资源简介 整式的乘除与因式分解 全章复习与巩固(基础) 【学习目标】1. 掌握正整数幂的运算性质,并能运用它们熟练地进行运算;掌握单项式乘(或除以)单项式、多项式乘(或除以)单项式以及多项式乘多项式的法则,并运用它们进行运算;2. 会推导乘法公式(平方差公式和完全平方公式),了解公式的几何意义,能利用公式进行乘法运算;3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算,并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算;4. 理解因式分解的意义,并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算,掌握提公因式法和公式法(直接运用公式不超过两次)这两种分解因式的基本方法,了解因式分解的一般步骤;能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】【 整式的乘除与因式分解单元复习 知识要点】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法:(为正整数);同底数幂相乘,底数不变,指数相加.2.幂的乘方: (为正整数);幂的乘方,底数不变,指数相乘.3.积的乘方: (为正整数);积的乘方,等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法:(≠0, 为正整数,并且).同底数幂相除,底数不变,指数相减.5.零指数幂:即任何不等于零的数的零次方等于1. 要点诠释:公式中的字母可以表示数,也可以表示单项式,还可以表示多项式;灵活地双向应用运算性质,使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.即.要点诠释:运算时,要注意积的符号,多项式中的每一项前面的“+”“-”号是性质符号,单项式乘以多项式各项的结果,要用“+”连结,最后写成省略加号的代数和的形式.根据多项式的乘法,能得出一个应用比较广泛的公式:.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里出现的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加.即:要点三、乘法公式1.平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 要点诠释:在这里,既可以是具体数字,也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征:既有相同项,又有“相反项”,而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式:;两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.要点诠释:公式特点:左边是两数的和(或差)的平方,右边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍.要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.要点诠释:落实好方法的综合运用: 首先提取公因式,然后考虑用公式;两项平方或立方,三项完全或十字;四项以上想分组,分组分得要合适;几种方法反复试,最后须是连乘式;因式分解要彻底,一次一次又一次.【典型例题】类型一、幂的运算 1、计算下列各题:(1) (2)(3) (4)【思路点拨】按顺序进行计算,先算积的乘方,再算幂的乘方,最后算同底数的幂相乘.【答案与解析】解:(1).(2).(3).(4).【总结升华】在进行幂的运算时,应注意符号问题,尤其要注意系数为-1时“-”号、括号里的“-”号及其与括号外的“-”号的区别.举一反三:【变式】当,=4时,求代数式的值.【答案】解:.类型二、整式的乘除法运算2、(2019秋?闵行区期中)解不等式:(x﹣6)(x﹣9)﹣(x﹣7)(x﹣1)<7(2x﹣5)【答案与解析】解:原不等可化为:x﹣15x+54﹣x+8x﹣7<14x﹣35,整理得:﹣21x<﹣82,解得:x>.则原不等式的解集是x>.【总结升华】此题考查了多项式乘多项式,以及解一元一次不等式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.3、已知,求的值.【思路点拨】利用除法与乘法的互逆关系,通过计算比较系数和相同字母的指数得到的值即可代入求值.【答案与解析】解:由已知,得,即,,,解得,,.所以.【总结升华】也可以直接做除法,然后比较系数和相同字母的指数得到的值.举一反三:【变式】(1)已知,求的值.(2)已知,,求的值.(3)已知,,求的值.【答案】解:(1)由题意,知.∴ .∴ ,解得.(2)由已知,得,即.由已知,得.∴ ,即.∴ ∴ .(3)由已知,得.由已知,得.∴ .类型三、乘法公式4、对任意整数,整式是否是10的倍数?为什么?【答案与解析】解:∵,是10的倍数,∴ 原式是10的倍数.【总结升华】要判断整式是否是10的倍数,应用平方差公式化简后,看是否有因数10.举一反三:【变式】解下列方程(组): 【答案】解: 原方程组化简得,解得.5、已知,,求: (1);(2)【思路点拨】在公式中能找到的关系.【答案与解析】解:(1) ∵,, ∴(2) ∵,,∴.【总结升华】在无法直接利用公式的情况下,我们采取“配凑法”进行,通过配凑向公式过渡,架起了已知与未知之间桥梁,顺利到达“彼岸”.在解题时,善于观察,捕捉习题特点,联想公式特征,便易于点燃思维的火花,找到最佳思路.类型四、因式分解6、 分解因式: (1);(2).【答案与解析】解:(1). (2).【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母,指数的变化,另外分解要彻底,特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分,分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否. 举一反三:【变式】(2019春·石景山区期末)分解因式:(1)(2).【答案】解:(1)==;(2)==.【巩固练习】一.选择题1.下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是( ). A. B. C. D.2.下列计算正确的是( ).A. B.C. D. 3.若是完全平方式,则的值是( )A . —10 B. 10 C. 5 D.10或—104. 将+分解因式,正确的是( )A. B. C. D.5.(2019·桂林)下列计算正确的是( )A. B. C. D. 6. 若是的因式,则为( )A.-15 B.-2 C.8 D.27. 因式分解的结果是( )A. B. C. D.8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有( ) ①; ②; ③; ④; ⑤; ⑥.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二.填空题9.化简=______.10.如果是一个完全平方式,那么=______.11.若,化简=________.12. 若,=__________.13.把分解因式后是___________.14.的值是________.15.(2019·雅安)已知,,则 .16.下列运算中,结果正确的是___________①,②, ③,④,⑤,⑥,⑦,⑧ ,⑨ 三.解答题17.分解因式:(1);(2);(3).18. 解不等式,并求出符合条件的最小整数解.19.(2019春?盐都区期中)问题:阅读例题的解答过程,并解答(1)(2):例:用简便方法计算195×205解:195×205=(200﹣5)(200+5)①=2002﹣52②=39975(1)例题求解过程中,第②步变形依据是 (填乘法公式的名称).(2)用此方法计算:99×101×10001.20.某种液晶电视由于原料价格波动而先后两次调价,有三种方案:(1)先提价10%,再降价10%;(2)先降价10%,再提价10%;(3)先提价20%,再降价20%.问三种方案调价的最终结果是否一样?为什么?【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A; 【解析】因式分解是把多项式化成整式乘积的形式.2. 【答案】B;3. 【答案】D; 【解析】4. 【答案】C;【解析】+==.5. 【答案】C; 【解析】解:A、原式=,故A错误;B、原式=1,故B错误;C、原式=,故C正确;D、原式=,故D错误.故选:C.6. 【答案】D; 【解析】.7. 【答案】A 【解析】=.8. 【答案】D; 【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解.二.填空题9. 【答案】.10.【答案】±3; 【解析】.11.【答案】1; 【解析】.12.【答案】0; 【解析】.13.【答案】;【解析】.14.【答案】-2;【解析】.15.【答案】28或36; 【解析】解:,∵,∴,①当,,;②当,,;故答案为:28或36.16.【答案】③⑤⑥⑨;【解析】在整式的运算过程中,符号问题和去括号的问题是最常犯的错误,要保证不出现符号问题关键在于每一步的运算都要做到有根据,能够用定理法则指导运算.三.解答题17.【解析】解:(1)=; (2); (3).18.【解析】解: 符合条件的最小整数解为0,所以.19.【解析】解:(1)平方差公式;(2)99×101×10001=(100﹣1)(100+1)×10001=(10000﹣1)(10000+1)=100000000﹣1=999999920.【解析】解:设为原来的价格(1) 由题意得:(2)由题意得:(3)由题意得:. 所以前两种调价方案一样. 展开更多...... 收起↑ 资源预览