.得.
设、，则.①…………………………（6分）
此时直线方程为，与联立.
得点，同理，点.
由，.
即.
所以.
即.
将①代入得：
.
化简得：.
即..
解得或.……………………………………………………（12分）

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